期末复习 分式练习题 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

期末复习—分式 一．选择题 1．如果把分式中的x和y都同时扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 2．某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（　　） A．＝2 B．＝2 C．＝2 D．＝2 3．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为（　　） A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝720 D．﹣＝720 4．使分式有意义的条件是（　　） A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3 5．在，，，，中，分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．分式﹣可变形为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 7．若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（　　） A．x＝0 B．x＝l C．x＝2 D．x＝3 8．已知关于x的方程＝3的解是负数，那么m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣2 9．式子：的最简公分母是（　　） A．6 x2y2 B．12 x2y2 C．24 x2y2 D．24x2y2xy 10．计算的结果是（　　） A．2 B．2a﹣2 C．1 D． 11．若x、y为实数，且满足（x+3）2+＝0，则（）2020的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定 12．某防护用品厂计划生产150000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成 B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成 C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成 D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成 二．填空题 13．计算的结果是　 　． 14．若关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是　 　． 15．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是　 　；根据你发现的规律，试写出第6个分式　 　． 16．如果分式的值为0，那么x的值为　 　． 17．把分式的x和y都扩大3倍，分式的值　 　． 18．（1）因式分解：﹣9a2b+12ab﹣4b＝　 　； （2）若m﹣＝3，则m2+＝　 　． 19．化简分式的结果为　 　． 20．当m+n＝1时，代数式•（m2﹣n2）的值为　 　． 21．已知＝，则代数式的值是　 　． 22．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　 　． 三．解答题 23．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：； （1）下列分式中，属于真分式的是　 　（填序号）； ①②③④ （2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝　 　；若假分式的值为正整数，则整数a的值为　 　； （3）请你写出将假分式化成整式与真分式的和的形式的完整过程． 24．仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：＝＝2+＝2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：＝＝1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 25．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择　 　同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程．． 26．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2． 27．先化简，再求值：，其中x＝3． 28．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？ 29．化简求值：，其中x＝． 30．为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 31．高速铁路列车（简称：高铁）是人们出行的重要交通工具：已知高铁平均速度是普通铁路列车（简称：普客）平均速度的的3倍．同样行驶690km，高铁比普客少用4.6h． （1）求高铁的平均速度． （2）某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到里程1050km的A市参加当天14：00召开的会议．若他从A市高铁站到会议地点最多还需要1.5h，试问在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？ 32．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元． （1）填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 90000 x 　 　 四月 80000 　 　 　 　 （2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？ （3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？ 33．规定一种新的运算“”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，＝0；当A的次数等于B的次数时，的值为A、B的最高次项的系数的商；当A的次数大于B的次数时，不存在．例如：＝0，＝． （1）求的值． （2）若＝（2﹣）÷，求的值． 34．某学生在化简求值：+其中x＝3时出现错误．解答过程如下： 原式＝+（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 当x＝3时，原式＝＝（第四步） ①该学生解答过程从第　 　步开始出错，其错误原因是　 　． ②写出此题的正确解答过程． 35．某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书． （1）每本书第一次的批发价是多少钱？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 36．列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 37．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度． 38．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 39．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　（填写序号即可）； （2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值； （3）在化简时， 小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：＝＝ 小强：＝＝ 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　， 请你接着小强的方法完成化简． 40．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． （1）问第二次购进了多少件文具？ （2）文具店老板第一次购进的文具有3% 的损耗，第二次购进的文具有5%的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习—分式 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．（锡山区期中）如果把分式中的x和y都同时扩大3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【考点】65：分式的基本性质．版权所有 【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可． 【解答】解：＝＝3×， 即如果把分式中的x和y都同时扩大3倍，那么分式的值扩大3倍， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的性质进行变形是解此题的关键． 2．（鹿邑县一模）某车间接了生产12000只口罩的订单，加工4800个口罩后，采用了的新的工艺，效率是原来的1.5倍，任务完成后发现比原计划少用了2个小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程（　　） A．＝2 B．＝2 C．＝2 D．＝2 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【分析】设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用了2个小时，此题得解． 【解答】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩1.5x个， 依题意，得：﹣＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为（　　） A．﹣＝10 B．﹣＝10 C．﹣＝720 D．﹣＝720 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆数据，根据在峰值速率下传输8千兆数据时5G网络比4G网络快720秒，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆数据， 依题意，得：﹣＝720． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（宁波模拟）使分式有意义的条件是（　　） A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3 【考点】62：分式有意义的条件．版权所有 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣3≠0，即x≠3． 故选：D． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0． 5．（江阴市期中）在，，，，中，分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】61：分式的定义．版权所有 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：，的分母中含有字母，是分式． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 6．（滨湖区期中）分式﹣可变形为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】65：分式的基本性质．版权所有 【分析】直接利用分式的基本性质变形得出答案． 【解答】解：分式﹣可变形为：． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的性质是解题关键． 7．（滨海县期中）若关于x的分式方程＝2有增根，则增根是（　　） A．x＝0 B．x＝l C．x＝2 D．x＝3 【考点】B5：分式方程的增根．版权所有 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．即为增根． 【解答】解：∵关于x的分式方程＝2有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 所以增根为x＝1． 故选：B． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 8．（江阴市校级期中）已知关于x的方程＝3的解是负数，那么m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣2 【考点】B2：分式方程的解．版权所有 【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定m的取值范围． 【解答】解：去分母，得2x﹣m＝3x+6， ∴x＝﹣m﹣6． 由于方程的解为负数， ∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣2， 解得m＞﹣6且m≠﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键． 9．（江阴市期中）式子：的最简公分母是（　　） A．6 x2y2 B．12 x2y2 C．24 x2y2 D．24x2y2xy 【考点】69：最简公分母．版权所有 【分析】由三个分式的分母分别为2x2y，3x2，4xy2，找出三分母系数2，3及4的最小公倍数为12，作为最简公分母的系数；x在第一、二、三个分母中出现，取最高次幂作为最简公分母的因式，y在第一、三个分母中出现，取最高次幂作为最简公分母的因式，即可确定出三分式的最简公分母． 【解答】解：∵的分母分别为2x2y，3x2，4xy2， ∴的最简公分母是12x2y2． 故选：B． 【点评】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母． 10．（红桥区一模）计算的结果是（　　） A．2 B．2a﹣2 C．1 D． 【考点】6B：分式的加减法．版权所有 【分析】根据同分母的分式相加减的法则求出即可． 【解答】解：﹣ ＝ ＝ ＝ ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． 11．（英德市一模）若x、y为实数，且满足（x+3）2+＝0，则（）2020的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定 【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；6A：分式的乘除法．版权所有 【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用有理数的乘方运算法则进而得出答案． 【解答】解：∵（x+3）2+＝0， ∴x+3＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣3，y＝3， 则（）2020＝1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 12．（永年区一模）某防护用品厂计划生产150000个口罩，但是在实际生产时，……，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成 B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成 C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成 D．每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成 【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【分析】根据所设未知数和方程可得：实际生产时，每天比原计划多生产500个，提前10天完成任务． 【解答】解：根据方程可得：为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产150000个口罩，但是在实际生产时，每天比原计划多生产500个，结果提前10天完成，求实际每天生产口罩的个数． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 二．填空题（共10小题） 13．（汉阳区期中）计算的结果是　　． 【考点】6B：分式的加减法．版权所有 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝， ＝， ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 14．（包头一模）若关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围是　a≤1且　． 【考点】B2：分式方程的解．版权所有 【分析】解分式方程得出x＝4﹣4a，根据分式方程的解为非负数可得关于a的不等式（同时保证x≠2），解之可得． 【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣2a﹣2a＝2（x﹣2）， 解得x＝4﹣4a， ∵分式方程的解为非负数， ∴4﹣4a≥0且4﹣4a≠2， 解得a≤1且a≠， 故答案为：a≤1且a≠． 【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 15．（新蔡县期中）给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是　﹣　；根据你发现的规律，试写出第6个分式　﹣　． 【考点】6A：分式的乘除法．版权所有 【分析】利用分式的除法进行计算即可． 【解答】解：﹣÷＝﹣， 第五个分式为：﹣•（﹣）＝， 第六个分式为：•（﹣）＝﹣， 故答案为：﹣；﹣． 【点评】此题主要考查了分式的乘法和除法，关键是掌握分式的乘法法则和除法法则． 16．（滨州一模）如果分式的值为0，那么x的值为　1　． 【考点】63：分式的值为零的条件．版权所有 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得x＝±1且x≠﹣1， ∴x＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 17．（东台市期中）把分式的x和y都扩大3倍，分式的值　　． 【考点】65：分式的基本性质．版权所有 【分析】先列出算式，再根据分式的性质进行化简即可． 【解答】解：＝＝ 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的性质，能灵活运用分式的性质进行化简是解此题的关键． 18．（惠民县一模）（1）因式分解：﹣9a2b+12ab﹣4b＝　﹣b（3a﹣2）2　； （2）若m﹣＝3，则m2+＝　11　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】（1）先提取公因式﹣b，再利用公式法求解可得； （2）将原等式两边平方，再进一步变形即可得． 【解答】解：（1）原式＝﹣b（9a2﹣12a+4） ＝﹣b（3a﹣2）2， 故答案为：﹣b（3a﹣2）2． （2）∵m﹣＝3， ∴（m﹣）2＝9，即m2﹣2+＝9， 则m2+＝11， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 19．（顺义区一模）化简分式的结果为　1　． 【考点】6C：分式的混合运算．版权所有 【分析】先计算括号内异分母分式的减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可得出答案． 【解答】解：原式＝[﹣]•（x﹣y） ＝•（x﹣y） ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（丰台区一模）当m+n＝1时，代数式•（m2﹣n2）的值为　4　． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m+n的值整体代入计算可得． 【解答】解：原式＝[+]•（m+n）（m﹣n） ＝•（m+n）（m﹣n） ＝4（m+n）， ∵m+n＝1， ∴原式＝4×1＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21．（2015秋•肥城市期末）已知＝，则代数式的值是　9　． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】由已知条件变形得到a﹣b＝2ab，再把原式变形得到原式＝，然后把a﹣b＝2ab代入后进行约分即可． 【解答】解：∵＝， ∴a﹣b＝3ab， ∴原式＝ ＝ ＝9． 故答案为9． 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 22．（2019春•越城区期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　3或1　． 【考点】B2：分式方程的解．版权所有 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得． 【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1， 整理，得：（a﹣1）x＝2， 当x＝1时，分式方程无解， 则a﹣1＝2， 解得：a＝3； 当整式方程无解时，a＝1， 故答案为：3或1． 【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解． 三．解答题（共18小题） 23．（东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：； （1）下列分式中，属于真分式的是　④　（填序号）； ①②③④ （2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝　2+　；若假分式的值为正整数，则整数a的值为　1或3或﹣2　； （3）请你写出将假分式化成整式与真分式的和的形式的完整过程． 【考点】1F：非负数的性质：偶次方；61：分式的定义；6C：分式的混合运算．版权所有 【分析】（1）根据真分式的定义判断； （2）仿照题目给出的方法化为整式与真分式的和，根据有理数的除法法则求出a； （3）根据平方差公式把分子变形，根据分式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）的分子整式的次数小于分母整式的次数， ∴是真分式， 故答案为：④； （2）＝＝2+， 假分式的值为正整数，则整数a为1或3或﹣2， 故答案为：2+；1或3或﹣2； （3）＝＝＝2a+2+． 【点评】本题考查分式的混合运算、真分式的定义，解题的关键是熟练运用整式的因式分解、正确理解真分式的定义． 24．（2019秋•长葛市期末）仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：＝＝2+＝2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：＝＝1+． （1）将分式化为带分式； （2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ 【考点】61：分式的定义；64：分式的值；6B：分式的加减法．版权所有 【分析】（1）仿照例，把分子2x+1变形为2x﹣2+3即可． （2）先把分式化为带分式，再确定满足条件的x的值． 【解答】解：（1）原式＝ ＝2+； （2）∵原式＝2+， ∵x为整数时， ∴x﹣1＝±1，x﹣1＝±3时，分式的值为整数． 