精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学3月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 19 B. 20 C. 90 D. 200 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 3. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 4. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 5. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为19 10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 定值 D. 存在定点，使得为定值 11. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则____. 13. 函数的图象在点处的切线方程为____. 14. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为____. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当时，求的最小值； （2）若，试讨论的单调性． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 18. 已知椭圆C中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点． （1）求C标准方程； （2）若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围． 19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. （1）若，求的前项和； （2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； （3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐G302次高铁从合肥到北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A 19 B. 20 C. 90 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可. 【详解】因为此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张， 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：A. 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. 10 C. 19 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以． 故选：C． 3. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. 364 B. 365 C. 728 D. 730 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法计算. 【详解】令，得①， 令，得②， ①+②，得， 所以. 故选：B. 5. 已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 6. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，即可得解. 【详解】， 令，则，令，则， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 所以. 故选：C. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，由即可求解； 【详解】由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为； 故选：B 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导可求得，由此可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴，解得， ∴，故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为19 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据等差数列的基本性质，结合分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分别判断的正负即可；对C，由判断即可；对D，根据可得，再分析时满足判断即可. 【详解】对A，则， 由等差数列性质可得，即. 因为，若公差，则，不满足，故，则. 则，故A正确； 对B，由A，，故. 则，则， 又，故，故B正确； 对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误； 对D，由，，可得. 故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确. 故选：ABD 10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD. 【详解】对于AB，设点，则，， 则，而， 所以，故A错误； 又，则，故B正确； 对于C，如下图所示，过点作轴的平行线，与抛物线的准线交于点， 又题意所给抛物线的光学性质可得， 又，所以，从而，故C正确； 对于D，因为，所以，即为的角平分线， 又由抛物线定义知，结合，可得四边形为菱形， 而轴经过线段中点，从而与轴的交点即为点，所以，故D正确. 故选：BCD. 二、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，若是与的等比中项，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项的概念列方程，解方程可得结果. 【详解】由得，，，， ∵是与的等比中项， ∴，即，解得或（舍）. 故答案为：. 13. 函数的图象在点处的切线方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】因， 则，， 则函数在点处的切线方程为， 即：. 故答案为： 14. 已知在数列中，，，设数列前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件得到数列的性质，从而得到数列的通项公式，然后得到数列的通项公式，由裂项相消得到其前项和为.然后整理不等式得到，借助基本不等式求得最小值，从而知道的最小值. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ，∴ ， ， ∵，∴，当且仅当，即时取等号， ∴， 则k的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）当时，求的最小值； （2）若，试讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与单调性的关系，求得函数的单调区间，即可求最小值； （2）利用导函数单调性的关系，结合的不同的取值范围讨论求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以函数的定义域为， ， 令，解得；令，解得； 所以函数在单调递减，单调递增， 所以的最小值为. 【小问2详解】 函数的定义域为， , 当时，由解得或， 由解得； 当时，恒成立； 当时，由解得或， 由解得； 综上可得， 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增； 当时函数在单调递增，； 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和． 【答案】（1）单调递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式结合辅助角公式化简，再由正弦函数的递增区间可得； （2）求导后令导数为零，求出零点，然后由等差数列的通项和求和公式可得. 【小问1详解】 ， 令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，则， 令，可得， 因为在上的零点从小到大排列后构成数列，可知， 所以，公差， 所以， 所以的前20项和 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求证：对且，都有． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），根据与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性； （2）设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，恒成立，所以函数在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 不妨设，则，要证对，都有， 只需证，即需证． 构造函数，则要证，需证函数在上为增函数， 因为， 所以函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有． 18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴与y轴，且C经过点． （1）求C的标准方程； （2）若F是C的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点．求四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用点在椭圆上求椭圆的方程；（2）通过直线与椭圆方程的联立，用设而不求法求弦长，通过构造新函数求四边形面积的取值范围． 【小问1详解】 设C的方程为， 将点代入，得解得 所以C的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 当直线的斜率为0，直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率不存在，直线的斜率为0时，， 所以四边形的面积． 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立得， 由题意得． 所以， 同理， 四边形的面积． 令，则， 所以当，即时，，所以． 综上所述，四边形面积的取值范围． 19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. （1）若，求的前项和； （2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； （3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 【答案】（1） （2）是的充要条件. （3）的最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据所给新定义，分n为奇偶讨论，分别求出前n项和； （2）分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证； （3）分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值. 小问1详解】 依题意 故 因为，所以， 当为奇数时，， 当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时， 当为奇数时，. 综上所述， 【小问2详解】 充分性：因为，所以， 所以， 又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列， 故是的充分条件. 必要性：假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列， 故是的必要条件. 综上，可知是的充要条件. 【小问3详解】 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，故的最大值为， 此时的通项公式可以是 【点睛】关键点点睛：本题的关键一方面在于对新定义的理解，运用，另一方面是能够对分类讨论，证明数列为等比数列，再由等比数列的通项公式，求和公式得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $