精品解析：山东省青岛新海岸新区实验初级中学2024—2025学年下学期3月月考八年级数学试卷

八年级数学（下）第一次阶段性检测试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 若等腰三角形一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 3. 若，则下列不等式中不成立是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 5. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　）． A. x>3 B. x<1 C. x>1 D. x<3 6. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰中，，，点D是底边中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，正方形和正方形的边长分别为a和b，正方形绕点C旋转，给出以下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____． 12. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________ ． 13 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买________支钢笔． 14. 如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为______________． 15. 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____． 16. 如图，，在射线上，．取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形，若，则的度数为____． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，有分别过A、B两个加油站的公路相交于点O，现准备在内部建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且点P到两条公路的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹） 18. 解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）； （3）； （4） 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求m的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图①，分别以的边为边向外作等边、等边，连接，易证：（无需证明）； 探究：如图②，点A是线段上方的一个动点，分别以的边为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以A点为直角顶点，连接． （1）求证：； （2）若，，线段的最大值是______． 22. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元； （2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，哪种购买方案费用最低?并求出最低费用． 23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动．且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当秒时，的周长_____； （2）当_____秒时，； （3）问何值时，为等腰三角形？ （4）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学（下）第一次阶段性检测试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 2. 若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 3. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：、，，本选项不符合题意； 、，，本选项不符合题意； 、，，本选项不符合题意； 、，，本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，是解答本题的关键． 4. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：B． 5. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　）． A. x>3 B. x<1 C. x>1 D. x<3 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点， 观察图象可得当时，， 即不等式的解集为． 故选 6. 等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论． 分为两种情况：①高在内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高在外时，求出，根据平角的定义求出即可． 【详解】解：①如图， 是的高，，， ， ②如图， 是边 上的高，， ， ， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得出不等式组的解集，根据解集在数轴上表示方法即可得答案． 【详解】， 解不等式①得：x＞-2， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式的解集为-2＜x≤2， ∴不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，正确得出各不等式的解集，熟练掌握解集的表示方法是解题关键．注意：表示解集时，带等号的要用实心点表示，不带等号的用空心点表示． 8. 如图，等腰中，，，点D是底边的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由作法知EF是AC的垂直平分线，可得AP=CP，线段的最小就是PA+PD，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可BD=CD，由AB=AC，可得，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=即可． 【详解】解：连结PA， 由作法知EF是AC的垂直平分线， ∴AP=CP， ∴PC+PD=PA+PD， 线段的最小就是PA+PD， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴BD=CD=， ∵AB=AC， ∴， 在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD=， （PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8． 故选择：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短． 9. 如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DM⊥BC，设BD=x，然后根据题意和含30°的直角三角形性质分别表示出BM，EM，DE的长，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：过点D作DM⊥BC，设BD=x， 由题意可得：AB=5，AD=DE=5-x ∵∠ABC=60°，DM⊥BC， ∴在Rt△BDM中，∠BDM=30° ∴，则 ∴， 解得：，即BD=米 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形性质和勾股定理解直角三角形，正确理解题意掌握相关性质定理列方程求解是关键． 10. 如图，正方形和正方形的边长分别为a和b，正方形绕点C旋转，给出以下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理，判定④的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接的交点为M，交点为N，根据正方形的性质易证，即可证得，由此进一步判断①③正确；根据勾股定理可得，即可证得④正确．无法证明④正确，即可得到答案. 【详解】解：如图：连接的交点为M，交点为N， ∵四边形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴, 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，故④正确， 无法证明， 故②不正确， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____． 【答案】0、1、2 【解析】 【分析】首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解． 【详解】解：9﹣3x＞0， ∴﹣3x＞﹣9， ∴x＜3， ∴x的非负整数解是0、1、2． 故答案为0、1、2． 12. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____________ ． 【答案】“面积相等的两个三角形是全等三角形” 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”， 故答案为：“面积相等的两个三角形是全等三角形”． 13. 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买________支钢笔． 【答案】13 【解析】 【详解】解：设小明一共买了x本笔记本，y支钢笔， 根据题意，可得，可求得y≤ 因y为正整数，所以最多可以买钢笔13支． 故答案为：13． 14. 如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°， ∵DF∥AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°， ∴AD=DF， ∵∠B=90°-60°=30°， ∴AD=AB=×10=5， ∴DF=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝4，CF＝1，则AC的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线得到AF＝BF＝4，即可求出AC＝AF+CF＝4+1=5． 【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝4， ∴AF＝BF＝4， ∴AC＝AF+CF＝4+1＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 16. 如图，，在射线上，．取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形，若，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=∠B，，，，…..则有，根据三角形外角的性质可得，，，…..由此规律问题可求解． 【详解】解：∵， ∴∠ACB=∠B， ∵， ∴， ∵取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形；取的中点，以为腰，为顶角作等腰三角形， ∴，，…..； ∵由三角形外角的性质可得：， ∴， 同理可得，，…..； 由此规律可得：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，有分别过A、B两个加油站的公路相交于点O，现准备在内部建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且点P到两条公路的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】足到A、B两个加油站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图实数，作线段的垂直平分线交的角平分线于点P，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 18. 解下列不等式，并把第一题的解集在数轴上表示出来． （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1），数轴见详解 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）先去括号，然后再求解不等式即可； （2）先去括号，然后再求解不等式即可； （3）先去分母，然后再进行求解不等式即可； （4）先去分母，然后再进行求解不等式即可 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：； 数轴如下： 【小问2详解】 解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问3详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：； 【小问4详解】 解： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 详解】证明：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF， 在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AF. 【点睛】主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点A，且与直线相交于点，直线与x轴相交于点C． （1）求m的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值， （2）根据待定系数法可求直线的解析式；由点B的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的值，由点A、B、C的坐标利用三角形的面积可求出的面积； （3）根据两直线的上下位置关系结合点B的横坐标，即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴ ， 解得：， ∴ 【小问2详解】 解：∵直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为 ； 在函数中， 当时，， 点A的坐标为； 在函数中， 当时，， 点坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：观察函数图象，可知： 直线与直线相交于点， ∴当时，直线在直线的上方， 不等式 的解集为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；（3）由两直线的上下位置关系找出不等式的解集． 21. 如图①，分别以的边为边向外作等边、等边，连接，易证：（无需证明）； 探究：如图②，点A是线段上方的一个动点，分别以的边为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以A点为直角顶点，连接． （1）求证：； （2）若，，线段的最大值是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，利用全等三角形的性质和两点之间线段最短求解是解答的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，，，则，利用全等三角形的判定与性质证明即可得出结论； （2）先利用等腰直角三角形的性质求得，再利用两点之间线段最短求得，当B、C、E共线时取等号，进而可求解． 【小问1详解】 证明：由等腰直角、等腰直角得，，， 则， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在等腰直角中，， ∴, ∵，当B、C、E共线时取等号， ∴的最大值为， ∵， ∴线段的最大值是． 22. 学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张．若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元． （1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元； （2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，哪种购买方案费用最低?并求出最低费用． 【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元 （2）当购买30张甲种办公桌和10张乙种办公桌时，购买费用最低，最低费用为18000元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，然后根据题意可列方程组并解方程组即可； （2）设购买m张甲种办公桌，则乙种办公桌有张，购买甲乙两种办公桌的费用为w元，由题意易得，，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，由题意得： ， 解得：； 答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元． 【小问2详解】 解：设购买m张甲种办公桌，则乙种办公桌有张，由题意得： ， 解得：； 设购买甲乙两种办公桌的费用为w元，则由题意得： ， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为18000； 答：当购买30张甲种办公桌和10张乙种办公桌时，购买费用最低，最低费用为18000元． 23. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动．且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当秒时，周长_____； （2）当_____秒时，； （3）问为何值时，为等腰三角形？ （4）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】（1） （2）或13 （3）当t为或或或时，为等腰三角形 （4）当t为4或12秒时，直线把的周长分成相等的两部 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，动点P从点C开始，出发2秒后，则，，由勾股定理求出，即可得出结果； （2）分两种情况：①若P在边上时，在中，根据勾股定理求解即可；②若P在边上时，则，即可求解； （3）分两种情况：①若P在边上时，，此时用的时间为6秒； ②若P在边上时，有三种情况： i若使，此时，P运动的路程为，用的时间为12秒； ii）若，过C作于点D，根据面积法求得高，求出，得出P运动的路程为，即可得出结果； ⅲ）若，则，证出得出，得出P的路程为，即可得出结果； （4）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图6，P点走过的路程为，Q走过的路程为，根据题意得出方程，解方程即可； ②当P、Q相遇后：当P点在上，Q在上，则，，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图， 由，，， ∴， ∵动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发2秒后，则，， ∵， ∴由勾股定理得cm， ∴的周长为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①若P在边上时，如图， 在中，， ∴， 解得 ∴； ②若P在边上时，如图， 则， ∴， 故答案为：或13． 【小问3详解】 解：①若P在边上时，如图， 则， 此时用的时间为，为等腰三角形． ②若P在边上时，有三种情况： i）如图， 若使，此时，P运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； ii）如图， 若， 过C作于点D， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴P运动的路程为， ∴用的时间为时，为等腰三角形； ⅲ）如图， 若，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴P的路程为， ∴用时间为时，为等腰三角形．   综上所述，当t为或或或时，为等腰三角形． 【小问4详解】 解：分两种情况： ①当P、Q没相遇前：如图， P点走过的路程为，Q走过的路程为， ∵直线把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴； ②当P、Q相遇后：如图， 当P点在上，Q在上，则，， ∵直线把的周长分成相等的两部分， ∴， ∴， ∴当t为4或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$