专题01 基本平面图形（考题猜想，15大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题01 基本平面图形（15大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 理解直线、射线、线段、角的相关概念（易错） · 题型二 与直线、射线、线段、角有关的数量问题（高频） · 题型三 画直线、射线、线段（易错） · 题型四 与线段中点有关的计算问题（高频） · 题型五 利用代数式表示线段长度（压轴） · 题型六 利用分类讨论思想求解线段长度（难点） · 题型七 与线段有关的动点问题（压轴） · 题型八 角度的四则运算（易错） · 题型九 与方向角有关的计算问题（重点） · 题型十 与角平分线有关的计算问题（高频） · 题型十一 与三角板有关的角度计算问题（压轴） · 题型十二 实际问题中的角度计算（重点） · 题型十三 钟面角问题（压轴）题型十四 利用分类讨论思想求解角的度数（难点） · 题型十五 多边形对角线问题 题型一 理解直线、射线、线段、角的相关概念（易错） 1．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 2．（22-23六年级下·山东泰安·期中）有下列结论：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线与射线是两条不同的射线；④与是同一个角；⑤两点之间直线最短．其中正确的是（    ） A．④⑤ B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 3．（24-25六年级上·山东济南·期末）下列说法：①连接两点的线段叫做这两点之间的距离；②两条射线所组成的图形叫做角；③经过两点有且只有一条直线；④若线段，则点C是线段的中点；⑤各边相等的多边形叫做正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24六年级下·山东东营·期末）下列说法正确的是（　　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．用条形统计图可以准确描述一周的温度变化趋势 C．两条射线组成的图形叫做角 D．从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点确定一条直线” 题型二 与直线、射线、线段、角有关的数量问题（高频） 5．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 6．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）济青高铁，共设有7个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 种. 7．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角；从图（2）顶点画条射线，图中共有个角，按这样规律继续下去，若从顶点画条射线，则图中共有（    ）个角． A． B． C． D． 8．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 题型三 画直线、射线、线段（易错） 9．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，点C在线段上，点P在线段外． (1)按下列要求画图： ①画直线，射线，线段； ②延长到点D，使得． (2)根据（1）画图，能判断吗？请说明理由． 10．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）    (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到E，使得； (4)在线段上取点P，使的值最小． 11．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，在平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： (1)画线段、直线； (2)用尺规在直线作点E，使点C是的中点（保留痕迹）； (3)在平面内画出点O，使点O到A、B、C、D四点的距离和最短． 题型四 与线段中点有关的计算问题（高频） 12．（23-24六年级下·山东威海·期中）如图，已知点为上一点，，分别为的中点．求的长． 13．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点． (1)若，且，求的长． (2)若线段，且，求的长． 14．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．    (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 题型五 利用代数式表示线段长度（压轴） 15．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）点C为直线上一点，点M，N分别是线段和的中点． (1)如图，若C为线段上一点，，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他的条件不变，请直接写出线段的长（用含x的代数式表示）； (3)若C为线段延长线上的一点，且满足，其他的条件不变，请直接写出线段的长（用含y的代数式表示）． 17．（21-22七年级下·北京海淀·开学考试）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子沿M、N点折叠，点A、B分别落在处． (1)如图2，若恰好重合于点O处， ___________； (2)如图3，若点落在的左侧，且，求的长度； (3)若，求的长度．（用含n的代数式表示） 题型六 与线段有关的动点问题（压轴） 18．（21-22六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 19．（21-22七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 20．（22-23七年级上·江苏徐州·期末）点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 题型七 利用分类讨论思想求解线段长度（难点） 21．（22-23六年级下·山东济南·阶段练习）已知线段，在直线上有一点C，且，是线段的中点，求线段的长． 22．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知线段，在直线上有一点，且，点是线段的中点，请结合你画的图形求线段的长． 题型八 角度的四则运算（易错） 23．（22-23六年级下·山东东营·期中）（1）； （2）． 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 与方向角有关的计算问题（重点） 25．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点表示学校，下面是三个同学对话： 甲同学：“我家（点表示）在学校的西北方向上．” 乙同学：“我家（点表示）在学校的北偏东方向上．” 丙同学：“我家（点表示）在学校的南偏西方向上．”    (1)根据上面三个同学的对话，在图中画出射线，，； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 26．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 27．（20-21六年级下·山东泰安·阶段练习） 如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是北偏西，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是______ ； （2）求的度数； （3）若=90°，试说明射线OE平分． 题型十 与角平分线有关的计算问题（高频） 28．（24-25六年级上·山东济南·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 29．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知O为直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 题型十一 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 31．（24-25七年级上·山东临沂·期末）三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点放置在直线上，三角板绕点在平面内旋转（三角板的各边均在直线的上方），分别平分和． (1)在三角板旋转过程中，当时，求和的度数； (2)随着三角板的旋转，的大小会随着变化，请判断的大小是否变化？请说明理由． 32．（23-24六年级下·山东烟台·期末）图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 33．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 34．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在， ）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 题型十二 实际问题中的角度计算（重点） 35．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 36．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 题型十三 钟面角问题（压轴） 37．（23-24七年级上·广东惠州·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 38．（23-24六年级下·山东青岛·期中）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习： 时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从到，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．故时，时针与分针所成角度是．    问题解决： (1)当时，时针与分针所成角度是____________； (2)如图1，盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有____________个美妙时刻． 题型十四 利用分类讨论思想求解角的度数（难点） 39．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则 ；若、的平分线分别为，则      40．（2024七年级上·河南·专题练习）在同一平面内，已知，，是的平分线，是的平分线，则 ． 题型十五 多边形对角线问题 41．（20-21六年级下·山东淄博·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 42．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 43．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ $$专题01 基本平面图形（15大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 理解直线、射线、线段、角的相关概念（易错） · 题型二 与直线、射线、线段、角有关的数量问题（高频） · 题型三 画直线、射线、线段（易错） · 题型四 与线段中点有关的计算问题（高频） · 题型五 利用代数式表示线段长度（压轴） · 题型六 利用分类讨论思想求解线段长度（难点） · 题型七 与线段有关的动点问题（压轴） · 题型八 角度的四则运算（易错） · 题型九 与方向角有关的计算问题（重点） · 题型十 与角平分线有关的计算问题（高频） · 题型十一 与三角板有关的角度计算问题（压轴） · 题型十二 实际问题中的角度计算（重点） · 题型十三 钟面角问题（压轴） · 题型十四 利用分类讨论思想求解角的度数（难点） · 题型十五 多边形对角线问题 题型一 理解直线、射线、线段、角的相关概念（易错） 1．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、点A在直线外，原说法正确，故此选项不符合题意； B、点C在直线上，原说法正确，故此选项不符合题意； C、射线与射线是不是同一条，原说法错误，故此选项符合题意； D、直线和直线相交于点B，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C 2．（22-23六年级下·山东泰安·期中）有下列结论：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线与射线是两条不同的射线；④与是同一个角；⑤两点之间直线最短．其中正确的是（    ） A．④⑤ B．③④ C．①②⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】根据角的定义、两点之间线段最短、两点间的距离、射线的定义逐一分析可得答案． 【详解】解：①具有共同端点两条射线组成的图形叫做角，那么①错误； ②连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，那么②错误； ③射线与射线是两条不同的射线，那么③正确； ④根据角的表示，与是同一个角，那么④正确； ⑤两点之间线段最短，那么⑤错误； 综上：正确的有③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角、两点之间线段最短、两点间的距离、射线，熟练掌握角的定义、两点之间线段最短、两点间的距离、射线的定义是解决本题的关键． 3．（24-25六年级上·山东济南·期末）下列说法：①连接两点的线段叫做这两点之间的距离；②两条射线所组成的图形叫做角；③经过两点有且只有一条直线；④若线段，则点C是线段的中点；⑤各边相等的多边形叫做正多边形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查两点间的距离、角、线段中点的定义以及直线的性质，正多边形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 根据两点间的距离、角、线段中点的定义以及直线的性质，正多边形的定义逐项判断即可． 【详解】解：①连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故①错误； ②有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故②说法错误； ③经过两点有且只有一条直线，故③说法正确； ④若线段，若点C在线段外，则点C不是线段的中点，故④说法错误; ⑤各边相等且各内角相等的多边形叫做正多边形，故⑤错误， ∴正确的有1个， 故选：A． 4．（23-24六年级下·山东东营·期末）下列说法正确的是（　　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．用条形统计图可以准确描述一周的温度变化趋势 C．两条射线组成的图形叫做角 D．从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点确定一条直线” 【答案】A 【分析】本题考查垂直的性质，条形统计图的特点，角的定义，两点之间线段最短等知识点，分别根据垂直的性质，条形统计图的特点，角的定义，两点之间线段最短等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．本选项说法正确； B、用条形统计图可以准确描述一周的温度，无法准确描述温度的变化趋势．故本选项说法错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．故本选项说法错误； D、从A地到B地架设电线，为使材料更省总是尽可能沿线段架设，理论依据是“两点之间线段最短”．故本选项的说法错误． 故选：A 题型二 与直线、射线、线段、角有关的数量问题（高频） 5．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查了线段条数的问题，根据题意确定出数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有五个站，相当于有5个点， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为5个点所能组成的线段条数， ∵2点能确定一条线段， ∴5个点一共最多能确定条线段， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有10种， 故选：C 6．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）济青高铁，共设有7个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票 种. 【答案】42 【分析】此题主要考查了线段，把高铁线路看作是一条直线，7个不同的站点就是直线上7个不同的点，此时就把求单程车票的种数转化为求直线上线段的条数，据此先求出直线上线段的条数，然后再乘以2即可得出需要印制不同的火车票的种数． 【详解】解：把高铁线路看作是一条直线，7个不同的站点就是直线上7个不同的点， 直线有7个点，共有线段的条数为：（条， 单层火车票需要印制21种， 要保证每两个站点之间都有高铁可乘， 需要印制不同高铁票的种数为：（种． 故答案为：42． 7．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角；从图（2）顶点画条射线，图中共有个角，按这样规律继续下去，若从顶点画条射线，则图中共有（    ）个角． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可以总结出从角的顶点画射线，图中共有个角，即可得到答案 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角； 故选： 【点睛】本题考查了角的概念，关键是由条件总结出从角的顶点画条对角线，图中共有个角． 8．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定 一条线段.请仔细观察图形，解决下列问题： 试验观察： （1）如图①所示，直线l上有3个点A，B， C，则可以确定 条线段. （2）如图②所示，直线l上有4个点 A，B， C，D，则可以确定 条线段. 探索归纳： （3）若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段? （4）如图③所示，由泰山始发终点至青岛的某次列车，运行途中停靠的车站依次是泰山、济南、淄博、潍坊、青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票有（    ） A．5 种    B．10 种     C．15 种     D．20 种 【答案】（1）3（2）6（3）（4）B 【分析】（1）直接利用线段的定义即可得到结论． （2）直接利用线段的定义即可得到结论． （3）根据（1）、（2）得到的结论进行解答． （4）单程两个站点有一种票，相当于两两组合，由结论式来解答． 此题考查直线、线段、射线，关键是掌握结论式．以及根据直线、线段、射线的区别解答． 【详解】解：（1）直线上有、、，线段总条数是：， 故答案为：3； （2）若直线上有四个点、、、，线段总条数是：， 故答案为：6； （3）若直线上有个点时，线段总条数． （4）解：（种， 要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 题型三 画直线、射线、线段（易错） 9．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，点C在线段上，点P在线段外． (1)按下列要求画图： ①画直线，射线，线段； ②延长到点D，使得． (2)根据（1）画图，能判断吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查直线、射线、线段定义，画直线、射线、线段，正确理解各线的定义作出图形是解题的关键． （1）①根据直线、射线、线段定义解答； ②延长，截取即可； （2）根据即可得证． 【详解】（1）①如图：直线，射线，线段即为所求； ②线段即为所求； （2）， 理由：∵， ∴， ∴． 10．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）    (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长到E，使得； (4)在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)画图见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）过A，B画直线即可； （2）以A为端点，画过C的射线即可； （3）再线段的延长线上画即可； （4）连接交于P即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所画的直线； （2）如图，射线即为所画的射线， （3）如图，线段即为所画的线段， （4）如图，点P即为所画的点，   ． 11．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，在平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： (1)画线段、直线； (2)用尺规在直线作点E，使点C是的中点（保留痕迹）； (3)在平面内画出点O，使点O到A、B、C、D四点的距离和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，线段，尺规作线段： （1）根据线段，直线的定义，作图即可； （2）以为圆心，的长为半径化弧，交直线于点，即可； （3）根据两点之间，线段最短，连接，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，线段、直线即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 题型四 与线段中点有关的计算问题（高频） 12．（23-24六年级下·山东威海·期中）如图，已知点为上一点，，分别为的中点．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段的和差倍计算，能够准确的表示出所求线段，并根据已知条件求得相关线段，是求解本题的关键．首先根据可以求出，由 是的中点，所以，是的中点，所以，即可求出． 【详解】解： ， ，即， ， 是的中点，是的中点， ，， ． 13．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，点为线段的中点，点为线段上的点，点为线段的中点． (1)若，且，求的长． (2)若线段，且，求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段中点的定义，关键是掌握线段中点的定义． （1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）根据，可求得a、b的值，即得的长，因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：， ， ， ， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 14．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．    (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M 、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，图及理由见解析 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点， ∴， ∴ ∴线段的长为． （2）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图:    ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 题型五 利用代数式表示线段长度（压轴） 15．