精品解析：湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（二）数学试题

长沙市第一中学2025届高考模拟考试（二） 数 学 试 题 命题人：长沙市一中高三数学备课组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边在射线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的正弦值为 B. 若点 满足，则的最小值为 C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D. 点在平面内，且，则点轨迹的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 10. 如图所示，棱长为3的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与 所成的角可能是 C. 是定值 D. 当时，点到平面的距离为2 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等差数列满足，，则__________． 13. 记 内角对边分别为.已知，则______. 14. 对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）证明：对任意的，有； 18. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点 为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， （1）求的值； （2）记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； （3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2025届高考模拟考试（二） 数 学 试 题 命题人：长沙市一中高三数学备课组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算概率 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，点数有6种可能:，其中是偶数的有3种:，概率为， 故选：A． 2. 已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前项积为，且，则使得的的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，求出及，再解不等式得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得， 因此，则， 由，得，又，解得，所以的最小值为10. 故选：D 3. 已知角的终边在射线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，先求出的值，再将展开用表示，代入计算即可． 【详解】在角的终边上任取一点， 故, ． 故选：A． 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的补、交运算求集合. 【详解】由题设或，则， 所以. 故选：C 5. 若函数至少有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 6. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，求函数的零点，确定函数在区间内的取值的正负，由此确定结论. 【详解】有意义可得， 故， 所以或， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 令可得，，所以，故， 所以函数有且仅有一个零点，零点为， 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 又当时，， 所以当时，， 选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在内的函数值为负， 选项C的图象对应的函数有三个零点， 故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求， 故选：D. 7. 将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先依据点被变换成了点，可得且，则或，，再将代入解析式，分类讨论分别求出的值即可求出结果． 【详解】由于点， 因为A被变换成点，且， 则或， 对于函数平移和伸缩变换得到 ， 经过变换后为点， 当时，，代入得， 即或，， 对于， 因为，当时，， 对于， 化简得，时,， 时，， 则可由先向右平移，再纵坐标不变横坐标变为原来的二倍得到， 横坐标为的点向右平移得到的点横坐标为，再乘以2可得， 而，不合题意舍去； 当时，，代入得， 即或 对于，化简得， 因为，当时，， 对于， 化简得 ，， 此时， 综上，所有可能值为和，它们的和为． 故选：A． 8. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（ ） A. 平面与平面夹角的正弦值为 B. 若点满足，则的最小值为 C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D. 点在平面内，且，则点轨迹的长度为 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由图可得平面与平面的夹角为，据此可得答案；对于B，由题可得P在平面MAD上，当平面时，最小，据此可判断选项正误；对于C，要使正方体可以在正四棱锥内部任意转动，则正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，据此可判断选项正误；对于D，如图建立空间直角坐标系，由，结合题意可得点轨迹方程，据此可判断选项正误. 【详解】如图，对于A，∵正四棱锥的棱长为2， ∴正四棱锥的高为， 设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，， 则平面与平面的夹角为，则，故A错误； 对于B，∵，， 根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上， ∴当平面时，最小，此时根据等体积法可求出， 即可求得， 即的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体的体积为， 正方体可以在正四棱锥内部任意转动， 所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为， 根据另一个体积公式，可得， ∴正方体对角线，， ∴正方体表面积，故C正确； 对于D，如图，以A为原点，，所在直线为，轴， 过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则，， 设，∵，∴，即， 化简整理可得， ∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图， 由于， 则点Q的轨迹长度为，故D正确. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，实轴长为， 双曲线的实轴在轴上，实轴长为，所以选项A错误， 对于选项B，双曲线和焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，所以选项C正确， 对于选项D，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 如图所示，棱长为3的正方体中，P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与 所成的角可能是 C. 是定值 D. 当时，点到平面的距离为2 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示计算判断A，利用空间向量法求解异面直线夹角判断B，利用数量积的坐标运算求解判断C，利用点到平面的向量公式计算判断D. 【详解】在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，，， ，， 则，，，， ，设，， 则，， 故，即，故A正确； 若与 所成的角为， 则存在，使得成立， 即， 化简得，即，由，故舍去， 即与 所成的角不可能是，故B错误； ，， 故，故C正确； 当时，有，故， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，令，则有， 则点到平面的距离，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项由不等式性质可得，B选项构造函数，利用函数的单调性可得，C选项应用基本不等式放缩估值可知，D选项由指数函数单调性可得. 【详解】对于选项A：因为，得， 即，所以，即，故选项A正确 对于选项B：构造函数，易知在上单调递增，因为，所以，即，故选项B错误. 对于选项C：由且，则 又，即，所以，故选项C正确. 对于选项D：因为，所以，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等差数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 13. 记内角对边分别为.已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角性质及已知可得，再由余弦定理求边长. 【详解】由，则，即， 所以，则. 故答案为： 14. 对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解. 【详解】不等式对恒成立， 当时，，取，此时，不符合题意， 因此，此时有，即， 当，即时，， 不等式恒成立， 当，即时，令，于是，且， 而时，，即函数在上单调递增，此时， 所以要使不等式恒成立，只需时，即， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，解得，所以a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 女性村民 50 合计 （1）求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； （3）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：. 【答案】（1），管理时间与土地使用面程线性相关. （2）认为村民的性别与参与管理的意愿有关. （3）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据表格数据和公式计算可得，由此可得结论； （2）根据已知数据可得列联表，计算可得，由此可得结论； （3）首先确定从该贫困县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率，可知，由二项分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果. 【小问1详解】 由题知，， ， ， ， ， 则， 故管理时间与土地使用面程线性相关. 【小问2详解】 依题意，完蟙表格如下： 单位：人 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关. 计算可得. 依据的独立性检验，推断不成立，即认为村民的性别与参与管理的意愿有关. 【小问3详解】 法一：依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为 0 1 2 3 则数学期望. 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为 ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）证明：对任意的，有； 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 （3）证明如下： 令， 可得，令， ，，单调递增，， ，，单调递减； ，，单调递增； 所以， 所以， 所以，即得， 所以． 【解析】 【分析】（1）运用导数几何意义求导计算即可；（2）求导，运用导数正负得到单调性，进而得到极值；（3）构造函数，运用导数研究单调性，得到极值最值即可. 【小问1详解】 求导，令，则.且. 运用点斜式，化简得到. 【小问2详解】 因为， 令，则， 又因为，，单调递减； ，，单调递增； 所以的极小值为，无极大值． 【小问3详解】 略 18. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“共轴”曲线．若双曲线与椭圆是“共轴”曲线，且椭圆，（、分别为曲线、的离心率）．已知点，点为双曲线上任意一点． （1）求双曲线的方程； （2）延长线段到点，且，若点Q在椭圆上，试求点P的坐标； （3）若点P在双曲线的右支上，点A、B分别为双曲线的左、右顶点，直线交双曲线的左支于点R，直线、的斜率分别为、．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或 （3）当重合时，； 当不重合时，存在实数，使得. 【解析】 【分析】（1）根据“共轴”曲线定义，直接列式计算可得答案； （2）设，由，可得，代入方程与方程联立，即可求得点P的坐标； （3）讨论当重合时，；不重合时，设出直线的方程为，与双曲线方程联立，消元后利用韦达定理进行消参，进而证明其比值为定值. 【小问1详解】 根据题意双曲线， 因为，解得， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设， 已知，又， 所以， 由点Q在椭圆上，则， 又点为双曲线上任意一点，则， 联立，解得，或， 所以点P的坐标为或或； 【小问3详解】 当重合时，；当不重合时，存在实数，使得，理由如下， 当重合时，由题意，则，则， 当不重合时，，设直线的方程为，， 由得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线交双曲线的左支于点R，右支于点P，所以， 由韦达定理得，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】思路点睛：本题的解题思路是理解题目定义，求出双曲线方程，根据定点位置合理设出直线的方程形式，再利用直线与双曲线的位置关系得到韦达定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判断是否为定值. 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角（为坐标原点）的边长为， （1）求的值； （2）记为数列的前项和，探究与的关系，求的通项公式； （3）是否存在正实数，使得不等式对一切正整数都成？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答. （3）由（2）知，利用累乘法可得，根据作商法判断数列的单调性，结合一元二次不等式恒成立解答即可求解. 【小问1详解】 依题意，为正三角形，且，观察图象得， 而点在曲线上，即，解得， 为正三角形，且， 点在曲线上，， 整理得，解得， 所以，. 【小问2详解】 是正三角形，点，， 于是点在曲线上， 则，即， 当时，，两式相减得：， 整理得， 则，而满足上式，因此， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 所以是递减数列，所以， 所以使得不等式一切正整数都成立， 则，即，所以， 因为正实数，所以取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第3问，关键在于构造函数，利用作商法判断函数的增减性，进而可判断的增减性，从而求得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $