精品解析：2025年四川省绵阳市涪城区九年级中考数学第二次诊断试卷

2025年四川省绵阳市涪城区中考数学第二次诊断试卷 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形的对称轴有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 8条 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，二次根式一定有意义，则实数m的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 《孙子算经》中有一个有趣数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ） A 2.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 11尺 9. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 12. 如图，E，F分别是平行四边形的边的中点，交于点G，连接，过点D作交于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 因式分解：_______． 14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内．若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为_______． 15. 化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______． 16. 炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 17. 不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是_______． 18. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 22. 某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台） 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． （1）试写出y与x的函数关系式； （2）商场有哪几种进货方案可供选择？ （3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，是以为直径的的切线，点在上方的圆弧上，，垂直平分，分别交，于点，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求的半径． 24. 如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点． （1）当与相似时，求的值． （2）记面积为，求关于的函数解析式． （3）如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省绵阳市涪城区中考数学第二次诊断试卷 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴最小的数是 故选：A． 2. 正方形的对称轴有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 8条 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念并找全对称轴． 根据轴对称图形的概念找全对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知， 正方形的对称轴一共有4条． 故选：C． 3. 2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ） A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值． 【详解】解：50亿光年光年； 故选C． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可． 【详解】A．，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意； B．，符合题意； C．，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意； D．，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键． 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边的中点，与交于点G．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据题意得，再根据等腰三角形的性质， 然后结合已知条件得，，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得点D是的中点，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，． 故选：D． 6. 如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点D，得到，利用三角函数计算即可． 【详解】解：过点C作交的延长线于点D， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了俯角的应用，三角形外角性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 7. 当时，二次根式一定有意义，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可知，再根据可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 即． ∵， ∴． ∵二次根式一定有意义， ∴． 故选：C． 8. 《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（ ） A. 2.5尺 B. 5.5尺 C. 6.5尺 D. 11尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设绳长为x尺，长木长y尺，根据“一个根绳量一根长木，绳子还剩4.5尺”得，再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”得，然后得出方程组，求出解即可． 【详解】解：设绳长为x尺，长木长y尺，根据题意，得 ， 解得， 所以长木长为6.5尺． 故选：C． 9. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 11. 抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示， 依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴ 综上所述，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 如图，E，F分别是平行四边形的边的中点，交于点G，连接，过点D作交于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，延长，它们交于点M，延长，交于点M，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长，它们交于点M，延长，交于点M，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ∴， ， ， 设，则, ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选；B． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13 因式分解：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内．若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，点的坐标， 作，作，根据题意可知，再根据正方形的性质证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交x轴于点E，过点C作，交y轴于点F， 根据题意，可知， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 15. 化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项， 根据题意可知与是同类项，且是三次单项式，可得，求出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴是三次二项式， 所以． 故答案为：1． 16. 炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 17. 不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH 【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小 ∵菱形中， ∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60° ∴在直角△PBH中，∠PBH=30° ∴PH= ∴此时得到最小值， ∵AC=10，AM=3, ∴MC=7 又∠MPC=60° ∴MH=MCsin60°= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键. 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的函数值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，绝对值计算解答即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，后代入求值即可先化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 将，代入可得， 原式． 【点睛】本题考查了特殊角的函数值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，绝对值，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握公式，熟记三角函数值是解题的关键． 20. 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； （）求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； （）画出树状图，根据树状图即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数是人， 估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：最喜欢篮球项目的学生有人， ∴最喜欢羽毛球项目的学生有人， ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 21. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 （2）M点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． 22. 某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台） 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． （1）试写出y与x的函数关系式； （2）商场有哪几种进货方案可供选择？ （3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=300x+12000；（2）商场有三种方案可供选择：方案1：购空调10台，购彩电20台；方案2：购空调11台，购彩电19台；方案3：购空调12台，购彩电18台；（3）选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元． 【解析】 【分析】（1）y=（空调售价﹣空调进价）x+（彩电售价﹣彩电进价）×（30﹣x）． （2）根据用于一次性购进空调、彩电共30台，总资金为12.8万元，全部销售后利润不少于1.5万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可． （3）利用y与x的函数关系式y=150x+6000的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 【详解】解：（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得 y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000． （2）依题意，得， 解得10≤x≤． ∵x为整数，∴x=10，11，12．∴商场有三种方案可供选择： 方案1：购空调10台，购彩电20台； 方案2：购空调11台，购彩电19台； 方案3：购空调12台，购彩电18台． （3）∵y=300x+12000，k=300＞0，∴y随x增大而增大． ∴当x=12时，y有最大值，y最大=300×12+12000=15600元． 故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元． 23. 如图，是以为直径的的切线，点在上方的圆弧上，，垂直平分，分别交，于点，． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定定理，勾股定理，列一元二次方程解决实际问题等知识，解题的关键是熟练掌握各性质和作出辅助线． （1）先证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等得出四边形为菱形； （2）作出辅助线构造出直角三角形，假设出菱形的边长，利用勾股定理把需要的边表示出来，列出一元二次方程求解，即可求出圆的半径． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴，，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，即四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形BCDE是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接． 设．由（1）得． ∵是的切线， ∴． 在中，，即． ∵， ∴． 在中，，即． ∵为的直径， ∴． 在中，，即， 整理得， 解得或（舍去）． ∴， ∴． ∴半径为． 24. 如图1，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在矩形的边上从点出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为（秒），当点到达点时停止运动，过点作交于点． （1）当与相似时，求的值． （2）记的面积为，求关于的函数解析式． （3）如图2，将沿翻折得，在点的运动过程中是否存在时刻，使的顶点恰好落在边上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断，利用二次函数的解决实际问题，翻折问题，全等三角形的判定，三角函数比等知识点，解题的关键是正确理解题意，列出关系式，作出辅助线． （1）利用三角形的相似即可解答此题； （2）分情况讨论点的位置，利用相似三角形的性质，表示出关于的函数解析式； （3）作出辅助线，利用全等三角形和三角函数比即可求解． 【小问1详解】 解：要使与相似，还需． ∴当点运动到时，． 此时， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图1，当点在上运动，即时， 由可得， ∴， ∴（当时也符合此式）． 如图2，当点在上运动，即时，． 此时，由可得， ∴． ∴． 又， ∴（当时也符合此式）． ∴ 【小问3详解】 解：存在． 当点在上运动时，假设时刻点恰好落在上，则连接，令交于点，如图3． 由对称性可知：，． 在和中， ∴， ∴，即是的中点， ∴此时点与点重合，． 由得， ∴． 当点在上运动时，由对称性可知不存在满足条件的时刻． 综上所述，． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求的面积； （3）若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）证明，得到，从而求出，再设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴得到，利用待定系数法求出直线CD的函数解析式为，联立抛物线和直线，解得，过点E作平行于y轴的直线交于点H．利用待定系数法求出直线的函数解析式为，求出，即可得到的面积； （3）分两种情况讨论：①作交抛物线于点K，则．求出直线的函数解析式为，联立抛物线和直线，即可求出点的坐标；②作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．设．利用勾股定理表示出和，根据垂直平分线的性质列方程，求出，求出直线的函数解析式为．联立抛物线和直线，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，和均为直角三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得， ∴． ∴抛物线的函数解析式为，即． 【小问2详解】 ：∵抛物线的对称轴为直线，且点的纵坐标为， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得 ，， ∴， 如图1，过点E作平行于y轴的直线交于点H． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得， ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 ：①如图2，作交抛物线于点K，则． ∵直线的函数解析式为， ∴设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为． 联立， 解得 ，（舍去）． ∴点的坐标为． ②如图3，作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时． ∵点M在直线上， ∴设． ，， ∴，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， 解得：， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得，（舍去）． ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点K有两个，即，． 【点睛】本题是二次函数和一次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，垂直平分线的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$