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）点C为直线上一点，点M，N分别是线段和的中点． (1)如图，若C为线段上一点，，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其他的条件不变，请直接写出线段的长（用含x的代数式表示）； (3)若C为线段延长线上的一点，且满足，其他的条件不变，请直接写出线段的长（用含y的代数式表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段的中点的性质、线段的和差运算： （1）由中点的性质得，根据可得答案； （2）根据点M、N分别是的中点，，所以； （3）根据中点的性质得，结合图形依据可得答案． 【详解】（1）∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）， 如图， ∵分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．（21-22七年级下·北京海淀·开学考试）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子沿M、N点折叠，点A、B分别落在处． (1)如图2，若恰好重合于点O处， ___________； (2)如图3，若点落在的左侧，且，求的长度； (3)若，求的长度．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)30 (2) (3)或 【分析】（1）由题意可得：，再结合图形可求得答案； （2）先结合图形可求得，再根据中点性质和线段和差关系计算即可； （3）分两种情况分别计算即可：当点落在的左侧时，当点落在的右侧时． 【详解】（1）解：∵将绳子沿M、N点折叠，点A、B分别落在处，恰好重合于点O处， ∴， ∴； 故答案为：30． （2）解：∵， ∴． 根据题意得，M、N分别为的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵M、N分别为的中点， ∴． 当点落在的左侧时， ∴ ； 当点落在的右侧时， ∵， ∴． ∴ 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分计算，整式的加减的应用和图形的剪拼等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式，并注意分类思想的运用． 题型六 与线段有关的动点问题（压轴） 18．（21-22六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 19．（21-22七年级上·重庆綦江·期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 20．（22-23七年级上·江苏徐州·期末）点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当t为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点 【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可； （2）根据“最强点”的定义列式即可； （3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况． 【详解】（1）∵点是的最强点， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵是的最强点， ， ， 又，， ， ， 故答案为：； （3）解：根据题意，当时、相遇， ， 解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴满足题意； ②设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； ④设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； ⑥设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ∵， ∴点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； 综上所述，当为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点等问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 题型七 利用分类讨论思想求解线段长度（难点） 21．（22-23六年级下·山东济南·阶段练习）已知线段，在直线上有一点C，且，是线段的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，根据点在上和延长线上分类讨论即可；分类讨论是解题的关键． 【详解】①当点C在线段上时，如图所示． 因为M是线段的中点， 所以． 又因为，，， 所以． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示． 因为M是线段的中点， 所以． 又因为，，， 所以． 所以线段的长为或． 22．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知线段，在直线上有一点，且，点是线段的中点，请结合你画的图形求线段的长． 【答案】的长为或． 【分析】分两种情况：点C在线段的延长线上，和点C在线段上，根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【详解】解：①当点C在线段的延长线上，   ，， ∴， 为中点， ∴； ②当点C在线段上时，     ，， ∴， 为中点， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的画出图形是解题的关键． 题型八 角度的四则运算（易错） 23．（22-23六年级下·山东东营·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型九 与方向角有关的计算问题（重点） 25．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，点表示学校，下面是三个同学对话： 甲同学：“我家（点表示）在学校的西北方向上．” 乙同学：“我家（点表示）在学校的北偏东方向上．” 丙同学：“我家（点表示）在学校的南偏西方向上．”    (1)根据上面三个同学的对话，在图中画出射线，，； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解方向角的定义． （1）根据方向角的定义画出图形； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，射线，，即为所求；   ； （2）解：结论：． 理由：由题意，，，， ，， ， ． 26．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，货轮航行在处发现灯塔在南偏东方向(即灯塔的方位角，记为射线)，同时发现客轮和海岛分别在北偏东方向、西北(即北偏西)方向． (1)在图中分别画出表示客轮和海岛方向的射线，；(要在图中标记度数，不写作法) (2)货轮在处发现一艘渔船，已知的补角是余角的倍，通过计算写出渔船的方位角． 【答案】(1)见解析 (2)南偏西或北偏东 【分析】本题考查方位角以及余角补角的计算， （1）根据方向角的意义画出表示客轮和海岛方向的射线，； （2）根据题意列出方程，解方程求得，进而根据方向角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图．，即为所求； （2）由题意可得． 解得． ， 或 所以渔船的方位角是南偏西或北偏东． 27．（20-21六年级下·山东泰安·阶段练习） 如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是北偏西，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是______ ； （2）求的度数； （3）若=90°，试说明射线OE平分． 【答案】（1）北偏东70°；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COD的度数； （3）根据=90°，即可求出，再利用可以得出，即可证出射线OE平分． 【详解】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB=40°，∠NOA=15°， ∴∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°， ∵∠AOB=∠AOC， ∴∠AOC=55°， ∴∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB， ∴∠BOC=110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD=180°． ∴∠COD=180°-110°=70°． （3）∵=90°，， ， ∴， 又∵， ∴， ∴射线OE平分． 【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 题型十 与角平分线有关的计算问题（高频） 28．（24-25六年级上·山东济南·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． 根据角平分线的定义及角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ， ， ． 29．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知O为直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查角的计算，掌握角的和、差、倍角之间的关系是解题的关键． （1）先求得，再根据角平分线的定义可得，再根据求解即可； （2）设，则，再根据角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论； 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ． 30．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可； 【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； ②由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； （2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， ． 题型十一 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 31．（24-25七年级上·山东临沂·期末）三角板是我们日常学习数学必备的文具．如图，三角板的直角顶点放置在直线上，三角板绕点在平面内旋转（三角板的各边均在直线的上方），分别平分和． (1)在三角板旋转过程中，当时，求和的度数； (2)随着三角板的旋转，的大小会随着变化，请判断的大小是否变化？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，三角板中角度的计算： （1）平角的定义求出，角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义结合平角的定义求出的度数即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ． 又，分别平分和， ，， ． （2）不会，理由如下： ，， ． 又分别平分和， ，． ． 32．（23-24六年级下·山东烟台·期末）图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 33．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知将一副三角板（直角三角板和直角三角板的两个顶点重合于点，，． (1)如图1，当恰好平分时，求的度数； (2)如图2，在内部，作射线，使，在内部，作射线，使，如果三角板在内绕任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了角的计算和角平分线的定义等内容，熟练掌握角的和差计算方式是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，再用即可得解； （2）已知，要求，可以先求，利用已知条件很容易求出，再用即可得解． 【详解】（1）是的角平分线，， ， ． （2）不变，理由如下， ，， ， ，， ，， ， ． 34．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在， ）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个即可）； （2）解：， ， ， ∵， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 题型十二 实际问题中的角度计算（重点） 35．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 36．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12；45 (2)①；②转动时间为， ；③存在，t的值为或 【分析】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键． （1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而占其中的两份即可得解； （2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解； ②作的角平分线交于，则，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时转动的角度也是，从而求出； ③用t表示出和，再利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：，， 故答案为：12；45； （2）①∵，， ∴， 又∵， ∴； ②作的角平分线交于， 则， ∴，即转动的角度是， ∴转动时间为，转动的角度也是， ∴等于转动的角度减去原来的角度， 即； ③存在，t的值为或，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴点到达到最高处时，时间为：， ∴． 依题意得：，， ∵，即， 解得：或， ∴存在，t的值为或． 题型十三 钟面角问题（压轴） 37．（23-24七年级上·广东惠州·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1-12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)3点整时，时针与分针所成角度是______，9点30分时，时针与分针所成角度是______； (2)如图2，当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？（精确到分） (3)1点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻．（精确到分） 【答案】(1)， (2)7点05 (3)在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． （1）按照题干步骤，3点整，时针与分针所成角度是；9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动，时针转动，列算式即可求解； （2）因为时针比分针走得慢，所以再次到达美妙时刻时，分针比时针多走一圈，用分针多走的角度除以分针和时针的速度差即为再次到达美妙时刻所需的时间，再转化为美妙时刻即可求解； （3）设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，根据等量关系“分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值”分时针和分针垂直包含2种情况 和分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：3点整，时针与分针所成角度是； 9点时，时针与分针所成角度是，9点30分时，分针转动的角度，，时针转动的角度，，，所以9点30分时，时针与分针所成角度是． 故答案为：，； （2）解：六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转， 所以到达下一个美妙时刻需要时间分钟，所以下一个美妙时刻是7点05分． （3）解：设从一点开始过了分钟时针和分针垂直，由题意得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或； ①当最终差值为时：， 解得：； ②当最终差值为时：， 解得：． 答：在1点22分和1点55分时，时针和分针垂直． 38．（23-24六年级下·山东青岛·期中）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习： 时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从到，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．故时，时针与分针所成角度是．    问题解决： (1)当时，时针与分针所成角度是____________； (2)如图1，盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有____________个美妙时刻． 【答案】(1)75° (2)7.5分钟 (3)22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角平分线，关键是注意分类讨论． （1）三点三十分时，时针与分针所成角度分针转动的角度时针转动的角度）； （2）设经过分钟，第一次平分，因为平分，可得，即，可解得的值； （3）先算相邻两次成花费的时间，可得24小时有几个时针和分针所成角度时形成一条直线． 【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为， 分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ， 故答案为：75； （2）解：设经过分钟，第一次平分， 平分， ， 即， 解得：， 答：经过分钟，第一次平分； （3）解：相邻两次成之间，分针比时针多走，花费的时间（分）， 24小时分， （次）， 故答案为：． 题型十四 利用分类讨论思想求解角的度数（难点） 39．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则 ；若、的平分线分别为，则 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键．分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图，    ∵， ∴． ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图，    ∵， ∴． ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ． 故答案为：或；或． 40．（2024七年级上·河南·专题练习）在同一平面内，已知，，是的平分线，是的平分线，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的有关计算，利用分类讨论的思想是解题关键．分当在外部和当在内部两种情况讨论，结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当在外部时，如图①， 因为是的平分线，是的平分线， 所以，， 所以； ②当在内部时，如图②， 因为是的平分线，是的平分线， 所以，， 所以． 综上可知 或． 故答案为：或． 题型十五 多边形对角线问题 41．（20-21六年级下·山东淄博·期中）探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过A点可以作______条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点可以作_____条对角线；经过D点可以作______条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有_______条对角线． (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2共有_______条对角线；图3共有______条对角线； (3)探索归纳： 对于n边形（），共有_________条对角线．（用含n的式子表示） (4)运用结论： 九边形共有________条对角线． 【答案】(1)1，1，1，1，2 (2)5，9 (3) (4)27 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）根据对角线的定义，可得答案；（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】（1）解：经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）解∶ 运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）解∶由（1），（2）可知，对于n边形（n＞3），共有条对角线； 故答案为：； （4）解：当n=9时，， ∴十边形有27对角线． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． 42．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)请在图中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… n 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… a 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… b 表格中_____，_____；（用含的代数式表示） (3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？ 【答案】(1)见解析； (2)， (3)场 【分析】本题主要考查了列代数式，总结图形规律，有理数的混合运算，正确理解题意，总结图形规律是解题的关键． （1）根据所给材料作图即可； （2）先总结规律，进而即可得解； （3）把代入计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； …… ∴多边形的边数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数； 故答案为：，； （3）解：（场） ∴总共要比赛场． 43．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 【答案】(1)9 (2)2， (3)，不可以，见解析 (4)62；70 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）研究表格数据得，即可作答． （2）研究表格数据得当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个：与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形，即可作答． （3）依题意，列式，则不是正整数，即可作答． （4）模仿题干过程，然后结合三角形以及四边形来研究：得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，根据表格数据得 ， ， ∴， 故答案为：9； （2）解：发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个： 与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； 故答案为：2，； （3）解：由（2）得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； ∴把代入，得， 原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个，理由如下： ， 解得，不是正整数， ∴原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个； （4）解：如图，四边形内部有若干个点，用这些点以及四边形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 则把代入，得（个）， 观察题干的表格数据，用三角形以及四边形来研究： 得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数 即， 当十二边形内有30个点时，分割成个三角形． $$