精品解析：浙江省华东师大附属杭州学校2023-2024学年下学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省华东师大附属杭州学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及加法、乘除法和二次根式的性质，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、不能合并，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B正确，符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴，，， 矩形不一定有， ∴四个选项中只有D选项说法错误， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形对角线相等且互相平分，对边相等且平行是解题的关键． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 5. 如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M． 【详解】解：如图， 相交于点M， ∴点M是与对称中心， 故选：A． 6. 一组数据，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数的知识，根据众数的定义先求出a的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两个数的平均数即可得出答案． 【详解】解：∵数据，a，5，3，7有唯一的众数7， ∴， 把这些数从小到大排列为，3，5，7，7， 则这组数据的中位数是5． 故选：C． 7. 如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（ ） A. 13 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即得出，，，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O， ∴，，， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等是解题关键． 8. 关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键． 设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∴，是方程的解， 则方程可化为， ∴或，即或， ∴或，即，． 故选：． 9. 如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，而，由，证明，求得，因为于点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， 故选：． 10. 对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等实数根，原说法错误； 故选：B． 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，这个多边形的边数是7． 故答案为：7． 13. 关于的方程的一个解是，则方程的另一个解____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则满足，．先利用根与系数的关系得，然后把代入可得的值． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴． 故答案为：3． 14. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差和算术平均数，解题关键是由计算方差的算式得出这组数据．由方差的计算公式，可知这组数据为、、、，然后根据平均数和方差的定义，求解即可． 【详解】解：计算公式：， 这组数据为、、、， 这组数据的平均数为：， ， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形性质，三角形中位线的性质定理，根据平行四边形的性质得到，结合平分，推出，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得到，再利用三角形中位线的性质求出，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 本题设，则，根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算，再计算的长． 【详解】解：设，则， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， 解得， 即，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，然后计算加减法． （2）先去括号，然后计算加减法． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算顺序是解此题的关键． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 所以，． 19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d （1）以上成绩统计分析表中_______，________，______； （2）d______（填“＞”、＜或“＝”）： （3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2） （3）乙同学，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）根据平均数和方差的计算结果求出答案； （3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【小问1详解】 解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 乙的平均数， 乙的数据中7最多有4个，所以众数， 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质． 21. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，销售量是 千克、月销售利润是 元； （2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应为多少? 【答案】（1），；（2）销售单价应为元/千克． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算得出即可； （2）销售成本不超过6000元，即进货不超过6000÷20=300kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 【详解】解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）； 销售利润：450×（35-20）=450×15=6750（元）； 故答案为：，． （2）由于水产品不超过6000÷20=300（kg），定价为x元， 则（x-20）[500-10（x-30）]=8000 解得：x1=40，x2=60 当x1=40时，进货500-10（40-30）=400kg＞300kg，舍去， 当x2=60时，进货500-10（60-30）=200kg＜300kg，符合题意． 答：销售单价应为60元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题的创意在第2问，同时考虑进出两个方面的问题，比较后得结论． 22. 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， △平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】（1）一元二次方程是“有爱方程”，见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． 【小问2详解】 证明：关于一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． 【小问3详解】 是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 24. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点O，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明得出，即可得出结论； （2）①由勾股定理求出，再由平行四边形的面积公式计算即可得解；②证明四边形是矩形，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴的面积为； ②证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，，且， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年浙江省华东师大附属杭州学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C D. 3. 如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 一组数据，a，5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 7 7. 如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（ ） A. 13 B. 8 C. 7 D. 5 8. 关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 9. 如图，的对角线与相交于点，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. 一个多边形内角和等于，这个多边形的边数是________． 13. 关于的方程的一个解是，则方程的另一个解____． 14. 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差____． 15. 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则__________． 16. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c d （1）以上成绩统计分析表中_______，________，______； （2）d______（填“＞”、＜或“＝”）： （3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 20. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 21. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，销售量是 千克、月销售利润是 元； （2）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应为多少? 22. 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 24. 如图，在中，延长至点E，使，连接交于点O，连接，． （1）求证：； （2）若 ①若，，求的面积； ②连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $