数学（深圳卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. （1）（4分）计算：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （4分）(2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 15．（8分） （1）_______ ________ （2） （3） （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （4） 16.（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （8分） （1） （2） 18.（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（9分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（11分） （1） ①_________ ②_________ （2） ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，有理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案． 【详解】∵是有理数，其4个 故选D． 2．自2025年1月20日发布以来，引发全球关注，成为史上用户数增长最快的互联网产品．开源的671B参数的“满血版”大模型，有671000000000个不同的参数，将671000000000写成科学记数法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，去括号法则，开方运算，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 4．如图，，，若，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 5．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数；茶壶量茶杯量，据此求解即可． 【详解】解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人． ， 故选：C． 6．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数分别为（    ） A．5，6 B．2，6 C．5，5 D．5，5.5 【答案】A 【分析】根据众数和中位数的求解方法，求解即可． 【详解】解：观察表格数据可以得到投中次数5的人数有3人，人数最多，故众数为5； 有10名队员进行投篮，中位数取第5、6名投中次数的平均数，第5、6名投中的次数都为6，故中位数为6； 故答案选：A． 【点睛】此题考查了中位数和众数的基础知识，熟练掌握中位数和众数的求解方法是解题的关键． 7．已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（  ） A．D 点 B．E 点 C．F点 D．D 点或 F点 【答案】C 【分析】根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点． 【详解】解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7， ∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37， ∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617， ∴点F最接近线段AB的黄金分割点． 故选：C． 8．如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，∠BCD=42°，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理求得，，再求得，利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：4a3﹣8a2+4a＝ ． 【答案】4a（a﹣1）2 【分析】先提取公因式4a，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式＝4a（a2﹣2a+1） ＝4a（a﹣1）2， 故答案为：4a（a﹣1）2． 【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解，注意：因式分解要彻底． 10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，得出和的值是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则 ． 【答案】3 【分析】由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得出，求得，得到，作于，根据等腰三角形的性质得出，，根据相似三角形的判定与性质计算即可得出答案． 【详解】解：由作图知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 12．已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即． 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13．在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交BC的延长线于点F，由正切函数得，设，，利用勾股定理分别求出，，，则，再求出，则，，，进而得， ，根据得，设，，则，，由正切函数，，即可求解． 【详解】解：过点A作于点P，过点B作于点H，过点E作交的延长线于点F，如图所示： ， 在中，， ∴设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设，， ， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， ∴， 解得：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：． (2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)】 (2)从第②步开始出现错误，正确的解题过程见解析 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算． （1）先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，特殊角的三角形函数值，然后再计算加减即可； （2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：从第②步开始出现错误，∵同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可. 正确的解题过程如下： ． 15．希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)100， (2)见解析 (3)估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人 (4) 【分析】（1）用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用乘以第④组人数所占比例即可求解； （2）用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比例即可； （4）画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：（名）， 第④组所对应扇形的圆心角的度数为： （2）解：第③组的人数为：（人）， 可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；    （3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人） （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人； （4）解：树状图如图所示：    则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种， 两人恰好选到同一门课程的概率为：． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总数、画树状图或列表求概率，根据题意熟练的画出树状图或列出表格，是解题的关键． 16.高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离为2.7米，镜头拍摄扩角，为基准线（的角平分线），为水平线，摄像头与水平方向夹角为30°，图3是安装完成后投入使用的示意图：    (1)当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？ (2)在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离约为多少米？（参考数据，，结果精确到1米） 【答案】(1)摄像头应装在离大楼约10m远的位置 (2)该摄像头能拍摄到的最高距离约为40米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，掌握锐角三角函数，是解题的关键． （1）解直角三角形，求出的长即可； （2）解直角三角形，求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，则四边形为矩形，    ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：摄像头应装在离大楼约10m远的位置； （2）由①可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 答：该摄像头能拍摄到的最高距离约为40米． 17．已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． (1)求该公司购进农产品的总质量． (2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）． 【答案】(1)该公司购进农产品的总质量为80吨； (2)公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元． 【分析】本题考查了分式方程和二次函数的应用．熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、成本的关系，列方程，列函数解析式，是解题的关键． （1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（吨）， ∴该公司购进农产品的总质量为80吨； （2）解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元， 由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，元， 故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元． 18．如图，在中，是边上的点，以为直径的与、边分别交于点、，连接、、，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，则，根据已知可得得，即可得证； （2）勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理求得；进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而根据圆周角定理以及圆周角与弧的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在中， ∴ 在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据： 0 2 6 10 3 根据上述信息，解决以下问题： (1)求出与之间的函数关系； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)水柱的最大高度，的取值范围为． 【分析】（1）设与之间的函数关系为，代入，，，利用待定系数法求解即可； （2）令，则，求解方程取满足实际要求得值即可； （3）．由题意可知：不变，即，且的位置不变，即，设，把代入解得，易知，当最小时，即时，代入水柱有最大高度为的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系为， 代入，，，得： ，解得：， ∴设与之间的函数关系为； （2）令，则，即：； ∴， ∴（舍）或， ∴水柱落地点与雕塑的水平距离为； （3）由在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，可知： 不变，即，且的位置不变，即， 设， 把代入得，，解得，把代入得，，解得, ∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间， ∴， 当最小时，即时，即水柱有最大高度为， ∴水柱的最大高度，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． 20．（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 【答案】 （1）①；② （2）①；②点为边的三等分点，线段的长为或 【分析】（1）①根据正方形，折叠的性质得到，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，代入计算即可求解； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，，在中，，再证明，，即可求解； ②根据题意可得四点共圆，是等腰直角三角形，分类讨论：时；时；由勾股定理得到的值，由此得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ②∵点是边的中点， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴，且， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴四点共圆，如图所示， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为边的三等分点， ∴第一种情况，， 在中，， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，， 同理，， ∴； 综上所述，点为边的三等分点，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠、旋转的性质，勾股定理，正切值的计算，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握折叠、旋转的性质构造三角形全等，四点共圆，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1．在实数，有理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．自2025年1月20日发布以来，引发全球关注，成为史上用户数增长最快的互联网产品．开源的671B参数的“满血版”大模型，有671000000000个不同的参数，将671000000000写成科学记数法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，若，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 5．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数分别为（    ） A．5，6 B．2，6 C．5，5 D．5，5.5 7．已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（  ） A．D 点 B．E 点 C．F点 D．D 点或 F点 8．如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，∠BCD=42°，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：4a3﹣8a2+4a＝ ． 10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则 ． 12．已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    13．在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：． (2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 15．希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 16.高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离为2.7米，镜头拍摄扩角，为基准线（的角平分线），为水平线，摄像头与水平方向夹角为30°，图3是安装完成后投入使用的示意图：    (1)当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？ (2)在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离约为多少米？（参考数据，，结果精确到1米） 17．已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． (1)求该公司购进农产品的总质量． (2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）． 18．如图，在中，是边上的点，以为直径的与、边分别交于点、，连接、、，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 19．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据： 0 2 6 10 3 根据上述信息，解决以下问题： (1)求出与之间的函数关系； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围． 20．（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在实数，有理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．自2025年1月20日发布以来，引发全球关注，成为史上用户数增长最快的互联网产品．开源的671B参数的“满血版”大模型，有671000000000个不同的参数，将671000000000写成科学记数法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，若，则的大小为（    ）      A． B． C． D． 5．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表： 投中次数 3 5 6 7 8 人数 1 3 2 2 2 则这些队员投中次数的众数、中位数分别为（    ） A．5，6 B．2，6 C．5，5 D．5，5.5 7．已知如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点（  ） A．D 点 B．E 点 C．F点 D．D 点或 F点 8．如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，∠BCD=42°，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 9．分解因式：4a3﹣8a2+4a＝ ． 10．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，过作交延长线于．若，，则 ． 12．已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    13．在等腰中，，D是上一点，过点D作交延长线于点E，若，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）计算：． (2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 15．希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 16.高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离为2.7米，镜头拍摄扩角，为基准线（的角平分线），为水平线，摄像头与水平方向夹角为30°，图3是安装完成后投入使用的示意图：    (1)当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？ (2)在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离约为多少米？（参考数据，，结果精确到1米） 17．已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． (1)求该公司购进农产品的总质量． (2)该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）． 18．如图，在中，是边上的点，以为直径的与、边分别交于点、，连接、、，满足． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 19．某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据： 0 2 6 10 3 根据上述信息，解决以下问题： (1)求出与之间的函数关系； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围． 20．（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C C C A C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．4a（a﹣1）2 10． 11．3 12． 13． 三、解答题（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（8分）【详解】（1）解：原式(2分） (3分） ．(4分） （2） 解：从第②步开始出现错误，(1分） ∵同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可. 正确的解题过程如下： (2分） (3分） ．(4分） 15.（8分）【详解】（1）解：调查总人数为：（名），（1分） 第④组所对应扇形的圆心角的度数为：（2分） （2）解：第③组的人数为：（人）， 可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；   （3分） （3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人）（4分） （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人；（5分） （4）解：树状图如图所示：   （7分） 则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种， 两人恰好选到同一门课程的概率为：．（8分） 16.（8分）【详解】（1）解：过点作，则四边形为矩形，    ∴，（1分） ∵，平分， ∴，（2分） ∵， ∴，（3分） ∴；（4分） 答：摄像头应装在离大楼约10m远的位置； （2）由①可知：，（5分） ∵， ∴，（6分） ∴，（7分） ∴； 答：该摄像头能拍摄到的最高距离约为40米．（8分） 17.（8分）【详解】（1）解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨， 由题意得：，（1分） 解得：，（2分） 经检验：是原方程的根，（3分） ∴（吨）， ∴该公司购进农产品的总质量为80吨；（4分） （2）解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元， 由题意得： ，（5分） ∵， ∴，（6分） ∵， ∴当时，y有最大值，（7分） 元， 故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元．（8分） 18.（8分）【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，（1分） 即 又∵是半径， ∴是的切线；（2分） （2）解：∵，， ∴，（3分） 在中， ∴（4分） 在中，（5分） ∵，， ∴，（6分） ∴ ∴（7分） ∵ ∴ ∵， ∴， （8分） 19.（10分）【详解】（1）解：设与之间的函数关系为， 代入，，，得： ，解得：，（1分） ∴设与之间的函数关系为；（2分） （2）令，则，即：； ∴， ∴（舍）或，（3分） ∴水柱落地点与雕塑的水平距离为；（4分） （3）由在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，可知： 不变，即，（5分） 且的位置不变，即，（5分） 设， 把代入得，，解得，（7分） 把代入得，，解得,（8分） ∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间， ∴，（9分） 当最小时，即时，即水柱有最大高度为， ∴水柱的最大高度，的取值范围为．（10分） 20.（11分）【详解】解：（1）答案为：①；（1分）②；（2分） （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴，（3分） 在中，， 由（1）可得，， ∴，且， ∴，（4分） ∴， ∴；（5分） ②∵， ∴四点共圆，如图所示，（6分） ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则，（7分） ∵点为边的三等分点， ∴第一种情况，， 在中，，（8分） 在中，， ∴；（9分） 第二种情况，如图所示，， 同理，，（10分） ∴； 综上所述，点为边的三等分点，线段的长为或．（11分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 9._________________ 10.___________________ 11． __________________ 12．__________________ 13.__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（1）（4分）计算：． （4分）(2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15. （8分） （1）_______ ________ （2） （3） （4） 16.（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.（8分） （1） （2） 18.（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（10分） （1） （2） （3） 19. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （11分） （1） ①_________ ②_________ （2） ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$