12.2复数的运算-【七大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

12.2复数的运算 【考点梳理】 · 考点一：复数的加减法的代数运算 · 考点二：复数加减法的几何意义 · 考点三：复数代数形式的乘法除法运算 · 考点四：根据复数运算求参数 · 考点五：复数的乘方乘方问题 · 考点六：复数范围内解方程 · 考点七：复数的综合运算 【知识梳理】 知识一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数的加减法的代数运算 1．（22-23高一·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型二：复数加减法的几何意义 4．（22-23高一·全国）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 5．（20-21高二上·湖南衡阳·期中）已知，则 的最小值是 ． 6．（20-21高一下·福建厦门·期中）若且，则最大值是 . 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 7．（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 8．（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）计算下列各题: (1)； (2). 题型四：根据复数运算求参数 10．（2023·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 11．（2024·江苏·模拟预测）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三上·河南驻马店·期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五：复数的乘方乘方问题 13．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 14．（23-24高二下·广东东莞·期中）（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 题型六：复数范围内解方程 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 17．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（    ） A． B． C．19 D．31 题型七：复数的综合运算 19．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 21．（24-25高一·江苏）已知复数和它的共轭复数满足． (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2（2025·河南·二模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）下列命题中正确的（    ） A．任意两个复数都不能比较大小 B．若R，则当且仅当且时， C．若，C，且，则 D．若C则 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．若复数为实数，则 B．若复数为纯虚数，则 C．当时， D．当时， 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D． 13．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，是方程的两解，则 D． 14．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知复数，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若且，则 三、填空题 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 16．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知复数，满足，则 . 17．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则复数的共轭复数 ． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）求值： . 19．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 . 四、解答题 20．（2024高一下·江苏·专题练习）计算. 21．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 22．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 23．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，，，为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，求． 24．（24-25高一·江苏）设为虚数，为实数． (1)求； (2)设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； (3)若，，求的最小值． 25．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知复数为虚数单位，为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，复数满足对应的点组成集合，求集合对应图形的面积； (3)已知，若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值. 26．（23-24高三上·江苏徐州）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2复数的运算 【考点梳理】 · 考点一：复数的加减法的代数运算 · 考点二：复数加减法的几何意义 · 考点三：复数代数形式的乘法除法运算 · 考点四：根据复数运算求参数 · 考点五：复数的乘方乘方问题 · 考点六：复数范围内解方程 · 考点七：复数的综合运算 【知识梳理】 知识一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数的加减法的代数运算 1．（22-23高一·全国）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数加减运算即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案； 【详解】（1） （2） （3） （4） 3．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)0 (4) (5) (6) 【分析】根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. （5）由题意可得：. （6）由题意可得：. 题型二：复数加减法的几何意义 4．（22-23高一·全国）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解． 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 5．（20-21高二上·湖南衡阳·期中）已知，则 的最小值是 ． 【答案】1 【解析】由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上． ，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值． 【详解】解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上． ，表示Z到点所对应的点的距离， ， 所以． 故答案为1． 【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义，表示复平面上对应的点到原点的距离，表示在复平面上对应的点与对应的点间的距离．因此有表示对应的点为圆心，为半径的圆． 6．（20-21高一下·福建厦门·期中）若且，则最大值是 . 【答案】3 【分析】先分析出z的轨迹可看成圆，根据几何法可以得到表示圆上的点到原点的距离，即可求出最大值. 【详解】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹，可看成圆，表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 . 故答案为：3. 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 7．（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】运用复数四则运算计算即可. 【详解】（1）. （2）. 8．（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2) 【分析】利用复数代数形式的四则运算化简求值. 【详解】（1）. （2）. 9．（22-23高一下·陕西西安·期中）计算下列各题: (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可； （2）利用复数的四则运算求解即可. 【详解】（1） . ； （2） . . 题型四：根据复数运算求参数 10．（2023·陕西安康·模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案. 【详解】， 由已知得，解得， 故选：D 11．（2024·江苏·模拟预测）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案. 【详解】，所以且，解得. 故选：B 12．（22-23高三上·河南驻马店·期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 题型五：复数的乘方乘方问题 13．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算后结合模长定义即可得. 【详解】，故. 故选：B. 14．（23-24高二下·广东东莞·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：D. 15．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】. 故选：D 题型六：复数范围内解方程 16．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C 17．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出方程的两个虚数根，然后由复平面上对应两虚根之间的距离为列方程求解即可. 【详解】由题意得，得， 方程的虚数根为 ， 因为在复平面上对应两虚根之间的距离为， 所以，得， 故选：B 18．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知复数是关于的一元二次方程（，）的一个根，则（    ） A． B． C．19 D．31 【答案】C 【分析】利用方程根的意义，结合复数相等求出即得. 【详解】由复数是方程的根，得， 即，而，则，解得， 所以. 故选：C 题型七：复数的综合运算 19．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若，且复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数的乘法运算以及纯虚数的定义即可得出； （2）结合共轭复数以及实数的定义即可得出； （3）利用复数除法计算以及复数的几何意义解不等式即可求出结果. 【详解】（1）易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； （2）由可得, 所以, 若复数是实数，可得， 解得； （3）易知， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得. 即实数的取值范围为. 20．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 【答案】(1) (2)或. 【分析】(1)利用复数的除法，即可求解. (2)设，根据模长和是纯虚数，即可求解. 【详解】（1） （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 21．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数和它的共轭复数满足． (1)求； (2)若是关于的方程的一个根，求复数的模． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，，再结合复数的四则运算，即可求解． 【详解】（1）设， 则，， 所以，解得，， 故； （2）是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得，， ， 复数的模为． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 2（2025·河南·二模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为4， 故选:C. 3．（23-24高一下·江苏南通·期中）若，则复数z的虚部（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念求解． 【详解】设，则， ，，解得或或 所以复数z的虚部为． 故选：C. 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）下列命题中正确的（    ） A．任意两个复数都不能比较大小 B．若R，则当且仅当且时， C．若，C，且，则 D．若C则 【答案】B 【分析】当两个复数都是实数时能比较大小，据此判断A；由复数相等的定义可判断B；用特殊值可判断C、D. 【详解】对于A，当两个复数均为实数时，这两个复数能比较大小，A错误； 对于B，若R, R则当时，， 反之，若R, R，则由复数相等的定义知，必有成立， 故若R, R，则当且仅当且时，，B正确； 对于C，令，则，此时不满足，C错误； 若C，不妨令，，满足等式，此时不成立，故D错误． 故选:B 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，可得，所以 所以5. 故选：B 6．（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求． 【详解】，， ，， ， 的共轭复数的虚部为， 故选：． 7．（24-25高一·江苏·假期作业）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由题意得，则，分别计算其立方值，代入后即可求解． 【详解】设，则， 根据，得， 根据，得， 由，解得，故， ， 由于 ， 同理得 ， 因此得． 故选：D 8．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出、，再由复数的运算和共轭复数可得结果． 【分析】若是关于的实系数方程的一个复数根， 则另一个复数根为， 由韦达定理可得得，解得， 则，所以， 故有. 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则中至少有一个为0 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D. 【详解】对于A,若，满足，但，故A错误， 对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确， 对于C，，C正确， 对于D，设，,故，故，，故D正确， 故选：BCD 10．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据复数范围内的根可得，即可结合选项，由复数的四则运算以及模长公式求解. 【详解】由题意可得，所以，所以，A错误； ，B正确 ，所以，C错误； 由于，所以，D正确， 故选：BD 11．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．若复数为实数，则 B．若复数为纯虚数，则 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据复数表示实数、纯虚数的条件，结合共轭复数的性质、虚数单位幂的周期性逐一判断即可. 【详解】A：若复数为实数， 则，解得，故本选项正确； B：若复数为纯虚数，则，解得， 故本选项不正确； C：当时，，，故本选项正确； D ：时，， ， ， ，故本选项正确； 故选：ACD 12．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的四则运算判断ACD，举反例判断B即可. 【详解】设，，则， 对于A，， ， 所以成立，故A正确， 对于B，当时，有成立， 但此时为实数，故B错误， 对于C，因为， 所以， 设，当时，才有成立， 解得，所以，且，故为实数，故C正确， 对于D，因为，， 所以，而， 所以成立，故D正确. 故选：ACD 13．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，是方程的两解，则 D． 【答案】ABC 【分析】设，对于AB：根据复数的加法结合共轭复数的定义分析判断；对于C：利用韦达定理运算求解即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】设， 对于选项A：若，则，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 即，故B正确； 对于选项C：因为，是方程的两解， 由韦达定理可得，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 故选：ABC. 14．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知复数，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】A项，表达出和，即可得出相等；B项，作出示意图即可得出结论；C项，写出和的表达式，利用得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D项，对进行化简即可得出结论. 【详解】由题意， 设 A项，， ， ∴,A正确； B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误； C项，， ， ， 当时， ，， ∴，任取，或，任取， 即至少有一个为0 ∴（其中至少有两项为0），C正确； D项，∵，∴， ∵，∴，即，D正确； 故选：ACD. 三、填空题 15．（24-25高三下·上海·阶段练习）设复数满足（为虚数单位），则的模为 ． 【答案】 【分析】由已知根据复数的除法运算可得，再根据复数的模的运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 所以的模为. 故答案为：. 16．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知复数，满足，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设出复数，列出方程组，表示出所求对应的式子即可求解. 【详解】因为， 所以，设， 则， 可得， 则 . 故答案为： 17．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则复数的共轭复数 ． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法和乘方运算以及共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】， 则其共轭复数. 故答案为：. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）求值： . 【答案】1 【分析】首先根据三角函数化简，在利用复数的运算法则，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：1 19．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，分别对应向量，（为原点）.若向量对应的复数为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义表示向量对应的复数，再根据复数的特征，列式求解. 【详解】因为，所以对应的复数为. 因为向量对应的复数为纯虚数， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 20．（2024高一下·江苏·专题练习）计算. 【答案】 【分析】根据复数代数形式的乘除运算以及乘方运算法则计算可. 【详解】原式 . 21．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，． (1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． (2)若，求的共轭复数及的模． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意求出，结合复数的几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． 【详解】（1）因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． （2）因为， 所以． ． 22．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也为方程的根，利用韦达定理计算可得； （2）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据其为纯虚数，则实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数）， 所以也为方程的根， 所以，所以； （2）由（1）可知 ， 又是纯虚数， 所以，解得. 23．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，，，为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程组求解. （2）由得出为实数即可求解. 【详解】（1），， 所以， 因为是纯虚数，所以，得. （2）由（1）知，， 因为，所以，得， 所以，所以. 24．（24-25高一·江苏·假期作业）设为虚数，为实数． (1)求； (2)设在复平面内对应的点为，以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角记为，求证：； (3)若，，求的最小值． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）设，化简复数，通过为实数，推出或，然后求解复数的模． （2）依题意，结合（1）知，．证明． （3）由（1）知，，化简复数，求解复数的模，利用基本不等式转化求解即可． 【详解】（1）设， 则． 因为为实数，所以，所以或， 又为虚数，故，从而，所以． （2）证明：依题意，结合（1）知，． 则 ． （3）由（1）知，，， 则， 因为，所以，所以， 所以 （当且仅当，即时，等号成立）， 所以的最小值为1． 25．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知复数为虚数单位，为纯虚数. (1)求的值； (2)在复平面内，复数满足对应的点组成集合，求集合对应图形的面积； (3)已知，若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数的概念可求； （2）结合（1）可得，利用复数的几何意义可求图形的面积； （3）结合（1）可得，代入方程，利用左右恒等可得，求解即可. 【详解】（1）由已知得，所以， 所以，解得； （2）由（1）可知，可得， 所以对应的点组成集合是复平面内夹在半径为1的圆与半径为的圆之间的圆环， 所以集合对应图形的面积为； （3）由（1）可知，可得， 所以，所以， 所以，解得. 26．（23-24高三上·江苏徐州）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【详解】（1）已知，则， 由于，得，解得： （2）由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$