所以x的值可以为：2，0，4，﹣2． 【点评】本题考查了新定义的运算和分式为整数的条件．看懂和理解题例是解决本题的关键． 25．（船营区校级一模）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择　甲　同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）该同学的解答从第　一　步开始出现错误，错误的原因是　通分时第一个分式的分子少乘了x﹣1　； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程．． 【考点】6C：分式的混合运算．版权所有 【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【解答】解：（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分式的分子少乘了x﹣1； 故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x﹣1； ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 26．（2019秋•慈利县期末）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝﹣2． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】首先计算乘法，然后计算减法，化简后再代入x的值即可． 【解答】解：原式＝•， ＝﹣， ＝﹣， ＝﹣， 当x＝﹣2时，原式＝． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的加减乘除法的计算法则． 27．（2019秋•浦东新区期末）先化简，再求值：，其中x＝3． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣， 当x＝3时，原式＝﹣． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．（黄冈一模）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论． 【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工， 依题意，得：+＝1， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 1÷（+）＝18（天）． 答：甲乙两队合作完成该工程需要18天． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 29．（黄冈一模）化简求值：，其中x＝． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】根据分式的混合运算先将分式化简，再代入求值即可． 【解答】解：原式＝• ＝ ＝﹣x（x+1） ＝﹣x2﹣x 当x＝时，原式＝﹣2﹣． 【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简． 30．（长春模拟）为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】设原计划每天加工x个，根据“原计划所需时间﹣实际所用时间＝5”列方程求解可得． 【解答】解：设原计划每天加工x个， 根据题意，得， 解得：x＝400， 经检验，x＝400是原方程的解且符合题意． 答：原计划每天加工400个． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 31．（2019秋•襄州区期末）高速铁路列车（简称：高铁）是人们出行的重要交通工具：已知高铁平均速度是普通铁路列车（简称：普客）平均速度的的3倍．同样行驶690km，高铁比普客少用4.6h． （1）求高铁的平均速度． （2）某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到里程1050km的A市参加当天14：00召开的会议．若他从A市高铁站到会议地点最多还需要1.5h，试问在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？ 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设高铁的平均速度为xkm/h，则普通铁路列车的平均速度为xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合同样行驶690km高铁比普客少用4.6h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用到达所需时间＝里程÷速度+1.5可求出在高铁准点到达的情况下王老师到达会议地点所需时间，将其与发车到会议召开时间相比较即可得出结论． 【解答】解：（1）设高铁的平均速度为xkm/h，则普通铁路列车的平均速度为xkm/h， 依题意，得：﹣＝4.6， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列分式方程的解，且符合题意． 答：高铁的平均速度为300km/h． （2）1050÷300+1.5＝5（h）， 14﹣8＝5（h）． ∵5＜5， ∴在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 32．（2019秋•裕华区校级期末）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为P10plus手机四月售价比三月每台降价500元．如果卖出相同数量的华为P10plus手机，那么三月销售额为90000元，四月销售额只有80000元． （1）填表： 销售额（元） 单价（元/台） 销售手机的数量（台） 三月 90000 x 　　 四月 80000 　（x﹣500）　 　　 （2）三、四月华为P10plus手机每台售价各为多少元？ （3）为了提高利润，该店计划五月购进华为P20pro手机销售，已知华为P10plus每台进价为3500元，华为P20pro每台进价为4000元，调进一部分资金购进这两种手机共20台（其中华为P10plus有m台），在销售中决定在四月售价基础上每售出一台华为P10plus手机再返还顾客现金100元，而华为P20pro按销售价4400元销售，若将这20台手机全部售出共获得多少利润？ 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台，此问得解； （2）根据数量＝总价÷单价结合三、四月份华为P10plus手机的销售量相等，即可得出那样x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （3）设总利润为y元，根据总利润＝单台利润×销售数量，即可求出获得的总利润． 【解答】解：（1）设三月华为P10plus手机每台售价为x元，则四月华为P10plus手机每台售价为（x﹣500）元，三月售出手机台，四月售出手机台． 故答案为：（x﹣500）；；． （2）依题意，得：＝， 解得：x＝4500， 经检验，x＝4500是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x﹣500＝4000． 答：三月华为P10plus手机每台售价为4500元，四月华为P10plus手机每台售价为4000元． （3）设总利润为y元， 依题意，得：y＝（4000﹣3500﹣100）m+（4400﹣4000）（20﹣m）＝8000． 答：若将这20台手机全部售出共获得8000元利润． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 33．（2019秋•邢台期末）规定一种新的运算“”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，＝0；当A的次数等于B的次数时，的值为A、B的最高次项的系数的商；当A的次数大于B的次数时，不存在．例如：＝0，＝． （1）求的值． （2）若＝（2﹣）÷，求的值． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案． 【解答】解：（1）A＝3+2x，B＝x3﹣x2， ∵A的次数小于B的次数， ∴＝0． （2）∵＝（2﹣）÷ ＝（） ＝，A的次数等于B的次数 ∴＝． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键． 34．（2019秋•临西县期末）某学生在化简求值：+其中x＝3时出现错误．解答过程如下： 原式＝+（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 当x＝3时，原式＝＝（第四步） ①该学生解答过程从第　一　步开始出错，其错误原因是　通分错误　． ②写出此题的正确解答过程． 【考点】6D：分式的化简求值．版权所有 【分析】①利用分式加减运算法则判断得出答案； ②直接利用分解加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：①该学生解答过程从第 一步开始出错，其错误原因是 通分错误． 故答案为：一，通分错误； ②原式＝+ ＝ ＝， 当x＝3时，原式＝． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键． 35．（2019秋•郾城区期末）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价7元售出150本时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的书． （1）每本书第一次的批发价是多少钱？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设每本书第一次的批发价为x元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案． 【解答】解：（1）设每本书第一次的批发价是x元，则第二次购书时，每本书的批发价是（1+20%）x元， 根据题意得：． 解得：x＝5． 经检验，x＝5是原方程的解， 答：每本书第一次的批发价是5元； （2）第一次购书为1200÷5＝240（本）， 第二次购书为240+10＝250（本）， 第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元）， 第二次赚钱为150×（7﹣5×1.2）+（250﹣150）×（7×0.5﹣5×1.2）＝﹣100（元）， 所以两次共赚钱480﹣100＝380（元）， 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了380元． 【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 36．（2019秋•咸安区期末）列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答． 【解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时． 依题意，得． 解方程，得x＝100． 经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意． 答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 37．（长春模拟）为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度． 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米．依据“小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答． 【解答】解：设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米． 根据题意得：． 解得x＝20． 经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义． 答：小红骑自行车的速度是每小时20千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 38．（2019秋•高邑县期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： （1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【考点】65：分式的基本性质；6A：分式的乘除法．版权所有 【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案； （2）当原式＝﹣1，求出x的值，进而分析得出答案． 【解答】解：（1）设被手遮住部分的代数式为A． 则[A﹣]×＝， （A﹣）×＝， A﹣＝， 则A＝+＝． （2）不能， 理由：若能使原代数式的值能等于﹣1， 则，即x＝0， 但是，当x＝0时，原代数式中的除数，原代数式无意义． 所以原代数式的值不能等于﹣1． 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握分式的基本性质是解题关键． 39．（2019秋•来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　②　（填写序号即可）； （2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值； （3）在化简时， 小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：＝＝ 小强：＝＝ 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母　， 请你接着小强的方法完成化简． 【考点】66：约分．版权所有 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题； （2）根据和谐分式的定义可以得到a的值； （3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题． 【解答】解：（1）②分式＝，不可约分， ∴分式是和谐分式， 故答案为：②； （2）∵分式为和谐分式，且a为正整数， ∴a＝4，a＝5； （3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母， 原式＝＝＝＝ 故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答． 40．（2019秋•宁都县期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． （1）问第二次购进了多少件文具？ （2）文具店老板第一次购进的文具有3% 的损耗，第二次购进的文具有5%的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由． 【考点】B7：分式方程的应用．版权所有 【分析】（1）设第一次购进x件文具，根据第二次购进文具是第一次购进数量的2倍，列分式方程求解； （2）求出两次销售的总金额，然后和成本相比，判断盈亏． 【解答】解：（1）设第一次购进x件文具， 由题意得，＝﹣2.5， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， 则2x＝2×100＝200． 答：第二次购进200件文具； （2）销售金额为：[100（1﹣3%）+200（1﹣5%）]×15＝4305（元）， 则盈利为：4305﹣1000﹣2500＝805（元）． 答：文具店老板在这两笔生意中盈利805元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$