12.1 复数的概念【七大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

12.1 复数的概念 【考点梳理】 · 考点一：复数的概念和分类 · 考点二：虚部单位i的性质 · 考点三：复数实部和虚部 · 考点四：复数的模和参数问题 · 考点五：根据相等条件求参数 · 考点六：求复数模的最值问题 · 考点七：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二：复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三：复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 考点四：复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六：共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念和分类 1．（2024高一·全国）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 3．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：虚部单位i的性质 4．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（21-22高一下·吉林·期末）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 6．（19-20高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设复数：，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 题型三：复数实部和虚部 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·贵州·阶段练习）复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 9．（21-22高一·全国）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 题型四：复数的模和参数问题 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 11．（23-24高三上·河北·期末）已知，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一下·河南南阳·期末）已知，复数，，且为纯虚数，，则（    ） A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2 题型五：根据相等条件求参数 13．（21-22高一下·福建漳州·期末）已知复数，，，则（    ） A．3 B．1 C． D． 14．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 15．（2020·全国·模拟预测）若（，i为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．5 D． 题型六：求复数模的最值问题 16．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（2024高三·全国）若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七：复数的综合问题 19．（20-21高二下·陕西渭南·期末）计算下列各式的值： (1)已知是虚数单位，若，求的值； (2)设是虚数单位），其中是实数，求. 20．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 21．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 5．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若复数是纯虚数，则实数a的值是（    ）． A．1 B．3 C． D． 7．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．（22-23高一下·广东湛江·期中）已知，，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D．1 9．（22-23高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 12．（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 13．（22-23高一下·黑龙江绥化）下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．存在x使得小于0 B．存在x使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 14．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）关于复数的命题正确的有（    ） A．若复数，则 B．若复数为纯虚数，则 C．若，则的最小值为1 D．若，则 15．（22-23高一下·江苏无锡·阶段练习）在复数范围内，有下列命题，不正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．“”是“”的充要条件 C．若，是两个复数，则一定是实数 D． 三、填空题 16．（23-24高一下·全国）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 17．（22-23高一下·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 . 18．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 19．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 20．（22-23高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ． 四、解答题 21．（23-24高一下·山东·阶段练习）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 22．（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 23．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？ （2）若，且，则实数的值分别为多少？ 24．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 25．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1 复数的概念 【考点梳理】 · 考点一：复数的概念和分类 · 考点二：虚部单位i的性质 · 考点三：复数实部和虚部 · 考点四：复数的模和参数问题 · 考点五：根据相等条件求参数 · 考点六：求复数模的最值问题 · 考点七：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一：复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示. 知识点二：复数的分类 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三：复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 考点四：复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 知识点五 复数的模 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3.公式：|z|＝|a＋bi|＝. 知识点六：共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 【题型归纳】 题型一：复数的概念和分类 1．（2024高一·全国）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 2．（2024高一下·江苏·专题练习）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据纯虚数定义、复数相等的定义，结合虚数单位的性质、复数的分类逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然是实数，因此本选项说法不正确； B：，因此本选项说法不正确； C：，，因此本选项说法正确； D：由虚数单位的定义可知：，因此本选项说法不正确， 故选：C 3．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 题型二：虚部单位i的性质 4．（23-24高一下·河南·期中）（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘方可以发现具有周期性，周期为，然后由周期性计算即可. 【详解】因为，，，，所以具有周期性，周期为， 所以，所以. 故选：A 5．（21-22高一下·吉林·期末）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先由复数运算化简得，由复数的相等，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：D. 6．（19-20高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设复数：，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据虚数单位的周期和复数的除法运算即可得到答案. 【详解】因为 所以. 故选：A. 题型三：复数实部和虚部 7．（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的虚部概念求解. 【详解】z的虚部是. 故选：B. 8．（23-24高二上·贵州·阶段练习）复数的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数虚部的知识求得正确答案. 【详解】依题意，复数的虚部为. 故选：C 9．（21-22高一·全国·课后作业）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的基本概念即得. 【详解】设所求复数为， 由题意知复数的虚部为7，所以， 复数的实部为，所以， 故． 故选：A. 题型四：复数的模和参数问题 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 11．（23-24高三上·河北·期末）已知，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义可得，进而利用复数的模长公式即可求解. 【详解】由为纯虚数，得，，解得， 所以， 故选:B． 12．（21-22高一下·河南南阳·期末）已知，复数，，且为纯虚数，，则（    ） A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2 【答案】B 【分析】先表示出，再根据为纯虚数，可建立方程求出即可得出答案. 【详解】因为，所以， 因为为纯虚数，，所以，解得或， 所以或0. 故选：B. 题型五：根据相等条件求参数 13．（21-22高一下·福建漳州·期末）已知复数，，，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数相等的充要条件，求出、，进而求出. 【详解】，， ，. 故选：C. 14．（21-22高一下·广东江门·期末）实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 15．（2020·全国·模拟预测）若（，i为虚数单位），则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题先根据题意求出，，再代入求即可. 【详解】，，，，且，． 故选：B． 【点睛】本题考查复数相等求参数以及求复数的模，是基础题. 题型六：求复数模的最值问题 16．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A    17．（2024高三·全国·专题练习）若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设复数，(且不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值. 【详解】设，(且不同时为0)， 由题意可知，得或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示复数对应的点和的距离，此时， 当时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 如图可知，的最小值是点与的距离. 故选：B 18．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【详解】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 故选：D 题型七：复数的综合问题 19．（20-21高二下·陕西渭南·期末）计算下列各式的值： (1)已知是虚数单位，若，求的值； (2)设是虚数单位），其中是实数，求. 【答案】(1) (2)5 【分析】(1)根据共轭复数的概念和复数的模长公式求解； (2)根据复数相等的定义求解. 【详解】（1），， ，； （2）， ，解得， . 20．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可列关系式求解， （2）根据为实数且小于0即可求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 21．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的定义直接求解即可. 【详解】由题知，复数的虚部为. 故选：B 2．（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到其共轭复数，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：B 4．（23-24高一下·甘肃白银·期中）复数的实部与虚部之和为（    ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为，所以的实部与虚部之和为． 故选：B. 5．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数虚部的含义可得答案. 【详解】因为，所以虚部为. 故选：C 6．（23-24高一下·江苏·阶段练习）若复数是纯虚数，则实数a的值是（    ）． A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用纯虚数的概念即可求解. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以实数a的值是1. 故选：A. 7．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 8．（22-23高一下·广东湛江·期中）已知，，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】由共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以其共轭复数， 由复数模的计算公式结合已知可得，，解得. 故选：D. 9．（22-23高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 10（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 11．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 12．（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 13．（22-23高一下·黑龙江绥化·阶段练习）下列关于复数的说法一定正确的是（    ） A．存在x使得小于0 B．存在x使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【答案】AB 【分析】对于A，B选项，只要取合适的复数便可判断，而C，D选项取一些复数作为反例可判断. 【详解】由复数x＋i，取x＝－2－i，可知A正确； 当x＝时，，故B正确； 当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确； 由于x的取值未知，故D错误． 故选：. 14．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）关于复数的命题正确的有（    ） A．若复数，则 B．若复数为纯虚数，则 C．若，则的最小值为1 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断C，根据模长公式即可判断D. 【详解】由复数定义可知，若复数，则，，A正确； 若复数为纯虚数，则，则，B错误； 设，的几何意义是的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 令，， 则，即的最小值为1，C正确； 若，但不一定成立， 比如，则，，D错误． 故选：AC． 15．（22-23高一下·江苏无锡·阶段练习）在复数范围内，有下列命题，不正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．“”是“”的充要条件 C．若，是两个复数，则一定是实数 D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的虚部、复数运算、复数的概念、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，复数的虚部为，A选项错误. B选项，当时，但，所以B选项错误. C选项，设， 则 ，所以C选项正确. D选项，当时，，所以D选项错误. 故选：ABD 三、填空题 16．（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 17．（22-23高一下·河南·期中）设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 18．（22-23高一下·新疆喀什·期末）已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据复数为纯虚数，列式求解. 【详解】由复数为纯虚数，可知， ，得. 故答案为： 19．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】利用的性质计算可得答案. 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 20．（22-23高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ． 【答案】6 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】设(为实数)， 则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点， 则表示的几何意义是圆上的点到的距离， 根据圆的性质可知，所求最大值为. 故答案为：6. 四、解答题 21．（23-24高一下·山东·阶段练习）复数，其中． (1)若复数为实数，求的值： (2)若复数为纯虚数，求的值． 【答案】(1)5或 (2)3 【分析】（1）由题意得复数的虚部为0，由此即可列方程求解； （2）由题意实部为0，且虚部不为0，由此即可列式求解. 【详解】（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 22．（2024高一下·江苏·专题练习）复数，其中. (1)若复数为实数，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，由复数为实数列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由纯虚数的定义，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由复数为实数可得， 解得或. （2）由复数为纯虚数可得， 解得. 23．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？ （2）若，且，则实数的值分别为多少？ 【答案】（1）；（2）或 【分析】直接利用复数相等列方程组求解即可. 【详解】（1）由已知得， 解得； （2）由已知得， 解得或. 24．（22-23高一下·河北·期末）已知复数，，其中是虚数单位，． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【详解】（1）由z1为纯虚数， 则，解得m＝－2. （2）由，得 ∴ ∵， ∴当时，，当时，， ∴实数的取值范围是. 25．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知复数（）.试求实数分别为什么值时，分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可； （2）结合题意得，再解不等式即可； （3）结合题意得，再求解即可. 【详解】（1）解：因为（）为实数， 所以，解得， 所以，当时，为实数. （2）解：因为（）为虚数， 所以，解得且. 所以，当时，为虚数. （3）解：因为（）为纯虚数， 所以，，解得. 所以，当时，为纯虚数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$