重难点04 中考最值问题模拟卷选题分类训练-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

重难点04 中考最值问题模拟卷选题分类训练 几何最值问题基本原理 1． 基本图形 1·定点到定点——两点之间，线段最短； 数学定理联系： ①三角形两边之和＞第三边 故三点共线时PA＋PB的值最小=AB ②首尾相连的两折图、三折图 也是当三点（或四点）共线时有最小值 2.定点到定线——点线之间，垂线段最短； 数学定理联系： ①两平行线间的距离处处相等O P H Q 故平行线之间，垂线段最短 ②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短 （如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值） 3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长） 数学定理联系： 圆和圆外定点的最值问题 （如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r） 一．因式分解的应用（共1小题） 1．（2024•温州自主招生）已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 　 　 ． 二．动点问题的函数图象（共1小题） 2．（2024•瑞安市校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D． 三．一次函数的性质（共1小题） 3．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 四．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 4．（2025•镇海区校级模拟）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围　 　 ． 五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 5．（2025•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A（﹣1，0），B（1，4），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为AB：y1＝k1x+b1，AC：y2＝k2x+b2，BC：y3＝k3x+b3．则b1，b2，b3这三个数值中，最大的值为（　　） A．b1 B．b2 C．b3 D．无法确定 六．一次函数的应用（共1小题） 6．（2024•浙江模拟）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：团体人数20人，票价降价：2x（20﹣10）﹣20元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人． 问题： （1）若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？ （2）求购票费用y（元）与团体人数x（x＞10）的函数关系式． 疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理!合理的应该是购票费用y（元）随团体人数x的增大而增大． 分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上y是随x的增大而减少的…，原来如此! 解决： （3）延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用y（元）随团体人数x的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？ 七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 7．（2024•吴兴区二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数y1＝x+1与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下结论：①当x＞﹣1时，y存在最小值；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③当y≥5时，自变量的取值范围是x≥3；④若点（a，b）在y的图象上，则点（﹣a﹣2，﹣b）也必定在y的图象上．其中正确结论的序号有 　 　 ． 八．二次函数的性质（共3小题） 8．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 9．（2024•镇海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 10．（2024•衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2 九．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 11．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 一十．二次函数的最值（共3小题） 12．（2024•浙江模拟）如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB＝（　　） A． B．1 C． D．2 13．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 14．（2024•拱墅区模拟）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为 　 　 ． 一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题） 15．（2024•义乌市二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝1． （1）b＝　 　 ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为t（t＜0），记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为d1，d2．若|d1﹣d2|＝1，则t的取值范围为 　 　 ． 一十二．二次函数的应用（共2小题） 16．（2024•桐乡市校级一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同． （1）A，B两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，A型号电脑升级为A1型号，该商城计划一次性购进A1，B两种型号电脑共100台，B型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A1型号电脑所获利润P（万元）与A1销售量m（台）（0≤m≤80）成函数关系，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分（40＜m≤80）．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？（利润＝销售总价﹣总进价） 17．（2024•衢州一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分） 思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分） 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 一十三．全等三角形的判定与性质（共1小题） 18．（2024•金东区二模）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AC＝4，连结AE，BD，F为直线AE，BD的交点，连结CF，当线段BF最长时，CF的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 一十四．等边三角形的性质（共1小题） 19．（2024•宁波模拟）如图，⊙O的圆心O与正三角形的中心重合，已知⊙O的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 一十五．正方形的性质（共1小题） 20．（2024•金东区二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是边BC所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结PA，PD． （1）当时，PC的长为 　 　 ； （2）的最小值为 　 　 ． 一十六．四边形综合题（共2小题） 21．（2024•婺城区模拟）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形BB1C1C为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架BC，AB及B1C1与A1B1的端点A，C，A1，C1固定在外墙上，AA1，BB1，CC1与OO1平行，AA1＝2米．图2是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为60°（∠BPM＝60°），安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面OO1C1C（不包括OO1）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架AB、BC的长度，支架端点A，C的距离以及支架AB与BC夹角α（∠ABC＝α），对雨棚进行了重新设计．图3是第一小组的设计示意图，其中AB＝BC，，AC＝1米．如图4是第二小组的设想，其中AC＝1米，α＝45°． 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究， 并直接写出答案． 问题1：探索OA的最大值； 问题2：探索OA最大时∠ACB的度数． 22．（2024•浙江模拟）【回顾课本】 浙教版八年级下册数学教材“4.5三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请完成证明过程． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线． 求证：DE∥BC，． 分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，这样就只需要证明四边形BCFD是平行四边形． 【探究发现】 如图2，等边△ABC的边长为2，点D，E分别为AB，AC边中点，点F为BC边上任意一点（不与B，C重合），沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转180°恰好能与①拼成▱DIHG，求▱DIHG周长的最小值． 【拓展作图】 如图3，已知四边形ABCD，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 一十七．垂径定理的应用（共1小题） 23．（2024•温州模拟）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得AB＝4m，为了确定BC与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根5m长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于AD上点E处，AE＝1m．如图2，调整杆子位置，直至一端在AB上的点G处，另一端在圆弧上点F处，FG⊥AB，GB＝1m，如图3，某一集装箱大货车宽为2.4m，则该大货车的最大高度（包括货物） 　 　 m． 一十八．切线的判定与性质（共1小题） 24．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 一十九．正多边形和圆（共1小题） 25．（2024•拱墅区校级二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为3，⊙O的半径为1．若⊙O在正六边形ABCDEF内平移（⊙O可以与该正六边形ABCDEF的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　 ． 二十．圆的综合题（共1小题） 26．（2024•吴兴区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6，以C为圆心，为半径作圆．点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M． （1）当∠PDQ＝50°时，求劣弧PQ的度数； （2）当CE＝CF时，求AD的长； （3）连结CM，BM． ①证明：ME•CA＝CM•AD． ②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由． 二十一．轨迹（共1小题） 27．（2024•桐乡市校级一模）如图，一块含30°的三角板DEF和直尺ABHG拼合在同一平面上，边AD在射线GA上，．点F从点A出发沿AB方向滑动时，点D同时在射线GA上滑动．当点F从点A滑动到点B时，△ADF面积的最大值 　 　 cm2；连结AE，BE，则△ABE外接圆的圆心运动的路径长 　 　 cm． 二十二．胡不归问题（共1小题） 28．（2024•钱塘区三模）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足AM＝BN，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，若正方形的边长为8，则的最小值为 　 　 ． 二十三．旋转的性质（共1小题） 29．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 　 　 ． 二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 30．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 二十五．相似形综合题（共1小题） 31．（2024•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，动点P在BC延长线上，以AP为边作正方形PADE，边DE与线段BC交于点F． 【寻找变中不变】（1）求证：△ACP∽△PEF． 【确定动点位置】（2）当时，BF的长为 　 　 ． 【探求线段最值】（3）当CP多长时，线段CF最短？ 二十六．解直角三角形（共1小题） 32．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　 　 ． 二十七．频数（率）分布表（共1小题） 33．（2024•衢州一模）某校为了解学生在校午餐所需的时间，抽查了20名同学在校午餐所花的时间，获得如下数据（单位：分）： 9，12，15，10，16，18，19，18，20，38， 22，25，20，18，18，20，15，16，21，16． 若将这些数据分为6组，制作频数表，则频数最大的组是 　 　 ． 二十八．分式函数的最值（共1小题） 34．（2024•拱墅区校级二模）实数a、b、c不全为0，则的最大值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 中考最值问题模拟卷选题分类训练 几何最值问题基本原理 1． 基本图形 1·定点到定点——两点之间，线段最短； 数学定理联系： ①三角形两边之和＞第三边 故三点共线时PA＋PB的值最小=AB ②首尾相连的两折图、三折图 也是当三点（或四点）共线时有最小值 2.定点到定线——点线之间，垂线段最短； 数学定理联系： ①两平行线间的距离处处相等O P H Q 故平行线之间，垂线段最短 ②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短 （如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值） 3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长） 数学定理联系： 圆和圆外定点的最值问题 （如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r） 一．因式分解的应用（共1小题） 1．（2024•温州自主招生）已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 　2013　 ． 【分析】本题的关键是利用完全平方公式． 【解答】解：∵3a2﹣8b+c＝0， ∴c＝8b﹣3a2， 代入a+b2﹣2c﹣2＝0可得：（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a， ∴66﹣6a2﹣a为完全平方数，则a＝3， 可得：b＝5或11，c＝13或61， ∴abc的最大值为3×11×61＝2013； 故答案为：2013． 【点评】本题考查了乘法公式和完全平方公式，整数的性质，以及计算推理能力，属于中档题． 二．动点问题的函数图象（共1小题） 2．（2024•瑞安市校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　） A．（2，3） B． C． D． 【分析】连接CP，证明四边形PMCN为矩形，CP＝MN，当CP⊥AB时CP最短，即MN最短，当点P位于点A处时，x＝0，y＝4，即AC＝4，当点P位于点B处时，x＝8，即AB＝8，求出∠CAP＝60°，求出AP及CP长即可． 【解答】解：如图，连接CP， ∵∠C＝90°，PM⊥AC，PN⊥BC， ∴四边形PMCN为矩形， ∴CP＝MN，当CP⊥AB时CP最短，即MN最短， 当点P位于点A处时，x＝0，y＝4，即AC＝4， 当点P位于点B处时，x＝8，即AB＝8， ∴cos∠CAP， ∴∠CAP＝60°， ∴APAC＝2， ∴CP2． ∴E（2，2）． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 三．一次函数的性质（共1小题） 3．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 【分析】根据函数解析式得到函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即可． 【解答】解：∵k＝1＞0 ∴函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大， 当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4， 即a﹣1＝2a+4， 解得a＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键． 四．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 4．（2025•镇海区校级模拟）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围　且k≠0　 ． 【分析】由题意可得平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界），从而可确定当一次函数图象过点A或点B时，为k取值的临界点，进而可得k的取值范围． 【解答】解：由题意可得平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界）， 如图1所示， 观察图1可知A（1，1），B（1，﹣1），一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）过定点（3，0）， 当y＝kx﹣3k过点A时，可得1＝﹣2k，解得k； 当y＝kx﹣3k过点B时，可得﹣1＝﹣2k，解得k， 综上可得k的取值范围为：且k≠0， 故答案为：且k≠0． 【点评】本题考查了一次函数的性质，准确理解新定义并找出k值临界点是解题关键． 五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 5．（2025•浙江模拟）在“探索一次函数y＝kx+b系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A（﹣1，0），B（1，4），C（3，3）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为AB：y1＝k1x+b1，AC：y2＝k2x+b2，BC：y3＝k3x+b3．则b1，b2，b3这三个数值中，最大的值为（　　） A．b1 B．b2 C．b3 D．无法确定 【分析】根据题意，画出示意图，据此可解决问题． 【解答】解：如图所示， 由函数图象可知， 直线BC与y轴交点的纵坐标最大， 所以b1，b2，b3这三个数值中，最大的是b3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 六．一次函数的应用（共1小题） 6．（2024•浙江模拟）情境：为了考前减压，某校九（1）班、九（2）班学生在老师带领下去游乐园游玩，游乐园原价每人200元的票价有团体优惠活动：按团体人数购票，如果团体人数超过10人，每超过1人，票价就减少2元，（例如：团体人数20人，票价降价：2x（20﹣10）﹣20元，就按每人180元付款），但最低票价为每人100元．又知九（1）班、九（2）班师生人数分别为56人、58人． 问题： （1）若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到多少人？ （2）求购票费用y（元）与团体人数x（x＞10）的函数关系式． 疑惑：九（1）的小明发现：如果单独购票，九（2）班师生人数比九（1）班师生人数多，但购票费用反而少，这不合理!合理的应该是购票费用y（元）随团体人数x的增大而增大． 分析：为了解决上面的疑惑，聪明的小明画出问题（2）中的函数图象，发现在图象中的某一段曲线上y是随x的增大而减少的…，原来如此! 解决： （3）延续小明的分析，通过提高最低票价，可以使购票费用y（元）随团体人数x的增大而增大，那么把最低票价至少提高到多少才能符合要求？ 【分析】（1）设团体人数有a（a＞10）人，根据题意列出不等式200﹣2（a﹣10）≤100解不等式可得结论； （2）根据题意，分类讨论当x＞60时，当10＜x≤60时，分别得到函数解析式即可； （3）求出当10＜x≤60时函数的顶点坐标，对称轴，开口方向，再分析当x＞55时，y随x的增大而减小，从而求出把最低票价至少提高到110元才能符合要求． 【解答】解：（1）设团体人数有a（a＞10）人，根据题意得： 200﹣2（a﹣10）≤100， 解得a≥60， 答：若想以最低票价购买，则团体人数至少要达到60人； （2）由（1）可知，当10＜x≤60时，y＝[200﹣2（x﹣10）]x＝﹣2x2+220x， 当x＞60时，y＝100x， ∴购票费用y（元）与团体人数x（x＞10）的函数关系式为y， （3）延续小明的分析， 当10＜x≤60时，y＝﹣2x2+220x＝﹣2（x﹣55）2+6050， ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，点的坐标（55，6050），对称轴是直线x＝55， 当x＞55时，y随x的增大而减小， 若团体人数为55时，则票价为200﹣2（55﹣10）＝110（元）， ∴通过提高最低票价，可以使购票费用y（元）随团体人数x的增大而增大，那么把最低票价至少提高到110才能符合要求． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意分类讨论列出函数解析式是关键． 七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 7．（2024•吴兴区二模）借助描点法可以帮助我们探索函数的性质，某小组在研究了函数y1＝x+1与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下结论：①当x＞﹣1时，y存在最小值；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③当y≥5时，自变量的取值范围是x≥3；④若点（a，b）在y的图象上，则点（﹣a﹣2，﹣b）也必定在y的图象上．其中正确结论的序号有 　①②④　 ． 【分析】画出函数的图象，根据函数图象可以判断该函数的性质． 【解答】解：∵y1＝x+1与， ∴y＝y1+y2＝x+1， 列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 … y … ﹣5.8 ﹣5 ﹣4 ﹣5 5 4 5 … 画出函数的图象如图： ； 由函数图象可知， ①当x＞﹣1时，y存在最小值﹣4，正确； ②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，正确； ③当y≥5时，自变量的取值范围是﹣1＜x≤0或x≥3，错误； ④若点（a，b）在y的图象上，则b＝a+1， 把x＝﹣a﹣2代入y＝x+1得，y＝﹣a﹣1，即﹣y＝a+1， 所以﹣y＝﹣b， 故点（﹣a﹣2，﹣b）也必定在y的图象上，正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 八．二次函数的性质（共3小题） 8．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 【分析】依据题意，该二次函数可化为顶点式：，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， 从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，该二次函数可化为顶点式：． 又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， ∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（2024•镇海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1，则b﹣c＝（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 【分析】根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，4c+b2﹣8＝0，求出b＝4，c＝﹣2，即可得到答案． 【解答】解：∴抛物线y＝﹣x2+bx+c的抛物线开口向下， ∵当x＞1时，函数的最大值为2；当x≤1时，函数的最大值为1， ∴﹣1+b+c＝1， ， ∴4c+b2﹣8＝0， ∴b2+2（2﹣b）﹣8＝0， b＝4或0（舍去）， ∴c＝﹣2， ∴b﹣c＝6． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数性质和二次函数的最值，正确记忆修改知识点是解题关键． 10．（2024•衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2 【分析】依据题意，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，从而当x＝1时，y取最小值为﹣4．，再分三种情形①m+2＜1②m≤1，m+2≥1③m＞1，分别进行分析可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣4． ①当m+2＜1时，即m＜﹣1时， 有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4． ∴m＝﹣1，不合题意． ②当m≤1，m+2≥1时，即﹣1≤m≤1． 此时当x＝1时，y取最小值为﹣4，符合题意． ③当m＞1时， 有m2﹣2m﹣3＝﹣4． ∴m＝1，不合题意． 总上，﹣1≤m≤1． 故选C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 九．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 11．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得t﹣m＝0，再代入求得y1+y2＝2； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由二次函数的图象经过点A（m+1，0）， ∴（m+1﹣m）2+k＝0， 解得k＝﹣1． （2）①由题意，y1﹣y2＝（t﹣m）2﹣1﹣（t+2﹣m）2+1 ＝﹣4（t﹣m+1） ＝﹣4， ∴t﹣m＝0． ∴y1+y2＝（t﹣m）2﹣1+（t+2﹣m）2﹣1＝2， ②y1+y2存在最小值． 由， 得y1+y2存在最小值为0． 【点评】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 一十．二次函数的最值（共3小题） 12．（2024•浙江模拟）如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB＝（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】作△EFG边FG上的高线EH，连接DH，AH，利用圆周角定理得到∠EGH＝∠EDH＝60°，∠EFH＝∠EAH＝60°，则△ADH 是正三角形，点H是一个定点；确定当HG过点C时，即点G与点C重合，正三角形边长最大，过点H作HN⊥BC于点N，延长NH交AD于点M，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得：设NH＝x，NC＝y，则，，，，根据CD＝2CN可列方程： ①，利用勾股定理得到②，①②联立组成方程组，解方程组即可得出结论． 【解答】解：作△EFG边FG上的高线EH，连接DH，AH，如图， 则E，H，G，D四点共圆， 则∠EGH＝∠EDH＝60°， 同理可得∠EFH＝∠EAH＝60°， ∴△ADH 是正三角形，H是△ADH 的一个顶点，即点H是一个定点， ∴正方形内接任一正△EFG边FG的中点为定点H， ∴当HG过点C时，即点G与点C重合，正三角形边长最大． 根据正三角形的面积由边长决定，当边长最大时即面积最大，反之亦然． ∵当△EFG面积的最大值是 时，如图， 即， 在Rt△EHC 中，∠ECH＝60°， ∵tan∠ECH， ∴EH：， 过点H作HN⊥BC于点N，延长NH交AD于点M， ∵△EFG为等边三角形，EH⊥FC， ∴H为FC的中点， ∴BN＝CN， ∵CD＝BC， ∴CD＝BC＝2CN． ∵∠MHE+∠NHC＝90°，∠NHC+∠HCN＝90°， ∴∠MHE＝∠HCN， ∵∠HME＝CNH＝90°， ∴△EMH﹣△HNC， ∴． 设NH＝x，NC＝y， 则，， ∴，， 根据CD＝2CN可列方程： ①， 在Rt△EDC中，根据勾股定理：DE2+DC2＝EC2，可列方程： ②， 由①和②联立解得：y＝1， ∴CD＝2y＝2． 故正方形边长AB＝CD＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，利用正方形与等边三角形的性质得到点H为定点是解题的关键． 13．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【分析】由题意可知对称轴为y轴，则函数为y＝ax2+c，利用待定系数法求得yx2+c，由当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出pm2+c，q（m+1）2+c，进一步求得p﹣qm2（m+1）2m，得到p﹣q无最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）， ∴对称轴为直线x0， ∴0， ∴b＝0． ∴y＝ax2+c． 把点A、B的坐标代入得， 解得a， ∴yx2+c， ∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q， ∴pm2+c，q（m+1）2+c， ∴p﹣qm2（m+1）2m， ∵0≤m， ∴p﹣q无最大值． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为y轴是解题的关键． 14．（2024•拱墅区模拟）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为 　9　 ． 【分析】点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，x1，x2是方程x2+bx+c＝t的两个解，根据根与系数的关系求出t，再求出二次函数的最小值k，就能求出t﹣k的值． 【解答】解：∵x2+bx+c＝t， ∴x2+bx+c﹣t＝0， ∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c﹣t． ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2， ∴b2﹣4（c﹣t）＝36， ∴t， ∵k， ∴t﹣k＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次函数的最值，根与系数的关系，二次函数图象上点的特征．关键是用b，c表示t和k． 一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题） 15．（2024•义乌市二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝1． （1）b＝　2　 ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为t（t＜0），记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为d1，d2．若|d1﹣d2|＝1，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1　 ． 【分析】（1）根据OA＝1得出点A坐标，然后把点A坐标代入解析式求出b即可； （2）结合函数图象和题意分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴A（1，0）， 把A（1，0）代入解析式得：1+b﹣3＝0， 解得b＝2， 故答案为：2； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴与点B相同纵坐标的点D（﹣2，﹣3）， ①当﹣1＜t＜0时，由图象知|d1﹣d2|＜1，不合题意； ②当﹣2≤t≤﹣1时，最低点是顶点（﹣1，﹣4），最高点是P点或B点， 满足|d1﹣d2|＝1； ③当t＜﹣2时，最高点时点P，最低点是顶点（﹣1，﹣4），d2＝4， ∵|d1﹣d2|＝1， ∴d1＝3或d1＝5， 当d1＝3时，纵坐标为3，则t2+2t﹣3＝3， 解得t1或t1（舍去）， 此时t1； ④当d1＝5时，纵坐标为5，则t2+2t﹣3＝5， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去）， 此时t＝﹣4． 综上所述，t的取值范围为﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1， 故答案为：﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是结合函数图象分类讨论． 一十二．二次函数的应用（共2小题） 16．（2024•桐乡市校级一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同． （1）A，B两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，A型号电脑升级为A1型号，该商城计划一次性购进A1，B两种型号电脑共100台，B型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A1型号电脑所获利润P（万元）与A1销售量m（台）（0≤m≤80）成函数关系，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分（40＜m≤80）．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？（利润＝销售总价﹣总进价） 【分析】（1）设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价（x+500）元，根据“用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）A1型电脑总共购进m台，B型电脑总共购进（100﹣m）台，总利润w万元，先求出销售B型电脑的利润，然后分两种情况用待定系数法求出销售A1型号电脑所获利润P的函数解析式，再求出 总利润w关于m的解析式，由函数的性质求出最值． 【解答】解：（1）设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价（x+500）元， 根据题意得：， 解得x＝4000， 经检验，x＝4000是原方程的解， 此时x+500＝4500， 答：A型电脑每台进价4000元，则B型电脑每台进价4500元； （2）∵A1销售量m台， ∴A1型电脑总共购进m台， ∴B型电脑总共购进（100﹣m）台，总利润w万元， 则B型电脑的利润为：（5200﹣4500）×（100﹣m）＝70000﹣700m＝（7m）万元； 由图形可知，当0≤m≤40时，P与m的函数解析式为P＝km（k≠0）， 把（40，4）代入解析式得：k， ∴Pm， 再将（40，4）代入Pm2m+c得c， ∴P， ∴当0≤m≤40时，总利润wm+7mm+7； ∵k0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝40时，w有最大值，最大值为w40+7（万元）； 当40＜m≤80时，总利润wm2m7mm2m（m﹣50）2， ∵a0，对称轴为直线m＝50， ∴当m＝80时，w有最大值，最大值为202（万元）， ∵， ∴A1型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大． 【点评】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，关键是根据等量关系列出方程和函数解析式． 17．（2024•衢州一模）综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙MN的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边AB为墙MN的一部分） 思考二：将墙MN的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙MN为边AB的一部分） 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的S的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可； （2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可． 【解答】解：（1）思路1：设CD＝x，则BC， ∴S＝x•x2+20x（x﹣20）2+200， ∵0，0＜x≤12， ∴当x＝12时，Smax＝168； 思路2：设AB＝CD＝x，则AD＝BC26﹣x， ∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169， ∵12≤x≤26， ∴当x＝13时，Smax＝169， ∵169＞168， ∴矩形种植园面积最大为169m2； （2）图示如下： 同（1）可分别求得： 思路1：∵CD＝x，则BC＝AD， ∴S＝x•x2+10x（x﹣10）2+50， ∵0＜x≤12， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为50； 思路2：∵CD＝x，则BC＝AD16﹣x， ∴S＝x•（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64， ∵﹣1＜0，12≤x≤16， ∴当x＝12时，S有最大值，最大值为48， ∵50＞48， 矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，关键是函数性质的应用． 一十三．全等三角形的判定与性质（共1小题） 18．（2024•金东区二模）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AC＝4，连结AE，BD，F为直线AE，BD的交点，连结CF，当线段BF最长时，CF的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】作△ABC的外接圆⊙O，作直径BM，连接CM，设BD与AC交于点H，证△ACE和△BCD全等得∠CAE＝∠CBD，进而得∠AFB＝∠ACB＝60°，则点F始终在⊙O上，根据圆内最大的弦为直径得：当点F与点M重合时，BF为最大，此时CF＝CM，然后在Rt△BCM中利用锐角三角函数求出CM即可． 【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，作直径BM，连接CM，设BD与AC交于点H，如图所示： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°，CE＝CD，∠ECD＝60°， ∴∠ECD+∠ACD＝∠ACB+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， ∵∠AHB是△AFH和△BCH的外角， ∴∠AHB＝∠CAE+∠AFB＝∠CBD+∠ACB， ∴∠AFB＝∠ACB＝60°， ∴点F始终在⊙O上， ∴BF为⊙O的弦， 根据圆内最大的弦为直径得：当点F与点M重合时，BF为最大，此时CF＝CM， ∵AM为⊙O的直径， ∵∠BCM＝90°， 又∵∠M＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△BCM中，BC＝AC＝4，， ∴CM． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，解决问题的难点是构造△ABC的外接圆⊙O，证明点F始终⊙O上，理解圆内最大的弦是直径． 一十四．等边三角形的性质（共1小题） 19．（2024•宁波模拟）如图，⊙O的圆心O与正三角形的中心重合，已知⊙O的半径为3，正三角形的边长为，则圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣OA，以此即可求解． 【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正三角形上一点，连接BD，OD，OB， 由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD， OB是圆的半径，为定值， ∴当O、A、B三点共线时，即点D与点A重合时，圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣OA， 由题意可得，OB＝3， 过点O作OC⊥AC ∵点O为正三角形的中心， ∴，， ∵△AOC为直角三角形， ∴， ∴， ∴OA＝2， ∴圆上任意一点到正三角形边上任意一点距离的最小值为OB﹣OA＝3﹣2＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 一十五．正方形的性质（共1小题） 20．（2024•金东区二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是边BC所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结PA，PD． （1）当时，PC的长为 　4　 ； （2）的最小值为 　　 ． 【分析】（1）设PC为x，由勾股定理得PD，PA，代入等式解答即可得解； （2）在AP上取一点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD，推导出△ADE∽△APD，得到AD2＝AP•AE；推导出△ABE∽△APB，确定点E在以AB为直径的⊙O上，作△ABE的外接圆⊙O，连OD，OE，利用勾股定理求得OD，，得到DE的最小值为，进而得到的最小值． 【解答】解：（1）设PC为x， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴x1＝0，x2＝4， 经检验，x1，x2都为原方程的解， ∵P不与C重合， ∴PC＝4， 故答案为：4； （2）在AP上取一点E，连接DE，使∠ADE＝∠APD， 又∵∠DAE＝∠PAD， ∴△ADE∽△APD， ∴， ∴，AD2＝AP•AE， ∵AD＝2， ∴DE的最小值时，最小， ∵AB＝AD， ∴AB2＝AP•AE，即， 又∵∠BAE＝∠BAP， ∴△ABE∽△APB， ∴∠AEB＝∠ABP＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙O上， ∴作△ABE的外接圆⊙O，连OD，OE， ∴OE＝OA＝OB＝1， 在Rt△AOD， ∴， ∴DE的最小值为 ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 一十六．四边形综合题（共2小题） 21．（2024•婺城区模拟）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置． 生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形BB1C1C为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架BC，AB及B1C1与A1B1的端点A，C，A1，C1固定在外墙上，AA1，BB1，CC1与OO1平行，AA1＝2米．图2是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为60°（∠BPM＝60°），安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面OO1C1C（不包括OO1）上． 数学活动：数学学习小组通过研究支架AB、BC的长度，支架端点A，C的距离以及支架AB与BC夹角α（∠ABC＝α），对雨棚进行了重新设计．图3是第一小组的设计示意图，其中AB＝BC，，AC＝1米．如图4是第二小组的设想，其中AC＝1米，α＝45°． 问题解决： 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积． 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）． 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究， 并直接写出答案． 问题1：探索OA的最大值； 问题2：探索OA最大时∠ACB的度数． 【分析】任务一：过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可得，进而得出BC＝1.3，即可求解； 任务二：当∠BOM＝60°时，此时OA最大，如图在Rt△CBD中，得出，在Rt△CBD中，得出，即可求解； 任务三：由任务二可得∠BOM＝60°时，AO最大，以AC为斜边作等腰Rt△TCA，则B点的运动轨迹为⊙T，当BO与⊙T相切时，AO最大，根据四边形内角和定理以及圆周角定理，可得 ，进而过点T，B分别作AC的垂线，垂足分别为D，E，过点T作TN⊥BE于点N，分别求得DE，BE，OE，根据AO＝CO﹣CA＝OE+DE+CD﹣1即可求解． 【解答】解：任务一：过点B作BD⊥AC于点D， 由AB＝BC得，， 在Rt△CBD中，， ∴， ∴BC＝1.3； ∴所需挡雨板面积为S＝BC×AA1＝1.3×2＝2.6（平方米）； 任务二：当∠BOM＝60° 时，OA最大，如图在Rt△CBD中， ∵sin ， ∴， ∴， ∵在 Rt△CBD 中，∠BOD＝90°﹣∠BOM＝30°， ∴， ∴， ∴点A应安装在与点O的距离不高于 米处； 任务三：问题1：OA的最大值为 米； 问题2：∠ACB＝52.5°； 理由：由任务二可得∠BOM＝60°时，AO最大， 如图，以AC为斜边作等腰Rt△TCA，则B点的运动轨迹为⊙T， 当BO与⊙T相切时，AO最大，此时如图所示，∠TBO＝90°，∠AOB＝30°， ∵等腰Rt△TCA， ∴∠CAT＝45°， 则∠TAO＝135°， 在四边形ATBO中，∠ATB＝360°﹣135°﹣90°﹣30°＝105°， ∴， 过点T，B分别作AC的垂线，垂足分别为D，E，过点T作TN⊥BE于点N， 则四边形DENT是矩形， ∴DE＝TN，， ∵AC＝1， ∴， ∵∠TBE＝30°， ∴， ∴， 在Rt△OBE中，， ∴AO＝CO﹣CA＝OE+DE+CD﹣1． 【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质等知识，熟练掌握以上知识并会灵活应用是解题的关键． 22．（2024•浙江模拟）【回顾课本】 浙教版八年级下册数学教材“4.5三角形的中位线”一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请完成证明过程． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线． 求证：DE∥BC，． 分析：因为E是AC的中点，可以考虑以点E为中心，把△ADE按顺时针方向旋转180°，得到△CFE，这样就只需要证明四边形BCFD是平行四边形． 【探究发现】 如图2，等边△ABC的边长为2，点D，E分别为AB，AC边中点，点F为BC边上任意一点（不与B，C重合），沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转180°恰好能与①拼成▱DIHG，求▱DIHG周长的最小值． 【拓展作图】 如图3，已知四边形ABCD，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【分析】【回顾课本】以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180°，得△CFE，则D，E，F同在一直线上，DE＝EF，且△ADE≌△CFE，得出∠ADE＝∠F，AD＝CF，证明四边形BCFD是平行四边形，则可得出结论； 【探究发现】当DF⊥BC时最小，此时，则可得出答案； 【拓展作图】取AB，BC，CD，DA边的中点，沿EF，GH，HE剪开分成四块即可． 【解答】【回顾课本】证明：以点E为旋转中心，把△ADE绕点E，按顺时针方向旋转180°，得△CFE，则D，E，F同在一直线上，DE＝EF，且△ADE≌△CFE， ∴∠ADE＝∠F，AD＝CF， ∴AB∥CF， 又∵BD＝AD＝CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，； 【探究发现】由题可知：▱DIHG周长＝2DI+2DG＝2BC+2DF＝4+2DF， 当DF⊥BC时最小，此时， ∴▱DIHG周长的最小值为； 【拓展作图】取点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，沿EF，GH，HE剪开分成四块即可， 理由：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EF∥AC，GH∥AC，EFAC，GHAC， ∴EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 沿EF，GH，HE剪开分成四块即可，按如图方式拼接即可． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一十七．垂径定理的应用（共1小题） 23．（2024•温州模拟）某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得AB＝4m，为了确定BC与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根5m长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于AD上点E处，AE＝1m．如图2，调整杆子位置，直至一端在AB上的点G处，另一端在圆弧上点F处，FG⊥AB，GB＝1m，如图3，某一集装箱大货车宽为2.4m，则该大货车的最大高度（包括货物） 　　 m． 【分析】如图1所示，过点E作ET⊥BC于T，则四边形ABTE是矩形，可得ET＝AB＝4m，BT＝AE＝1m，利用勾股定理可得CT＝3m，则BC＝CT+BT＝4m；如图2所示，设所在圆的圆心为O，过点O作OE⊥BC交BC于点E，交GF于点H，过点O作OK⊥CD于K，则四边形BEHG是矩形，四边形OECK是矩形，可得HG＝BE，HE＝BG＝1m，OE＝CK＝2m，则OH＝OE﹣HE＝1m，设HG＝BE＝am，则FH＝（5﹣a）m，CE＝（4﹣a）m，由勾股定理可得方程12+（5﹣a）2＝22+（4﹣a）2，解得a＝3，则FH＝2m，进而可得；如图3所示，构造MN//AB，且MN＝2.4m，过点O作OJ⊥MN于点J，OE⊥BC于E，延长JO交AB于L，连接OM，由垂径定理得到，则，由图2可知，BE＝3m，证明四边形OLBE是矩形，得到OL＝BE＝3m，，则大货车的最大高度（包括货物）为． 【解答】解：如图1所示，过点E作ET⊥BC于T， 则四边形ABTE是矩形， ∴ET＝AB＝4m，BT＝AE＝1m， ∴， ∴BC＝CT+BT＝4m； 如图2所示， 设所在圆的圆心为O，过点O作OE⊥BC交BC于点E，交GF于点H，过点O作OK⊥CD于K，则四边形BEHG是矩形，四边形OECK是矩形， ∴HG＝BE，HE＝BG＝1m，， ∴OH＝OE﹣HE＝1m， 设HG＝BE＝am，则FH＝（5﹣a）m，CE＝（4﹣a）m， ∵OF2＝OC2，OF2＝OH2+FH2，OC2＝OE2+CE2， ∴12+（5﹣a）2＝22+（4﹣a）2， 解得a＝3， ∴FH＝2m， ∴； 如图3所示， 构造MN//AB，且MN＝2.4m，过点O作OJ⊥MN于点J，OE⊥BC于E，延长JO交AB于L，连接OM， ∴， ∴， 由图2可知，BE＝3m， ∵MN∥AB，OJ⊥MN， ∴OL⊥AB， ∴四边形OLBE是矩形， ∴OL＝BE＝3m， ∴， ∴大货车的最大高度（包括货物）为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而求出所在圆的半径以及线段BC的长是解题的关键． 一十八．切线的判定与性质（共1小题） 24．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键． 一十九．正多边形和圆（共1小题） 25．（2024•拱墅区校级二模）如图，正六边形ABCDEF的边长为3，⊙O的半径为1．若⊙O在正六边形ABCDEF内平移（⊙O可以与该正六边形ABCDEF的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　7　 ． 【分析】根据切线的性质，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，设⊙O与正六边形ABCDEF的边CD、DE分别相切于点M、N，连接AD与⊙O相交于点G，此时点A到⊙O上的点的距离AG最大，连接OM， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AO′B＝∠BO′C＝∠CO′D60°， ∵O′A＝O′B＝O′C＝O′D， ∴△AO′B，△BO′C，△CO′D都是正三角形， ∴AD＝2AB＝6， 在Rt△OMD中，OM＝1，∠ODM＝60°， ∴OD， ∴DG＝DO﹣OC1， ∴AG＝61＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 二十．圆的综合题（共1小题） 26．（2024•吴兴区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6，以C为圆心，为半径作圆．点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M． （1）当∠PDQ＝50°时，求劣弧PQ的度数； （2）当CE＝CF时，求AD的长； （3）连结CM，BM． ①证明：ME•CA＝CM•AD． ②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）连结CP、CQ，利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可； （2）连结CD，CP，CQ，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的全等的判定定理得到△CPD≌△CQD，则DP＝DQ，∠PCD＝∠QCD；利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到∠DCE＝∠DCF，即CD平分∠ECF，利用角平分线的性质定理和三角形的面积公式剪刀剪开得出结论； （3）①利用相似三角形的判定与性质解答即可； ②利用相似三角形的判定与性质求得CE的长度，由于PQ⊥CD，则∠CME＝90°，则点M在以CE为直径的圆上运动，可得当B、M、H三点共线时，BM最短，取CE的中点H，则CH＝EH，利用勾股定理求得BH的长度，则BM的最小值＝BH﹣MH 【解答】（1）解：连结CP、CQ，如图， ∵DP、DQ分别切圆C于点P、点Q， ∴CP⊥DP，CQ⊥DQ， ∴∠CPD＝∠CQD＝90°， ∵∠PDQ+∠PCQ+∠DPC+∠DQC＝360°， ∴∠PDQ+∠PCQ＝180°， ∵∠PDQ＝50°时， ∴∠PCQ＝130°， 则弧PQ为130°． （2）解：连结CD，CP，CQ，如图， 在△CPD和△CQD中， ， ∴△CPD≌△CQD（HL）， ∴DP＝DQ，∠PCD＝∠QCD， ∵CP＝CQ， ∴C，D在PQ的垂直平分线上， ∴CD经过PQ的中点M． ∴∠DPQ＝∠DQP， ∴∠CPQ＝∠CQP． ∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠CEP＝∠CFQ． 在△CPE和△CQF中， ∴△CPE≌△CQF（AAS）， ∴∠PCE＝∠QCF， ∴∠DCE＝∠DCF， 即CD平分∠ECF， 过点D作DG⊥BC于点G， ∵DA⊥AC， ∴AD＝AG， ∵在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝6， ∴BC2． ∵， ∴（AC+BC）ADAB•AC， 解得：AD＝39． （3）①证明：连接CD，CP，CQ，如图， 由（2）知：CD经过PQ的中点M， ∵CP＝CQ， ∴CD⊥PQ， ∴∠CME＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∵∠MCE＝∠ACD， ∴△MCE∽△ACD， ∴， ∴ME•CA＝CM•AD； ②解：在点D的运动过程中，BM存在最小值，BM的值为6．理由： 由①可得，C、D、M三点共线，且PQ⊥CD，△MCE∽△ACD， ∴， ∴CM•CD＝CE•CA． 由（1）知：∠CPD＝90°， ∴∠PCD+∠PDC＝90°， ∵PQ⊥CD， ∴∠PCD+∠CPM＝90°， ∴∠CPM＝∠PDC， ∵∠PCM＝∠DCP， ∴△CPM∽△CDP， ∴， ∴PC2＝CM•CD， ∴PC2＝CE•CA， ∴， 解得：， 即CE为定值． ∵PQ⊥CD， ∴∠CME＝90°， ∴点M在以CE为直径的圆上运动， 取CE的中点H，则CH＝EH，当B、M、H三点共线时，BM最短，如图， ∵AH＝AC﹣CH， ∴BH， ∴BM＝BH﹣MH6． ∴此时BM的最小值为6． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 二十一．轨迹（共1小题） 27．（2024•桐乡市校级一模）如图，一块含30°的三角板DEF和直尺ABHG拼合在同一平面上，边AD在射线GA上，．点F从点A出发沿AB方向滑动时，点D同时在射线GA上滑动．当点F从点A滑动到点B时，△ADF面积的最大值 　12　 cm2；连结AE，BE，则△ABE外接圆的圆心运动的路径长 　（6﹣2）　 cm． 【分析】（1）作AH⊥DE于H，取DE的中点O，连接OA，可得出AH≤OA，进一步得出结果； （2）由∠BAD+∠BEF＝180°得出点B、D、E、F共圆，从而∠DAE＝∠DFE＝30°，从而得出点E在与AD成30° 的直线上运动，设△ABE的外接圆的圆心为I，则I是AB和AE的垂直平分线的交点，当点F从A点运动到AB的中点时，运动路径长是（4﹣2）cm，当点F从AB的中点运动到B处时，运动路径长是2cm，进而得出结果． 【解答】解：如图1， 作AH⊥DE于H，取DE的中点O，连接OA， ∴∠AHD＝90°， ∴AH≤OA，（当点H和点O重合时，AO＝OA，此时AE＝AD） ∵∠BAD＝90°， ∴OADE＝2cm， ∴AH≤2， ∴S△ADF最大cm2， 如图2， ∵∠BAD+∠BEF＝180°， ∴点B、D、E、F共圆， ∴∠DAE＝∠DFE＝30°， ∴点E在与AD成30° 的直线上运动， 设△ABE的外接圆的圆心为I，则I是AB和AE的垂直平分线的交点， 因为AB是定线段，所以点I运动路线是一条线段， 如图3， 作AE的垂直平分线QW，交AE于W，交AB于Q， ∵AE＝AD•cos∠DAE＝46cm， ∴AWAE＝3cm， ∴AQ＝2AW＝6cm， ∴QG＝AQ﹣AG＝（6﹣2）cm， ∴GIGQ＝（22）cm， 如图4， 当点F在AB的中点G处时，此时BE＝AE， ∵∠BAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABI， ∴IG＝BG•tan30°＝22cm， ∴I运动路径长是2﹣（2）＝（4﹣2， 如图5， 当点F在B处时，I在G处，则点F从AB的中点G处运动点B时，I运动的路径长是2cm， ∴I运动的路径总长是（6﹣2）cm， 故答案为：12，（6﹣2）． 【点评】本题考查了确定圆的条件，解直角三角形，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 二十二．胡不归问题（共1小题） 28．（2024•钱塘区三模）如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足AM＝BN，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，若正方形的边长为8，则的最小值为 　2　 ． 【分析】取AD中点O，连OF，取OF中点G，连EG，取OG中点H，连PO、PH．证明△AMD≌△BNA，得∠APM＝90°．利用证明△OHP∽△OPF，得，故HPPF．由PE+HP，得当H、P、E三点共线时，PE+HP最短，故连HE，最小值即为HE．故HE2． 【解答】解：取AD中点O，连OF，取OF中点G，连EG，取OG中点H，连PO、PH． ∵正方形ABCD， ∴AD＝AB，∠DAM＝∠B＝90°， 又AM＝BN， ∴△AMD≌△BNA（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， 又∠ADM+∠DMA＝90°， ∴∠BAN+∠DMA＝90°， ∴∠APM＝90°． ∴OPAD＝4， ∵H为OG中点， ∴OHOG＝2， ∵，， ∴， ∵∠POH＝∠POH， ∴△OHP∽△OPF， ∴， ∴HPPF． ∴PE+HP， 当H、P、E三点共线时，PE+HP最短， 故连HE，最小值即为HE． ∴HE2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了胡不归问题，全等三角形的判定与性质，正方形性质，正确运用这些知识是解题关键． 二十三．旋转的性质（共1小题） 29．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，BC＝5，D是斜边AC上的动点，以线段BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是 　2，　 ． 【分析】如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H．利用全等三角形的性质证明DF＝CE，求出DF的最小值即可． 【解答】解：如图，在BC的上方作等边△FBC，连接AF，DF，过点F作FH⊥AB于点H． ∵∠ABC＝90°，∠FBC＝60°，BC＝BF＝CF＝5， ∴FHBF， ∵tan∠ACB， ∴AB， ∴AC， ∵△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝∠FBC＝60°， ∴∠DBF＝∠EBC， ∴△BDF≌△BEC（SAS）， ∴DF＝CE， ∴当DF⊥AC时，DF的值最小，此时CE的值最小， ∵S△ABF+S△BFC＝S△ABC+S△ACF， ∴525DF， ∴DF2， ∴CE的最小值为2， 故答案为：2， 【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当CE的值最小时，点E的位置是解题关键． 二十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 30．（2025•镇海区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且，点M是AC边上一个动点，连接MN，以MN为直角边，点M为直角顶点，在MN的左侧作等腰直角三角形MNQ，则CQ的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC 的延长线于G．证明△MNC∽△QNT，可得∠MCN＝∠QTN＝90°，∠CTQ＝45°，证明Q在射线TQ上，可得当CQ⊥TQ时，CQ最短，再进一步求解即可． 【解答】解：∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点N是BC边上的一点，且， ∴AB＝2，， 如图，在CN的下方作等腰直角△CNT，作射线TQ，交BC的延长线于G． ∴，∠CNT＝∠CTN＝45°， ∵等腰直角三角形MNQ， ∴，∠MNQ＝45°， ∴∠MNC＝∠QNT， ∴△MNC∽△QNT， ∴∠MCN＝∠QTN＝90°， ∴∠CTQ＝45°， ∵Q在射线TQ上， ∴当CQ⊥TQ时，CQ最短， ∵∠ACB＝90°＝∠TCN＝∠TCG， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二十五．相似形综合题（共1小题） 31．（2024•鹿城区校级三模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，动点P在BC延长线上，以AP为边作正方形PADE，边DE与线段BC交于点F． 【寻找变中不变】（1）求证：△ACP∽△PEF． 【确定动点位置】（2）当时，BF的长为 　1　 ． 【探求线段最值】（3）当CP多长时，线段CF最短？ 【分析】（1）由正方形PADE得∠APC+∠EPF＝90°，由∠APC+∠CAP＝90°，得∠EPF＝∠CAP，又∠ACP＝∠FEP＝90°，故△ACP∽△PEF． （2）由勾股定理得AP，由△ACP∽△PEF，得，故PF＝3，再计算得BF＝PF﹣PC1． （3）设CP＝x，由勾股定理得AP，由△ACP∽△PEF，得，故PF（x2+4），故CF＝PF﹣CP（x2+4）﹣x（x﹣1）2，故当x＝1时，即CP＝1时，CF最短． 【解答】（1）证明：∵正方形PADE， ∴∠APC+∠EPF＝90°， ∵∠APC+∠CAP＝90°， ∴∠EPF＝∠CAP， 又∠ACP＝∠FEP＝90°， ∴△ACP∽△PEF． （2）BF1， 理由如下： ∵AC＝2，CP， ∴AP， ∴PE＝AP， ∵△ACP∽△PEF， ∴， ∴， ∴PF＝3， ∴BF＝PF﹣PC1． 故答案为：1． （3）解：设CP＝x， ∴AP， ∵△ACP∽△PEF， ∴， ∴， ∴PF（x2+4）， ∴CF＝PF﹣CP（x2+4）﹣x（x﹣1）2， 故当x＝1时． 答：当CP＝1时，CF最短． 【点评】本题考查了相似的知识，利用两个角对应线段得相似是解题关键． 二十六．解直角三角形（共1小题） 32．（2025•浙江一模）直角三角形ADE和ABC的直角顶点重合在点A，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2，M、N分别是边AC、DE上的动点，且DN＝AM，则AN+BM的最小值是 　　 ． 【分析】过点A作AF⊥DE于F，则DF＝EF＝AF＝1，设DN＝AM＝x，则AN，BM，进而得AN+BM，在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2），则HP+HQ，因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可，作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长，然后求出PQ'，由此可得AN+BM的最小值． 【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，如图1所示： ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∠E＝45°，∠C＝60°，DE＝AB＝2， ∴△ADE为等腰直角三角形，∠ABC＝30°， ∴DF＝EF＝AFDE＝1， 设DN＝AM＝x， ∴FN＝DF﹣DN＝1﹣x， 在Rt△ANF中，由勾股定理得：AN， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：BM， ∴AN+BM， 在直角坐标系中，设点H（x，0），P（1，1），Q（0，2）， 则HP，HQ， ∴HP+HQ， 因此要求AN+BM的最小值，只需求出HP+HQ的最小值即可， 作点Q（0，2）的对称点Q'（0，﹣2），连接PQ'交x轴于R，连接HQ'，如图2所示： ∴HQ＝HQ'， ∴HP+HQ＝HP+HQ' 根据“两点之间线段最短”得：HP+HQ'≥PQ'， ∴当点D与点R重合时，HP+HQ'为最小，最小值为线段PQ'的长， 即HP+HQ的最小值为线段PQ'的长， ∵PQ'， ∵HP+HQ的最小值， 即AN+BM的最小值． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用轴对称求最短路线是解决问题的关键． 二十七．频数（率）分布表（共1小题） 33．（2024•衢州一模）某校为了解学生在校午餐所需的时间，抽查了20名同学在校午餐所花的时间，获得如下数据（单位：分）： 9，12，15，10，16，18，19，18，20，38， 22，25，20，18，18，20，15，16，21，16． 若将这些数据分为6组，制作频数表，则频数最大的组是 　14≤x＜19　 ． 【分析】根据制作频数分布表的一般方法制作，再确定出频数最大的组即可． 【解答】解：这组数据最答的数为38，最小的数为9，差为38﹣9＝29； ∵分成6组，4， ∴组距为5， ∴分组如下：9≤x＜14，14≤x＜19，19≤x＜24，24≤x＜29，29≤x＜34，34≤x＜39， 列频数分布表如下： 分组 划记 频数 9≤x＜14 3 14≤x＜19 正 9 19≤x＜24 正一 6 24≤x＜29 一 1 29≤x＜34 0 34≤x＜39 一 1 由频数分布表可知：频数最大的组是：14≤x＜19， 故答案为：14≤x＜19． 【点评】本题考查频数分布表，掌握频数分布表的制作方法是解题的关键． 二十八．分式函数的最值（共1小题） 34．（2024•拱墅区校级二模）实数a、b、c不全为0，则的最大值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】根据（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，得出a2+b2+c2≥ab+bc+ac，再根据实数a、b、c不全为0，得出，得出最大值为1． 【解答】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2≥0， ∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac）， ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac， ∵实数a、b、c不全为0， ∴a2+b2+c2＞0， ∴， ∴最大值为1， 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式的最值问题，掌握完全平方公式是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$