精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威第八中学中考一模数学试题

九年级第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. x2+x2=x4 B. x8÷x2=x4 C. x2•x3=x6 D. （-x）2-x2=0 4. 如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 5. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 甘肃省水资源主要分属黄河、长江、内陆河个流域、个水系，年总地表径流量立方米，数据用科学记数法表示为______． 13. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 14. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______． 15. 阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面_________． 16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，分别以，长为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题共6小题，共30分． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 化简：． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 21. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 22. 甘肃各地气候类型多样，从南向北包括了A：亚热带季风气候，B：温带季风气候，C：温带大陆性（干旱）气候和D：高原高寒气候等四大气候类型．地理兴趣社团的成员想要对这些气候进行研究．于是他们将每种气候的名称写在完全相同且不透明的卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请社团的成员随机抽取一张，然后研究卡片上对应的气候．小锦先从中随机抽取一张卡片，记下对应气候之后正面向下放回，洗匀后小力再从中随机抽取一张卡片． （1）小锦抽到“B：温带季风气候”的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小锦和小力抽到的气候类型不同的概率． 四、解答题：本大题共5小题，共42分 23. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，的取值范围是______． 25. 如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 26. 【问题情境】 小睿遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 【问题探究】 小睿发现，过点C作，交的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2． （1）①的度数为______；②求的长； 【问题拓展】 （2）如图3，在四边形中，，，，与交于点E，，，求的长． 27. 如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次模拟考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是无理数； B、，是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数； 故选：A． 2. 如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，熟练掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的前提．直接根据简单几何体三视图的画法画出其主视图即可． 【详解】解：该玉琮俯视图为： 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. x2+x2=x4 B. x8÷x2=x4 C. x2•x3=x6 D. （-x）2-x2=0 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A原式=2x2，故A不正确； B原式=x6，故B不正确； C原式=x5，故C不正确； D原式=x2-x2=0，故D正确； 故选D 考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方． 4. 如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图所示： ∵， ∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ACB＝∠1+∠4＝90°， ∴∠4＝90°﹣∠1＝90°﹣25°＝65°， ∴∠2＝∠4＝65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 5. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长． 【详解】解：∵为的直径，， ∴∠ACB=90°，， 连接OD， ∵， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△OBD为等边三角形， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 故选：． 7. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 8. 自行车停车架，主要用于自行车稳定停放及快速取放，如图1是自行车固定好后，后轮与车架的摆放方式，图2是它的简化示意图，已知后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B，车轮半径为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，弧长计算，矩形的判定和性质，连接、，根据切线性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据弧长计算公式求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵后轮与底部停车架切于点A，与侧面停车架切于点B， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的长度为， 故选：B． 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两 由题意得： 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为，则 四边形ABCD是正方形 ， 是的中点 则在，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 12. 甘肃省水资源主要分属黄河、长江、内陆河个流域、个水系，年总地表径流量立方米，数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤5且k≠1 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤5且k≠1. 故答案为：k≤5且k≠1. 14. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵H为边中点， ∴． 故答案为：6． 15. 阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 端此时距地面， 故答案为：． 16. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，分别以，长为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共30分． 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】原式先将括号内的进行通分，再把除法转换为乘法，进行约分即可得到结果． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 ． 理由：连接DF，EG如图所示 则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 21. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】甘州木塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键． 设的长为，则，分别根据三角函数值表示，再列方程求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 设的长为，则 在中，， ， 在中，， ， ∴ 解得， ， ∴， 甘州木塔的高度约为． 22. 甘肃各地气候类型多样，从南向北包括了A：亚热带季风气候，B：温带季风气候，C：温带大陆性（干旱）气候和D：高原高寒气候等四大气候类型．地理兴趣社团的成员想要对这些气候进行研究．于是他们将每种气候的名称写在完全相同且不透明的卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请社团的成员随机抽取一张，然后研究卡片上对应的气候．小锦先从中随机抽取一张卡片，记下对应气候之后正面向下放回，洗匀后小力再从中随机抽取一张卡片． （1）小锦抽到“B：温带季风气候”的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小锦和小力抽到的气候类型不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同， ∴小锦抽到“B：温带季风气候”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 由树状图可知：共有 16 种等可能的结果， 小锦和小力抽到的气候类型不同的结果有12种， ∴小锦和小力抽到的气候类型不同的概率为 四、解答题：本大题共5小题，共42分 23. “足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 【答案】（1）117 （2）补全条形图如下： （3）B （4）30 【解析】 【分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得； （2）根据以上所求结果即可补全图形； （3）根据中位数的定义求解可得； （4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得． 【详解】解：（1）∵总人数为18÷45%=40人， ∴C等级人数为40﹣（4+18+5）=13人， 则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°， 故答案为117； （2）略 （3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级， 所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级， 故答案为B． （4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，交点坐标适合两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标分别代入，求出m的值，即可得到点A，B坐标，再把点A的坐标代入，求出的即可； （2）求出点B，C，D的坐标，根据可得结论； （3）结合图像可得结论 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点， 把点代入，得 ∴ ∴与反比例函数解析式为 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，；当时，， ∴， ∴ 把代入，得， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或 25. 如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等角对等边，直径所对的圆周角为直角，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，和等角对等边可得，即可得出，再根据，可推出，即可证明是的切线． （2）由（1）可得，，根据三角函数可得，，进而得出，根据直径所对的圆周角为直角，，可推出，再根据等角对等边，可得，，进而证明，，代入数值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 解得． 26. 【问题情境】 小睿遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段上，，，，，求的长． 【问题探究】 小睿发现，过点C作，交的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2． （1）①的度数为______；②求的长； 【问题拓展】 （2）如图3，在四边形中，，，，与交于点E，，，求的长． 【答案】（1）①；②6；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，正确画出辅助线、构造直角三角形求解是解题的关键． （1）①根据“两直线平行，同旁内角互补”即可解答；②通过证明得出，然后代入数据进行计算，再可得出，即可解答； （2）过点D作于点F，先证明，得出，再证明，根据在中解直角三角形即可解答． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵， ∴，则； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：过点D作于点F． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴． 27. 如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． （1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 【答案】（1），，，抛物线对称轴为直线； （2）①； ②，时，S取得最大值． 【解析】 【分析】（1）由题意令求出的值，确定出与坐标，令求出的值确定出的坐标，进而求出对称轴即可； （2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出； ②连接，设直线与轴交于点，求出的长，三角形面积等于三角形面积加上三角形面积，列出关于的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出取得最大值时的值即可． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得到； 令，得到， 即， 解得：或， 则，，， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 ①连接，    设直线的函数解析式为， 把，分别代入得：， 解得：，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴线段； ②连接，    设直线与x轴交于点M， 由，，可得， ∵， ∴， 则当时，S取得最大值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定二次函数解析式，平行四边形的判定，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $