八年级数学期中模拟试卷02 （考试范围： 数据的收集、整理、描述、认识概率、 中心对称图形—平行四边形；） 2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

2024-2025学年度苏科版八年级数学期中模拟试卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、认识概率、 中心对称图形——平行四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．M B．N C．X D．T 2．（本题3分）下列判断正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件 3．（本题3分）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（    ） A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角 4．（本题3分）下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，点D、E、F分别是边，，的中点，在图中能画出多少个平行四边形（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题3分）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（    ）     A．① B．② C．③ D．④ 8．（本题3分）如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（    ）    （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题3分）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 12．（本题3分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为 ． 13．（本题3分）如图，已知四边形是菱形，，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么 ． 14．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 15．（本题3分）如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上，设正六边形的面积为，正方形的面积为，则 ． 16．（本题3分）如 图，在边长为3 cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为 cm2． 17．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为 ． 18．（本题3分）如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 20．（本题6分）如图，在中，的平分线交于点．请利用尺规分别在、上求作点、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）    21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的； (3)请写出点关于原点对称的点的坐标． 22．（本题8分）直线交y轴于点A，交x轴于点B，以为边在第一象限内作正方形， (1)求顶点C、D的坐标； (2)点P在x轴上，且的面积是正方形面积的一半，求点P坐标． 23．（本题8分）已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求证：BE=DF． 24．（本题8分）如图，在中，，，延长至点，使，连接，交于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的面积． 25．（本题10分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)补全条形统计图； (3)根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的学生人数． 26．（本题12分）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版八年级数学期中模拟试卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围： 数据的收集、整理、描述、认识概率、 中心对称图形——平行四边形； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．M B．N C．X D．T 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形定义：中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（本题3分）下列判断正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意； B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意； D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键． 3．（本题3分）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（    ） A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意； D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解答本题的关键． 4．（本题3分）下面四个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）如图，在中，点D、E、F分别是边，，的中点，在图中能画出多少个平行四边形（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由于D、E、F分别是边，，的中点，易知、、都是的中位线，那么，，，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形． 【详解】解：∵D、E、F分别是边，，， ∴、、都是的中位线 ∴，，， ∴四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容． 6．（本题3分）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．据此对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时， 四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．（本题3分）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（    ）     A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ①添加， ， ②添加，， ， ， ③添加， 不能确定； ④添加， ， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 8．（本题3分）如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（    ）    （1）；（2）；（3）是等边三角形；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出（3）正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故（3）正确； 设则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，故（1）正确； ∵， ∴，故（2）错误； ∵，， ∴，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设出然后用a表示出相关的边是解题的关键． 9．（本题3分）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转和矩形的性质，根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】∵， ∴每旋转八次，点的坐标重复出现， ∴， ∴秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同， 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 又， ∴第秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称， ∴此时点的坐标为， 即第秒旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 10．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长． 【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB, ∴∠BEO=∠BFO=90°， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°，∠EOH=60°， 由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD， 因为O点是菱形ABCD的对称中心， ∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH， ∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°， ∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°， 所以四边形EFGH是矩形； 设OE=OF=OG=OH=x， ∴EG=HF=2x，， 如图，连接AC，则AC经过点O， 可得三角形ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE=， ∴x=OE= ∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=, 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 12．（本题3分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F, ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°, ∴∠DAC＝∠CAB＝30°, ∴PE＝AP; ∵∠DAF＝60°, ∴∠ADF＝30°, ∴AF＝AD＝×6＝3; ∴DF＝3; ∵AP+PD＝PE+PD, ∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时, PE+DP的值最小，最小值为DF的长, ∴AP+PD的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定. 13．（本题3分）如图，已知四边形是菱形，，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么 ． 【答案】90° 【分析】根据菱形的性质可得：，由于、、所在的三角形都是等腰三角形，可根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解答本题的关键是根据等腰三角形及外角的性质求出各角的度数． 14．（本题3分）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关键． 取的中点H连接，， ，，证明出F点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】取的中点H连接， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，且点为的中点， ∴， 与的交点就是的中点F， 连接， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， A，C关于BH对称， 连接，， 则， ， 即的最小值为的长， 在中， ， ， 由勾股定理，得， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上，设正六边形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题需要利用正六边形和正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 通过设正六边形的边长为，计算出正方形的边长，进而求出两个图形的面积，最后计算面积比； 【详解】解：设正六边形的边长为， 由正六边形的性质可得，是等边三角形， ，，， ， ， 正方形的面积为， 连接，交于点，过点作，如图， 则，， 正六边形的面积为， ； 故答案为： 16．（本题3分）如 图，在边长为3 cm的正方形ABCD中，点E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于F，则四边形AFCE的面积为 cm2． 【答案】9. 【分析】由正方形ABCD中，AF⊥AE，易证得△BAE≌△DAF，即可得四边形AFCE的面积=正方形ABCD的面积，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADF=∠DAB=∠B=90°， ∴∠BAE+∠DAE=90°， ∵AF⊥AE， ∴∠DAF+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠DAF， 在△BAE和△DAF中， ， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴S△BAE=S△DAF， ∴S四边形AFCE=S△DAF+S四边形ADCE=S△BAE+S四边形ADCE=S正方形=3×3=9（cm2）． 故答案为：9 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 17．（本题3分）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质和勾股定理． 利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，，于是可判断点在的延长线上，接着证明平分，得到，然后计算就可得到的长． 【详解】解：正方形的边长为4，点是的中点， ， ， 将绕点顺时针旋转得， ，，，，，而， 点在的延长线上， 平分交于点， ， ，即， ， , ， ， ， ， 故答案为： ． 18．（本题3分）如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、点到直线的距离、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．利用全等三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离； （2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键． 20．（本题6分）如图，在中，的平分线交于点．请利用尺规分别在、上求作点、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，则点即为所求    理由如下，    ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 21．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．    (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于轴对称的； (3)请写出点关于原点对称的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得到，问题得解； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点的位置进而得到，问题得解； （3）利用所画图形得出对应点坐标． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；    （2）如图所示：，即为所求；    （3）由图形可知：．      【点睛】本题主要考查了轴对称变换和平移变换及中心对称的性质，正确得出相应点的坐标是解答本题关键． 22．（本题8分）直线交y轴于点A，交x轴于点B，以为边在第一象限内作正方形， (1)求顶点C、D的坐标； (2)点P在x轴上，且的面积是正方形面积的一半，求点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为（2，3），点C的坐标为（3，1）； (2)点P的坐标为（1，0）或（6，0） 【分析】（1）如图所示，过点D作DE⊥y轴于E，先求出点A、B的坐标从而得到OA=2，OB=1，然后证明△AED≌△BOA得到AE=OB=1，DE=OA=2，则OE=3，即可求出点D的坐标，同理即可求出点C的坐标； （2）分两种情况：当点P与点B重合时，当点P是直线AC与x轴的交点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作DE⊥y轴于E， ∵直线交y轴于点A，交x轴于点B， ∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA=2，OB=1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， ∴∠DAE+∠BAO=90°， 又∵∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DAE=∠ABO， ∵∠AED=∠BOA=90°， ∴△AED≌△BOA（AAS）， ∴AE=OB=1，DE=OA=2， ∴OE=3， ∴点D的坐标为（2，3）， 同理可求得点C的坐标为（3，1）； （2）解：如图所示，当点P与点B重合时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，即， ∴点的坐标为（1，0）， 连接AC并延长交x轴于，连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD，CD=CB， ∴ 又∵， ∴（SSS）， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴点的坐标为（6，0）； 综上所述，点P的坐标为（1，0）或（6，0）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（本题8分）已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求证：BE=DF． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ADF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF． 【详解】∵在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对边平行且相等是解答本题的关键． 24．（本题8分）如图，在中，，，延长至点，使，连接，交于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证； （2）由矩形的性质得，由勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形外角的定义及性质等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 25．（本题10分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)补全条形统计图； (3)根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的学生人数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)名 【分析】（1）根据参与活动天的人数及百分数即可得到的值，再利用参与活动天的人数除以参与总人数即可解答； （2）利用参与活动的总人数减去其他参与活动的人数即可解答； （3）利用抽样中参与天以上的总人数的百分数即可得到人参与活动的人数． 【详解】（1）解：∵参加活动天的人数有人，参加活动天的百分数为：， ∴参见活动的总人数为：（人）， ∵参加活动天的人数为人， ∴参加活动天的百分数为：， 故答案为：； （2）解：∵参加活动天的人数有人，参加活动天的人数为人，参加活动天的人数为人，参加活动天的人数为人，参见活动的总人数为人， ∴参加活动天的人数为：（人）； 如图所示： （3）解：∵参加活动天的以上的总人数为：人， ∴九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的学生人数：（人）． 答：估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动5天及以上的人数为名． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂条形统计图和扇形统计图的关联信息是解题的关键． 26．（本题12分）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处． 【初步认识】（1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，______； ②若点恰好在线段上，则的长为______； 【深入思考】（2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求四边形的面积； 【拓展提升】（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的长． 【答案】（1）①；②2；（2）①见解析；②见解析；；（3）的长为或． 【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可； ②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （2）①先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案； ②根据勾股定理列出方程求解，最后菱形面积等于矩形面积减去两个三角形的面积计算即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2； （3）①如图，∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ③由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ； （3）由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示： ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$