第10章 分式单元梳理 讲义 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

专题4 分式单元梳理 【知识点一】分式的概念 1. 一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 【知识点二】与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【巩固练习】 1．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x=3 2．已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 3．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 4．当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 5．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　） A．350 B．351 C．356 D．358 6．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 7．若分式有意义，则a的取值范围是　　． 8．当x=　　时，分式的值为0． 9．当a=2016时，分式的值是　　． 10．两个正数a，b 满足a2﹣2ab﹣3b2=0，则式子的值为　　． 11．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　　元/千克． 12．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 13．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 14．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 15．已知a，b，c均为非零实数，且满足==，求：的值． 16．已知x2+4x+1=0，且，求t的值． ( K] 参考答案 1 、 【答案】 C 2 、 【答案】 B 3 、 【答案】 D 4 、 【答案】 D 5 、 【答案】 B 6 、 【答案】 B 7 、 【答案】 a ≠ 1 8 、 【答案】 2 9 、 【答案】 2018 5 10 、 【答案】 11 、 【答案】 12 、 【答案】 解：探索：（1）已知等式整理得： = ，即3x + 4=3x + 3 + m， 解得：m=1； 故答案为：1；﹣13 （2）已知等式整理得： = ，即5x﹣3=5x + 10 + m， 解得：m=﹣13； 总结：m=b﹣ac； 故答案为：m=b﹣ac； 应用： = =4 + ， ∵ x为整数且 为整数， ∴ x﹣1= ± 1， ∴ x=2或0． 1 3 、 【答案】 解：（1） ∵ x=6且分式M的值等于4， ∴ 4= + ， 整理得：2= 解得：y=6； ) ( K] 参考答案 （2） ∵ y=4， ∴ M= + 4， 当x=0时，M=4， 当x=2时，M=2， 当x=4时，M=0， 当x=6时，M=6； （3） ∵ x、y均为正整数，使M的值等于2， ∴ 2= + ， ∴ 所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2． 1 4 、 【答案】 解：（1）由A= ，得 =1﹣ = ，2﹣m=1，解得m=1； （2）B= =1﹣ ， ∴ 当a + 4= ± 1时B为整数 a=﹣3，a=﹣5． （3）当a ＞ 0时，A﹣B=﹣ ＜ 0， A ＜ B． 1 5 、 【答案】 解： ∵ = = ， ∴ =1， ∴ = = =1， ∴ a + b﹣c=c，a﹣b + c=b，﹣a + b + c=a， 即a + b=2c，a + c=2b，b + c=2a， ∴ = =8． 1 6 、 【答案】 解： ∵ x 2 + 4x + 1=0， ∴ x + =﹣4， ∴ x 2 + =14 ) 【知识点三】分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 2.分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 【知识点四】分式的约分 1.定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.步骤 把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3.注意 ①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 【知识点五】最简分式 约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 【知识点六】分式的通分 1.通分 把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做通分. 2.最简公分母 通分时取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母. 3.确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 【巩固练习】 1．化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 2．下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（　　） A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍 4．下列分式运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A． B． C． D． 6．若，则=　　． 7．化简=　　． 8．约分=　　． 9．分式，﹣，的最简公分母是　　． 10．若，则的值是　　． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ==1﹣； 再如： ===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是　　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　　． 12．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　　个． 13．约分： （1）； （2）； （3）•． 14．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值 ①等于0？②小于0？ ( K] 参考答案 1 、 【答案】 D 2 、 【答案】 A 3 、 【答案】 B 4 、 【答案】 A 5 、 【答案】 D 6 、 【答案】 7 、 【答案】 8 、 【答案】 9 、 【答案】 12x 2 y 3 10 、 【答案】 6 11 、 【答案】 （1）真；（2）1﹣ ；（3）0，﹣2，2，﹣4． 12 、 【答案】 2 1 3 、 【答案】 解：（1） =﹣ ； （2） = = ； （3） • = • = ． 1 4 、 【答案】 解：（1）原式= ； （2）原式=﹣ ) 【知识点七】分式的加减法 1.同分母分式加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用字母表示为： 2.异分母分式加减法 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后再加减。用字母表示为： 3.整式与分式加减法 可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 【巩固练习】 1．计算的结果为（ ） A．1 B． C． D． 2．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．当分式- 与-经过计算后的结果是-时，则它们进行的运算是（ ） A．分式的加法 B．分式的减法 C．分式的乘法 D．分式的除法 4．、两地相距米，通讯员原计划用时从地到达地，现需提前小时到达，则每小时要多走（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如果，则的值为（ ） A．0 B． C． D． 6．如果，且，那么代数式的值为（ ） A． B． C． D． 7．若，其中，以下分式中一定比大的是（ ） A． B． C． D． 8．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（ ） A．t1＞t2 B．t1 ＜t2 C．t1 =t2 D．以上均有可能 9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”. 小明的做法：原式； 小亮的做法：原式； 小芳的做法：原式． 其中正确的是（ ） A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的 10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+ ）的值为（   ） A．1                               B．0                               C．﹣1                   D．﹣3 11．计算所得的结果是（ ） A． B． C． D． 12．已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 13．当x分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、、、…、、、时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于( ) A．-1 B．1 C．0 D．2019 14．计算的结果是_______. 15．如果 ，那么A=__，B=___； 16．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要___小时． 17．的算术平方根是________. 18．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为_ ． 19．化简：=__． 20．如果x2+3x+1＝0，那么分式的值是__． 21．已知，则的值为________. 22．已知m＞n＞0，分式的分子分母都加上1得到分式，则分式_____．（填“＜、＞或＝”） 23．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算__________． 24．已知均为非零实数，且满足，，，，则的值为____． 25．计算： . 26．化简求值：，其中x＝+2． 27．若且，，比较与的大小. 28．已知，求的值. 29．已知．甲、乙两个同学在的条件下分别计算了和的值．甲说的值比大，乙说的值比大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由． 30．先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝﹣ ① ＝（x﹣1）2﹣x2+3 ② ＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 ③ ＝﹣2x+2．④ 当x＝﹣1时，⑤ 原式＝﹣2×（﹣1）+2⑥ ＝2+2＝4．⑦ 请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程． 31．观察以下等式: 第1个等式:， 第2个等式:， 第3个等式:， 第4个等式:， …… 按照以上规律,解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 32．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，这样的分式是假分式；像，，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整数与真分式的和的形式． 例如：； ； 或 (1)分式是 分式(填“真”或“假”) (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． ( K] 参考答案 1．D2．C3．A4．D5．D6．A7．D8．A9．C10．D11．C12．C13．A14． 15．1 -1 16． 17．0.1． 18．9.63×10 －5 19．1 20．-3 21．0 22．＞ 23． 24．3 25． 26． x ﹣2， ． 27． . 28． 29．解：乙的结论正确． 理由：由 ，可得 ． 因此 ，即 的值比 大 30．第②步错误，原式=﹣ ，当 x =0时，原式=2． 31．（1） ；（2） ， 32．（1）真；（2） ；（3）x=0或2或-1或3 ) 【知识点八】分式的乘除法、乘方运算 1.分式乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。用字母表示为： 2.分式除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用字母表示为： 3.注意分式的乘除法应用关键是理解其法则 ⑴先把除法变为乘法； ⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分； ⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 4.分式乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为： 5.混合运算 注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【巩固练习】 1．化简÷的结果是（　　） A． B． C． D．2（x+1） 2．下列运算结果为x﹣1的是（　　） A．1﹣ B． • C．÷ D． 3．如果a+b=2，那么代数（a﹣）•的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 4．化简（）•ab，其结果是（　　） A． B． C． D． 5．化简的结果是（　　） A． B． C．x+1 D．x﹣1 6．当x=6，y=3时，代数式（）•的值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 7．计算： =　　． 8．若a2+5ab﹣b2=0，则的值为　　． 9．化简：÷=　　． 10．化简：（+）=　　． 11．计算（a﹣）÷的结果是　　． 12．a，b互为倒数，代数式÷（+）的值为　　． 13．化简：（1+）÷． 14．计算：（﹣）． 15．化简：（）． 16．先化简，再求（+）×的值，其中x=3． 17．先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=． 18．有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是； … 对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于． （1）经过探究，我们发现：，，， 设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”； （3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即， 求证：． ( K] 参考答案 ABABAC 5 a a﹣b 1 13. 解：原式= ÷ = • =a﹣1． ) ( K] 参考答案 14. 解：原式= • = • =﹣ ． 15. 解：原式= • = • =1． 16. 解：原式= • = • = ， 当x=3时，原式=1． 17. 解： （ ﹣ ） + = = = ， 当a=2，b= 时，原式= 6 ． 18. 解：（1）由题意知第5个数a= = ﹣ ； （2） ∵ 第n个数为 ，第（n + 1）个数为 ， ∴ + = （ + ）= × = × ) 【知识点九】分式运算的几种技巧 技巧一：先约分后通分技巧 计算 【分析】两个分式均能约分，故先约分后再计算 【解析】原式 技巧二：分离整数技巧 计算 【分析】两个分式的分子、分母不能约分，分离整数方法可使计算化简 【解析】原式= 技巧三：裂项相消技巧 计算 【分析】此类题可利用裂项相消计算 【解析】原式 技巧四：分组计算技巧 计算 【分析】通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为，第二项、第三项分母乘积为，采取分组计算比较简捷 【解析】原式 技巧五：变形技巧 已知，求的值 【分析】将已知两边同除以可变出，然后利用完全平方公式的逆用可求出的值 【解析】由，两边同除以，得 ，即 ∴ 技巧六：倒数法的应用 已知三个数x、y、z满足＝，＝，＝．则的值为　　　　　. 【解析】 由＝，得＝，裂项得＋＝． 同理＋＝，＋＝． 所以，＋＋＋＋＋＝＋＝，＋＋＝． 于是＝＋＋＝，所以＝． 【知识点十】易混、易错问题辨析 1．符号错误 例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正． 错解： 诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号． 正解：． 2．运算顺序错误 例2．计算： 错解：原式=． 诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右． 正解：原式=． 3．错用分式基本性质 例3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数． 错解：原式=． 诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了． 正解：原式=． 4．约分中的错误 例4．约分：． 错解：原式=． 诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式． 正解：原式=． 5．结果不是最简分式 例5．计算：． 错解：原式=． 诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简． 正解：原式=． 6．误用分配律 例6．计算：． 错解：原式=． 诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律． 正解：原式=． 7．忽略分数线的括号作用 例7．计算：． 错解：原式=． 诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用． 正解：原式= 【知识点十一】分式方程 1.分式方程的定义 含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2.解分式方程的步骤 （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）写出原方程的根。 3.增根应满足两个条件 （1）其值应使最简公分母为0； （2）其值应是去分母后所的整式方程的根。 4.分式方程检验方法 将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5.如何由增根求参数的值 （1）将原方程化为整式方程； （2）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值． 6.分式方程无解的原因 （1）解出的整式方程的根是增根； （2）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解． 【巩固练习】 1．下列各式中，分式方程是　（　　）[来源:Z&xx&k.Com] A． B． C． D． 2．解分式方程＝3时，去分母后变形为　（　　） A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3(1－x) ． D．2－(x＋2)＝3(x－1) 3．若代数式的值为零，则x＝_______． 4．分式方程＝3的解是_______． 5．已知x＝3是方程＝1的一个根，则k的值为_______． 6．解方程： (1) (2) [来源:学科网] 7．下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是 ( ) A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1 C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－1 8．分式方程的解是　（　　） A．x＝－2 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 9．关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是　（　　） A．方程的解是x＝m＋5 B．m>－5时，方程的解是正数 C．m<－5时，方程的解为负数 D．无法确定[来源:学科网] 10．方程的解为_______． 11．已知三个数x、y、z满足，则的值为______． 12．解方程： (1) (2) (3) (4) [来源:学科网ZXXK] 13．当x为何值时，分式的值比分式的值大3？ 14．关于x的方程，当k为何值时，会产生增根？ ( K] 参考答案 1．C 　2．D 　 3．3　 4．x＝3 　5．－3　6．(1)解得x＝3　(2)解得x ＝ 7．D 8．D　9．C 10．x＝2　11．－ 4 12．(1)解得x＝－5　(2)解得x＝1．(3)解得x＝1　(4)解得x＝－1　 13． x＝1 　 1 4 ．x＝－1时k＝3 　 ) 【知识点十二】分式方程实际应用题 1.步骤 (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系； (2)设：选择恰当的未知数,注意单位； (3)列：根据等量关系正确列出方程； (4)解：认真仔细； (5)检：不要忘记检验； (6)答：不要忘记写。 设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题 情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础。可多角度思考，借助图形、表格、 式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须进行双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意。 1、营销问题 例题1：“六一”儿童节将至，某玩具店计划购买A型和B型两种玩具进行销售．若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，玩具店购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则B型玩具最少购进多少个？ 2、工程问题 例题2：在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务； （2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？ 3、行程问题 例题3：在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地60千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． （1）若乙先骑行6千米，甲才开始从A地出发，则甲出发1.5小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； （2）若甲、乙同时从A地出发，则乙到达B地比甲晚了40分钟，求甲骑行的速度． 4、顺水逆水问题 例题4：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。 参考答案： 1.解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个， 由题意得：， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的解， ∴B型玩具的进价为10×1.5=15（元/个）， 答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个， （2）设购买B型玩具m个，则购进A型玩具（75-m）个， 根据题意得，（12-10）（75-m）+（20-15）m≥300， 解得：m≥50， 答：最少可购进B型玩具50个． 2.解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务， 依题意，得：， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意， ∴2x=20． 答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务． （2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天， 依题意，得：0.8m+2×≤60， 解得：m≥60． 答：至少应安排乙工程队清淤60天． 3.解：（1）设乙的速度为x km/h,则甲的速度为1.2x km/h, 由题意可得：1.5×1.2x=1.5x+6， 解得x=20， ∴1.2x=24． 答：甲骑行的速度为24km/h； （2）设乙的速度为y km/h,则甲的速度为1.2y km/h,40分钟=小时， 由题意可得：， 解得y=15， 经检验，y=15是原方程的解，且符合题意， ∴1.2y=18， 答：甲骑行的速度为18km/h. 4.解： 设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为（x+2）千米／时，逆水航行速度为（x-2）千米／时，依题意，得 ， 解得x=10． 经检验，x=10是所列方程的根． 即船在静水中的速度是10千米／时． 【巩固练习】 1．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米／小时，依题意列方程正确的是 ( ) A． B． C． D．[来源:Z,xx,k.Com] 2．某工厂生产，种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 ( ) A． B． C． D． 3．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程_______． 4．小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六·一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售，这样，小明比原计划多买了6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列方程为_______． 5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产_______台机器． 6．在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵？ 7．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是　　( ) A． B． C． D． 8．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米／时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米／时，则下面列出的方程中正确的是 ( )[来源:学§科§网Z§X§X§K] A． B． [来源:学|科|网Z|X|X|K] C．　 D． 9．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中，设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为 ( ) A． B． C． D． 10．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x千米／时，根据题意列方程为_______． 11．2012年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数；条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_______元． 12．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ [来源:学科网ZXXK] 13．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．[来源:学。科。网] (1)篮球与足球的单价各是多少元？ (2)该校打算用1000元购进篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？ ( K] 参考答案 1．C　2．A　3． 　4． 　5．200 6．20棵 7．B　8．A　9．B　10． 　11．2200 12．10米． 13． (1) 篮球和足球的单价分别为100元、60元；(2)有3种购买方案：方案(1)购买篮球7个，足球5个；方案(2)购买篮球4个，足球10个；方案(3)购买篮球1个，足球15个． ) 【知识点十三】分式方程有增根、无解、正负解问题 无解和有增根的区别与联系 有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值 无解：分式方程有增根；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 类型一：已知分式方程有增根，求字母系数的值 1.解答此类问题必须明确增根的意义： （1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 2.解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 例1. 使关于x的方程产生增根的a的值是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 与a无关 例2. 若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 例3. 若关于x的方程有增根，则a的值为__________。 例4. 关于x的方程会产生增根，求k的值。 例5. 当k为何值时，解关于x的方程：只有增根x=1。 类型二：已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 例6. 当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程只有一个实数根。 例7. 当m为何值时，关于x的方程无实根？ 例8. 已知关于x的方程有实数根，求m的取值范围。 类型三：已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围 解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程； （2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围； （3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。 例9. 当a取何值时，解关于x的方程：无增根？ 类型四：已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围 解答此类题的基本思路是： （1）求出已知方程的根； （2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 例10. 已知关于x的方程的根大于0，求a的取值范围。 例11. 已知关于x的方程的根小于0，求k的取值范围。 参考答案： 例题1：解：去分母并整理，得： 因为原方程的增根为x=2，把x=2代入<1>，得a2=4 所以 故应选C。 例题2：解：去分母并整理，得： 又原方程的增根是x=0或，把x=0或x=－1分别代入<1>式，得： m=2或m=1 故应选C。 例题3：解：原方程可化为： 又原方程的增根是，把代入<1>，得： 故应填“”。 例题4：解：原方程可化为： 又原方程的增根为x=3，把x=3代入<1>，得： k=3 例题5：解：原方程可化为： 把x=1代入<1>，得k=3 所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1。 例题6：解：原方程可化为： 要原方程只有一个实数根，有下面两种情况： （1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为，符合题意。 （2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由，得k>－1。又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入<1>得k=0，或k=3，均符合题意。 综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。 例题7：解：原方程可化为： 要原方程无实根，有下面两种情况： （1）方程<1>无实数根，由，得； （2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入<1>得m=2。 综上所述：当或当m=2时，所给方程无实数解。 例题8：解：原方程化为： 要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。 （1）当m=0时，有x=1，显然x=1是原方程的增根，所以m=0应舍去。 （2）当时，由，得。 又原方程的增根为x=0或x=1，当x=0时，方程<1>不成立；当。 综上所述：当且时，所给方程有实数根。 例题9：解：原方程可化为： 又原方程的增根为x=2或，把x=2或分别代入<1>得： 或 又由知，a可以取任何实数。 所以，当且时，解所给方程无增根。 例题10：解：原方程可化为： 所以 由题意，得： 且 所以且 例题11：解：原方程可化为： 所以 由题意，得： 所以 【巩固练习】 1. 关于x的分式方程有增根，则增根为（　　） A. x=1 B. x=－1 C. x=3 D. x=－3 2. 若分式方程有增根，则它的增根是（　　） 　 A. 1 B. 2或－2 C. －2 D. 2 3. 若方程有增根，则增根可能是（　　） 　 A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 1 4. 若解关于x的方程有增根x=－1，则a的值为（　　） 　 A. 3 B. －3 C. 3或1 D. －3或－1 5. 下列关于分式方程增根的说法，正确的是（　　） 　 A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 B. 分式方程的解为零就是增根 　 C. 使分子的值为零的解就是增根 D. 使最简公分母的值为零的解是增根 6. 关于x的方程产生增根，则m的值及增根x的值分别为（　　） 　 A. m=－1，x=－3 B. m=1，x=－3 C. m=－1，x=3 D. m=1，x=3 7. 若关于x的方程有增根，则a的值为____________。 8. 若分式方程有增根，则这个增根是____________。 9. 若方程有增根x=2，则m=____________。 10. 若关于x的方程有增根，试解关于y的不等式5（y－2）≤28+k+2y。 11. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程有增根。 探究2：m为何值时，方程的根是－1。 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根。 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是　_________　。 12. 李明在解关于x的方程时，把m的值看错了。解方程产生了增根，请你指出李明把m看成了几？为什么？ 参考答案： 1. A 解：方程两边都乘（x－1），得7+3（x－1）=m， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x－1=0， 解得x=1， 当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意。 2. C 解：由题意得x2－4=0时，原方程有增根。 解得x=2或－2， 原方程化为整式方程为：3=（x－1+m）（x－2） 当x=2时，右边为0，所以不能是2， 当x=－2时，左边可能等于右边。 3. C 解：分式方程， 最简公分母x（x－2）， 去分母得：4－x2=0， 整理得：x2=4， 解得：x=±2， 把x=2代入x（x－2）=0， 则x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解为－2。 4. B 解：方程两边都乘以x（x+1）得：3（x+1）+（ax－3）x=2x（x+1），① 把x=－1代入①得：3（－1+1）+（－a－3）=2×（－1）（－1+1）， 解得：a=－3。 5. D 解：分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解。 6. A 解：方程两边都乘（x+3），得 x+2=m ∵方程有增根， ∴最简公分母x+3=0，即增根是x=－3， 把x=－3代入整式方程，得m=－1。 7. －1 解：方程两边都乘（x－1），得 ax+1－（x－1）=0， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x－1=0，即增根为x=1， 把x=1代入整式方程，得a=－1。 8. x=1 解：根据分式方程有增根，得到x－1=0，即x=1， 则方程的增根为x=1。 9. －6 解：方程两边都乘（x+2）（x－2），得 x－m－x（x+2）=2（x+2）（x－2） ∵原方程增根为x=2， ∴把x=2代入整式方程，得m=－6。 10. 解：方程两边都乘（x－3），得 k+2x－6=4－x， ∵方程有增根， ∴最简公分母x－3=0，即增根是x=3， 把x=3代入整式方程，得k=1。 把k=1代入不等式5（y－2）≤28+k+2y得， 5（y－2）≤28+1+2y， 解得y≤13。 11. 解：探究1：方程两边都乘以（x－3）， 得3x+5（x－3）=－m ∵原方程有增根， ∴最简公分母x－3=0， 解得x=3， 当x=3时，m=－9， 故m的值是－9。 探究2：方程两边都乘以（x－3）， 得3x+5（x－3）=－m ∵原方程的根为x=－1， ∴m=23， 探究3：由（1）（2）得x=， 方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c， 即可得出对应的m，m1=15－8a，m2=15－8b，m3=15－8c， 探究4：∵a+b=c， ∴ 整理得m3=m1+m2－15。 12. 解：把m看成了－6或－14， 理由是： 去分母得：x（x+2）－（x+m）=2x（x－2）， x2－5x+m=0①， ∵有增根， ∴x+2=0，x－2=0， ∴x=2或－2， 当x=2时，代入①得：4－10+m=0， 解得：m=6； 当x=－2时，代入①得：4+10+m=0， 解得：m=－14； 即m=6或－14。 ( 第 1 页 共 42 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 分式单元梳理 【知识点一】分式的概念 1. 一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式 【知识点二】与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【巩固练习】 1．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x=3 2．已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 3．已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 4．当x=6，y=﹣2时，代数式的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 5．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　） A．350 B．351 C．356 D．358 6．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 7．若分式有意义，则a的取值范围是　　． 8．当x=　　时，分式的值为0． 9．当a=2016时，分式的值是　　． 10．两个正数a，b 满足a2﹣2ab﹣3b2=0，则式子的值为　　． 11．某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是　　元/千克． 12．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 13．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 14．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 15．已知a，b，c均为非零实数，且满足==，求：的值． 16．已知x2+4x+1=0，且，求t的值． 【知识点三】分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 2.分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 【知识点四】分式的约分 1.定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2.步骤 把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3.注意 ①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 【知识点五】最简分式 约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 【知识点六】分式的通分 1.通分 把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做通分. 2.最简公分母 通分时取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母. 3.确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 【巩固练习】 1．化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 2．下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 3．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（　　） A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍 4．下列分式运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　） A． B． C． D． 6．若，则=　　． 7．化简=　　． 8．约分=　　． 9．分式，﹣，的最简公分母是　　． 10．若，则的值是　　． 11．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ==2+=2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： ==1﹣； 再如： ===x+1+． 解决下列问题： （1）分式是　　分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）假分式可化为带分式　　的形式； （3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　　． 12．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有　　个． 13．约分： （1）； （2）； （3）•． 14．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值 ①等于0？②小于0？ 【知识点七】分式的加减法 1.同分母分式加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用字母表示为： 2.异分母分式加减法 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后再加减。用字母表示为： 3.整式与分式加减法 可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 【巩固练习】 1．计算的结果为（ ） A．1 B． C． D． 2．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．当分式- 与-经过计算后的结果是-时，则它们进行的运算是（ ） A．分式的加法 B．分式的减法 C．分式的乘法 D．分式的除法 4．、两地相距米，通讯员原计划用时从地到达地，现需提前小时到达，则每小时要多走（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如果，则的值为（ ） A．0 B． C． D． 6．如果，且，那么代数式的值为（ ） A． B． C． D． 7．若，其中，以下分式中一定比大的是（ ） A． B． C． D． 8．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t2，则t1与t2的关系是（ ） A．t1＞t2 B．t1 ＜t2 C．t1 =t2 D．以上均有可能 9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：”. 小明的做法：原式； 小亮的做法：原式； 小芳的做法：原式． 其中正确的是（ ） A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的 10．若a+b+c=0，且abc≠0，则a（+）+b（+）+c（+ ）的值为（   ） A．1                               B．0                               C．﹣1                   D．﹣3 11．计算所得的结果是（ ） A． B． C． D． 12．已知，则A的取值是 A．-3 B．3 C．-6 D．6 13．当x分别取-2019、-2018、-2017、…、-2、-1、0、1、、、…、、、时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于( ) A．-1 B．1 C．0 D．2019 14．计算的结果是_______. 15．如果 ，那么A=__，B=___； 16．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要___小时． 17．的算术平方根是________. 18．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为_ ． 19．化简：=__． 20．如果x2+3x+1＝0，那么分式的值是__． 21．已知，则的值为________. 22．已知m＞n＞0，分式的分子分母都加上1得到分式，则分式_____．（填“＜、＞或＝”） 23．读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算__________． 24．已知均为非零实数，且满足，，，，则的值为____． 25．计算： . 26．化简求值：，其中x＝+2． 27．若且，，比较与的大小. 28．已知，求的值. 29．已知．甲、乙两个同学在的条件下分别计算了和的值．甲说的值比大，乙说的值比大．请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由． 30．先化简，再求值：，其中|x|≤1，且x为整数． 小海同学的解法如下： 解：原式＝﹣ ① ＝（x﹣1）2﹣x2+3 ② ＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3 ③ ＝﹣2x+2．④ 当x＝﹣1时，⑤ 原式＝﹣2×（﹣1）+2⑥ ＝2+2＝4．⑦ 请指出他解答过程中的错误（写出相应的序号，多写不给分），并写出正确的解答过程． 31．观察以下等式: 第1个等式:， 第2个等式:， 第3个等式:， 第4个等式:， …… 按照以上规律,解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 32．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，这样的分式是假分式；像，，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整数与真分式的和的形式． 例如：； ； 或 (1)分式是 分式(填“真”或“假”) (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【知识点八】分式的乘除法、乘方运算 1.分式乘法法则 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。用字母表示为： 2.分式除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用字母表示为： 3.注意分式的乘除法应用关键是理解其法则 ⑴先把除法变为乘法； ⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分； ⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 4.分式乘方法则 分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为： 5.混合运算 注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【巩固练习】 1．化简÷的结果是（　　） A． B． C． D．2（x+1） 2．下列运算结果为x﹣1的是（　　） A．1﹣ B． • C．÷ D． 3．如果a+b=2，那么代数（a﹣）•的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 4．化简（）•ab，其结果是（　　） A． B． C． D． 5．化简的结果是（　　） A． B． C．x+1 D．x﹣1 6．当x=6，y=3时，代数式（）•的值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 7．计算： =　　． 8．若a2+5ab﹣b2=0，则的值为　　． 9．化简：÷=　　． 10．化简：（+）=　　． 11．计算（a﹣）÷的结果是　　． 12．a，b互为倒数，代数式÷（+）的值为　　． 13．化简：（1+）÷． 14．计算：（﹣）． 15．化简：（）． 16．先化简，再求（+）×的值，其中x=3． 17．先化简，再求值：（﹣）+，其中a=2，b=． 18．有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是； 第二个数是； 第三个数是； … 对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于． （1）经过探究，我们发现：，，， 设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”； （3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即， 求证：． 【知识点九】分式运算的几种技巧 技巧一：先约分后通分技巧 计算 技巧二：分离整数技巧 计算 技巧三：裂项相消技巧 计算 技巧四：分组计算技巧 计算 技巧五：变形技巧 已知，求的值 技巧六：倒数法的应用 已知三个数x、y、z满足＝，＝，＝．则的值为　　　　　. 【知识点十】易混、易错问题辨析 1．符号错误 例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正． 2．运算顺序错误 例2．计算： 3．错用分式基本性质 例3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数． 4．约分中的错误 例4．约分：． 5．结果不是最简分式 例5．计算：． 6．误用分配律 例6．计算：． 7．忽略分数线的括号作用 例7．计算：． 【知识点十一】分式方程 1.分式方程的定义 含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 2.解分式方程的步骤 （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）写出原方程的根。 3.增根应满足两个条件 （1）其值应使最简公分母为0； （2）其值应是去分母后所的整式方程的根。 4.分式方程检验方法 将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 5.如何由增根求参数的值 （1）将原方程化为整式方程； （2）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值． 6.分式方程无解的原因 （1）解出的整式方程的根是增根； （2）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解． 【巩固练习】 1．下列各式中，分式方程是　（　　）[来源:Z&xx&k.Com] A． B． C． D． 2．解分式方程＝3时，去分母后变形为　（　　） A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3(1－x) ． D．2－(x＋2)＝3(x－1) 3．若代数式的值为零，则x＝_______． 4．分式方程＝3的解是_______． 5．已知x＝3是方程＝1的一个根，则k的值为_______． 6．解方程： (1) (2) [来源:学科网] 7．下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是 ( ) A．2＋x＝x－1 B．2－x＝1 C．2＋x＝1－x D．2－x＝x－1 8．分式方程的解是　（　　） A．x＝－2 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 9．关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是　（　　） A．方程的解是x＝m＋5 B．m>－5时，方程的解是正数 C．m<－5时，方程的解为负数 D．无法确定[来源:学科网] 10．方程的解为_______． 11．已知三个数x、y、z满足，则的值为______． 12．解方程： (1) (2) (3) (4) [来源:学科网ZXXK] 13．当x为何值时，分式的值比分式的值大3？ 14．关于x的方程，当k为何值时，会产生增根？ 【知识点十二】分式方程实际应用题 1.步骤 (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系； (2)设：选择恰当的未知数,注意单位； (3)列：根据等量关系正确列出方程； (4)解：认真仔细； (5)检：不要忘记检验； (6)答：不要忘记写。 设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题 情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础。可多角度思考，借助图形、表格、 式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须进行双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意。 1、营销问题 例题1：“六一”儿童节将至，某玩具店计划购买A型和B型两种玩具进行销售．若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，玩具店购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则B型玩具最少购进多少个？ 2、工程问题 例题2：在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天． （1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务； （2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？ 3、行程问题 例题3：在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地60千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍． （1）若乙先骑行6千米，甲才开始从A地出发，则甲出发1.5小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； （2）若甲、乙同时从A地出发，则乙到达B地比甲晚了40分钟，求甲骑行的速度． 4、顺水逆水问题 例题4：轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。 【巩固练习】 1．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米／小时，依题意列方程正确的是 ( ) A． B． C． D．[来源:Z,xx,k.Com] 2．某工厂生产，种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个，设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 ( ) A． B． C． D． 3．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程_______． 4．小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六·一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售，这样，小明比原计划多买了6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列方程为_______． 5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产_______台机器． 6．在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵？ 7．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是　　( ) A． B． C． D． 8．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米／时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米／时，则下面列出的方程中正确的是 ( )[来源:学§科§网Z§X§X§K] A． B． [来源:学|科|网Z|X|X|K] C．　 D． 9．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中，设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为 ( ) A． B． C． D． 10．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x千米／时，根据题意列方程为_______． 11．2012年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数；条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为_______元． 12．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？ [来源:学科网ZXXK] 13．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．[来源:学。科。网] (1)篮球与足球的单价各是多少元？ (2)该校打算用1000元购进篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买的购买方案有哪几种？ 【知识点十三】分式方程有增根、无解、正负解问题 无解和有增根的区别与联系 有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值 无解：分式方程有增根；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 类型一：已知分式方程有增根，求字母系数的值 1.解答此类问题必须明确增根的意义： （1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 （2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。 2.解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 例1. 使关于x的方程产生增根的a的值是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 与a无关 例2. 若解分式方程产生增根，则m的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 例3. 若关于x的方程有增根，则a的值为__________。 例4. 关于x的方程会产生增根，求k的值。 例5. 当k为何值时，解关于x的方程：只有增根x=1。 类型二：已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 例6. 当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程只有一个实数根。 例7. 当m为何值时，关于x的方程无实根？ 例8. 已知关于x的方程有实数根，求m的取值范围。 类型三：已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围 解答此类问题的基本思路是： （1）将已知方程化为整式方程； （2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围； （3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。 例9. 当a取何值时，解关于x的方程：无增根？ 类型四：已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围 解答此类题的基本思路是： （1）求出已知方程的根； （2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。 例10. 已知关于x的方程的根大于0，求a的取值范围。 例11. 已知关于x的方程的根小于0，求k的取值范围。 【巩固练习】 1. 关于x的分式方程有增根，则增根为（　　） A. x=1 B. x=－1 C. x=3 D. x=－3 2. 若分式方程有增根，则它的增根是（　　） 　 A. 1 B. 2或－2 C. －2 D. 2 3. 若方程有增根，则增根可能是（　　） 　 A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 1 4. 若解关于x的方程有增根x=－1，则a的值为（　　） 　 A. 3 B. －3 C. 3或1 D. －3或－1 5. 下列关于分式方程增根的说法，正确的是（　　） 　 A. 使所有的分母的值都为零的解是增根 B. 分式方程的解为零就是增根 　 C. 使分子的值为零的解就是增根 D. 使最简公分母的值为零的解是增根 6. 关于x的方程产生增根，则m的值及增根x的值分别为（　　） 　 A. m=－1，x=－3 B. m=1，x=－3 C. m=－1，x=3 D. m=1，x=3 7. 若关于x的方程有增根，则a的值为____________。 8. 若分式方程有增根，则这个增根是____________。 9. 若方程有增根x=2，则m=____________。 10. 若关于x的方程有增根，试解关于y的不等式5（y－2）≤28+k+2y。 11. 增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程有增根。 探究2：m为何值时，方程的根是－1。 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根。 探究4：你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3的关系是　_________　。 12. 李明在解关于x的方程时，把m的值看错了。解方程产生了增根，请你指出李明把m看成了几？为什么？ ( 第 1 页 共 42 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$