期末复习讲义——分式方程实际应用四种模型全攻略 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习——分式方程实际应用四种模型全攻略 【考点一 利润问题】 ( 典型例题 ) 例题1：（2025•锦州一模）为提升游客在景区内参观游览的便利性，某景区计划购进A，B两种型号的观光车．已知A型观光车的单价是B型观光车单价的1.5倍，用45万元购进A型观光车的数量比用40万元购进B型观光车的数量少5辆． （1）A型和B型观光车的单价各是多少万元？ （2）该景区决定用不多于130万元的资金购进A型和B型观光车共50辆，最多可以购买多少辆A型观光车？ 例题2：（2025春•成都期中）“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，恰逢我市蒲江县2025年樱桃节，某水果商城为了了解两种樱桃品质，购进了一批数量相等的“大樱桃”和“小樱桃”供客户对比品尝，其中购买“大樱桃”用了900元，购买“小樱桃”用了500元，已知每千克“大樱桃”进价比每千克“小樱桃”贵8元． （1）求每千克“大樱桃”和“小樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再购买同种“大樱桃”和“小樱桃”共600千克，再次购买的费用不超过10000元，并且购进“大樱桃”的质量不低于“小樱桃”的两倍．若“大樱桃”的销售单价为30元/千克，“小樱桃”的销售单价为18元/千克，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“大樱桃”和“小樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ ( 巩固练习 ) 1．（2025春•历城区期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 2．（2025春•安溪县期中）清溪中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．原计划投资800元购买菜苗，由于市场价格上涨，每株菜苗的价格比原计划上涨了1元，为了完成种植计划，学校追加投资400元，与原计划购买的菜苗数量相等．求原计划每株菜苗的价格是多少元？ 3．（2025春•老城区期中）截止2025年4月3日，《哪吒之魔童闹海》总票房达155.4亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用500元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共30个． （1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 4．（2025春•万州区期中）【原创】为丰富同学们的课余生活，全面响应中小学生每天体育锻炼不低于2小时的要求，促进学生身心健康，培养学生德智体美劳全面发展，万州高级中学于3月21日﹣3月23日隆重举办了为期三天的第47届田径运动会．周边商店在运动会开始前抓住商机，购进了一批开幕式道具祥云彩带和佩奇小喇叭进行销售，已知每个祥云彩带的进价比每个佩奇小喇叭的进价少10元，且用480元购进祥云彩带的副数是用同样金额购进佩奇小喇叭个数的6倍． （1）求每副祥云彩带和每个佩奇小喇叭的进价分别是多少？ （2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进300副祥云彩带和200个佩奇小喇叭，已知祥云彩带售价为6元一副，佩奇小喇叭售价为20元一个，销售一段时间后，祥云彩带全部卖完，佩奇小喇叭售出了总数的．为了清仓，该店老板对剩下的佩奇小喇叭进行打折销售，并很快全部售出，求商店最多打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%？ 5．（2025•镇平县模拟）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格； （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 6．（2025•山东模拟）某商场用3000元购进一批商品，售完后，第二次购进这种商品时，每件的进价提高了20%，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件． （1）求该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格； （2）若该商场两次购进的商品售价均为70元，且全部售完，求两次售出这种商品的总利润． 7．（2025春•雁塔区校级期中）端午节是中国的传统节日之一，端午节主要有包粽子、赛龙舟、挂艾草、佩香囊等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋．甲种粽子的每袋价格是乙种粽子每袋价格的1.2倍． （1）求甲、乙两种粽子每袋的价格； （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共120袋．若总金额不超过1300元，最多购进多少袋甲种粽子？ 8．（2025春•沙坪坝区校级期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为300千克，奇异果的进价是芒果进价的1.2倍，奇异果的进货费用为1800元，芒果的进货费用为1500元． （1）求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批奇异果全部按25元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的80%按20元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于3360元，则芒果最多降价多少元？ 【考点二 工程问题】 ( 典型例题 ) 例题3：（2025•文山州二模）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖50千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？ 例题4：（2025春•上海期中）有一项工程，甲、乙两工程队合作24天可完成．若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天也恰好完成．求原来甲和乙单独完成这项工程各需多少天？ ( 巩固练习 ) 9．（2025•让胡路区模拟）长春冰雪新天地是美丽春城的一道亮丽的风影线，它的设计和造型每年都有变化．在2025年长春冰雪新天地的建造过程中，某工程公司承担了为某项建设取720吨冰块的任务，由于任务紧急，实际取冰时的工作效率比原计划提高了20%，结果提前1天完成任务，该公司原计划每天取冰块多少吨？ 10．（2025春•杨浦区期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 11．（2025•大庆一模）一个地铁工程全长23.11千米，该项工程使用我国自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长1200米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了20%，打通这段路段比正常路段施工多用了30天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米． 12．（2025•江西模拟）一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话： 如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积． 13．（2025•东营校级一模）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？ （2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？ 14．（2025春•长寿区校级期中）为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段1700米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的施工量比乙工程队每月的施工量多100米． （1）甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ （2）在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用8个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是500万元，已知乙工程队的总施工费用为150万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 15．（2025•南京模拟）某地要筑一水坝，需要在规定日期内完成，如果由甲队去做，恰好如期完成；如果由乙队去做，则需超过规定日期3天．现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队独做，恰好在规定日期内完成．求规定的日期． 16．（2025•甘井子区一模）某工程队计划在12天内修路8km，施工4天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路0.4km． （1）若该工程队恰好工作12天完成修路任务，求原来每天修路多少km？ （2）若该工程队使用新设备又施工2天后，计划发生变化，准备至少比计划提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少km？ 【考点三 行程问题】 ( 典型例题 ) 例题5：（2025•本溪一模）从沈阳站到大连北站铁路里程约为520千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． （1）求高铁的平均速度； （2）沈阳市某校共有30名师生前往大连参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为180元，学校预计提供交通补助费单程不超过6000元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 例题6：（2025•玉溪一模）2024年10月5日，主题为“跃动玉溪•前进前进”的2024玉溪马拉松在玉溪市红塔区聂耳音乐广场开跑，来自各地的10560名马拉松选手在聂耳的故乡与风竞速，用汗水浇灌梦想的种子，感受这座城市的活力脉动，体验滇中明珠的独特魅力．小许参加了这次马拉松比赛，全程42千米，小许出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前小时到达终点，求小许原计划的平均速度是多少？ ( 巩固练习 ) 17．（2025春•奉贤区期中）杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 18．（2025春•浦东新区期中）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速． 19．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． （1）若水流速度为每小时5千米．这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． （2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米（）.设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 20．（2025•铜山区一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择； 路线1：全程35km，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程50km，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，求走路线1到达B地所需的时间． 21．（2025•电白区一模）体育中考足球绕杆运球项目的规则如下：如图所示，从起点A开始计时，沿规定路线A→B→C→…→L运球绕杆跑，以人、球都过终点为标准停止计时，每位考生有两次机会．假设这条路线的总路程为30米，考生乙的平均速度是考生甲的平均速度的1.25倍．如考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，分别求两位考生的平均速度． 22．（2025•市南区一模）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，则无人机的速度至少要提到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 23．（2025•西城区校级模拟）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，在某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向机动车道，其中AB段长6米，比BC段少1米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.4倍，求小明通过AB时的速度． 24．（2025•偏关县一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯”．据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆通过该路段的平均速度提高了50%，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 【考点四 方案问题】 ( 典型例题 ) 例题7：（2025春•碑林区校级期中）为响应国家教育部号召，多地陆续将中小学课间从10分钟延长至15分钟，让孩子们在阳光下多奔跑、多运动，让孩子们身上有汗，眼中有光．某校组织学生进行利用课间进行“阳光跳绳”活动．据调查，孩子们的跳绳价格主要集中在A类和B类两种，且A类比B类的单价贵10元，已知用450元购买的A类跳绳条数与用350元购买的B类跳绳条数相等，现准备同时购买A、B两类跳绳． （1）请问A类、B类跳绳单价各多少元？（列分式方程求解） （2）若准备购进A、B两类跳绳共计20条，总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 例题8：（2025春•罗湖区校级期中）根据以下素材，探索完成任务． 为落实《健康中国行动（2019﹣2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 素材1 某体育器材店每个足球的价格比排球的价格多20元，用320元购买的排球数量与400元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 （1）请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 （2）运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球共有几种购买方案，其中最少费用是多少元？ ( 巩固练习 ) 25．（2025•乐陵市一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：x元/个 单价：1.5x元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 26．（2025•南山区二模）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同． （1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元． （2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？ 27．（2025•湘潭模拟）2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 28．（2025•成都校级模拟）为了让学生充分了解古蜀文明的发展过程，增加民族自豪感，某校九年级全体师生去往三星堆博物馆研学．三星堆博物馆设计了A，B两种冰箱贴，已知A种冰箱贴的单价比B种冰箱贴的单价贵3元，用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同． （1）求A，B两种冰箱贴的单价分别是多少元？ （2）该校计划购买A，B两种冰箱贴共120个来作为三星堆知识问答挑战的奖品，现要求A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275元的情况下，有几种购买方案？如何购买总费用最少？ 29．（2025•长汀县一模）百合花是南平市花．某校为了丰富学生的校园生活，准备购进黄色和粉色两种百合．其中粉色百合一盆的价格比黄色百合一盆的价格少20元，用1200元购进的黄色百合的盆数和用900元购进的粉色百合的盆数相等． （1）求黄色百合和粉色百合一盆的价格分别是多少； （2）该校计划用800元购买黄色百合和粉色百合，且两种百合都必须购买，请问恰好用完800元的购买方案有哪几种？ 30．（2025春•长沙期中）某超市准备购买A、B两种伴手礼送给当天进店购物的顾客．购买1个A种礼品比购买1个B种礼品多花10元，并且花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等． （1）购买一个A种礼品和一个B种礼品各需要多少元？ （2）该超市准备购买A、B两种礼品共90个，若A种礼品的数量不少于B种礼品数量的3倍，并且购买A、B两种礼品的总费用不高于1140元，则该超市有哪几种购买方案？ 31．（2025春•玄武区校级期中）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元．用2000元购进A品种柑橘礼盒数与用2500元购进B品种柑橘礼盒数相同． （1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 32．（2025•青秀区校级开学）某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣50%的快递．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． （1）两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ （2）“6•18”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案． 参考答案 【考点一 利润问题】 ( 典型例题 ) 例题1：【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元； （2）最多可以购买30辆A型观光车． 【分析】（1）设B型观光车的单价为x万元，则A型观光车的单价为1.5x万元，利用数量＝总价÷单价，结合用45万元购进A型观光车的数量比用40万元购进B型观光车的数量少5辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型观光车的单价），再将其代入1.5x中，即可求出A型观光车的单价； （2）设购买A型观光车m辆，则购买B型观光车（50﹣m）辆，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过130万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设B型观光车的单价为x万元，则A型观光车的单价为1.5x万元， 根据题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×2＝3（万元）． 答：A型观光车的单价为3万元，B型观光车的单价为2万元； （2）设购买A型观光车m辆，则购买B型观光车（50﹣m）辆， 根据题意得：3m+2（50﹣m）≤130， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：最多可以购买30辆A型观光车． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 例题2：【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）每千克“大樱桃”的进价是18元，每千克“小樱桃”的进价是10元； （2）当购进500千克“大樱桃”，100千克“小樱桃”时，第二批的“大樱桃”和“小樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是6800元． 【分析】（1）设每千克“小樱桃”的进价是x元，则每千克“大樱桃”的进价是（x+8）元，利用购进数量＝进货总价÷进货单价，结合用900元购进“大樱桃”的数量和用500元购进“小樱桃”的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每千克“小樱桃”的进价），再将其代入（x+8）中，即可求出每千克“大樱桃”的进价； （2）设再次购进m千克“大樱桃”，则再次购进（600﹣m）千克“小樱桃”，根据再次购买的费用不超过10000元且购进“大樱桃”的质量不低于“小樱桃”的两倍，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设该水果商购进的第二批“大樱桃”和“小樱桃”售完后获得的利润为w元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每千克“小樱桃”的进价是x元，则每千克“大樱桃”的进价是（x+8）元， 根据题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴x+8＝10+8＝18（元）． 答：每千克“大樱桃”的进价是18元，每千克“小樱桃”的进价是10元； （2）设再次购进m千克“大樱桃”，则再次购进（600﹣m）千克“小樱桃”， 根据题意得：， 解得：400≤m≤500， 设该水果商购进的第二批“大樱桃”和“小樱桃”售完后获得的利润为w元，则w＝（30﹣18）m+（18﹣10）（600﹣m）， 即w＝4m+4800， ∵4＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝500时，w取得最大值，最大值为4×500+4800＝6800（元），此时600﹣m＝600﹣500＝100（千克）． 答：当购进500千克“大樱桃”，100千克“小樱桃”时，第二批的“大樱桃”和“小樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是6800元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． ( 巩固练习 ) 1．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元； （2）当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 【分析】（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即航空模型的单价），再将其代入（x﹣35）中，即可求出航海模型的单价； （2）设购买航空模型m个，则购买航海模型（120﹣m）个，根据购买航空模型数量不少于航海模型数量的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校购买两种模型共花费w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为（x﹣35）元， 根据题意得：， 解得：x＝125， 经检验，x＝125是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣35＝125﹣35＝90（元）． 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元； （2）设购买航空模型m个，则购买航海模型（120﹣m）个， 根据题意得：m（120﹣m）， 解得：m≥40， 设学校购买两种模型共花费w元，则w＝125×0.8m+90（120﹣m）， 即w＝10m+10800， ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝40时，w取得最小值，最小值为10×40+10800＝11200（元），此时120﹣m＝120﹣40＝80（个）． 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 2．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】原计划每株菜苗的价格是2元． 【分析】设原计划每株菜苗的价格是x元，根据原计划投资800元购买菜苗，由于市场价格上涨，每株菜苗的价格比原计划上涨了1元，为了完成种植计划，学校追加投资400元，列方程即可得到结论． 【解答】解：设原计划每株菜苗的价格是x元，根据题意，得 解得：x＝2， 经检验，x＝2 是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每株菜苗的价格是2元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确地理解题意，列出方程是解题的关键． 3．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）A种玩偶的单价是25元，B种玩偶的单价是50元； （2）此次购进至少要花2675元钱． 【分析】（1）设A种玩偶的单价是x元，则B种玩偶的单价是2x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共30个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A种玩偶的单价），再将其代入2x中，即可求出B种玩偶的单价； （2）设购进m个A种哪吒玩偶，则购进（80﹣m）个B种哪吒玩偶，根据A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A种玩偶的单价是x元，则B种玩偶的单价是2x元， 根据题意得：30， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×25＝50（元）． 答：A种玩偶的单价是25元，B种玩偶的单价是50元； （2）设购进m个A种哪吒玩偶，则购进（80﹣m）个B种哪吒玩偶， 根据题意得：m≤2（80﹣m）， 解得：m， 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，则w＝25m+50（80﹣m）， 即w＝﹣25m+4000， ∵﹣25＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝53时，w取得最小值，最小值为﹣25×53+4000＝2675（元）． 答：此次购进至少要花2675元钱． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 4．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）每副祥云彩带的进价是2元，则每个佩奇小喇叭的进价是12元； （2）商店最多打9折可以使得这批货的总利润率不低于90%． 【分析】（1）设每副祥云彩带的进价是x元，则每个佩奇小喇叭的进价是（x+10）元，根据用480元购进祥云彩带的副数是用同样金额购进佩奇小喇叭个数的6倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设剩下的商店最多打y折，根据该商店用相同的价格再购进300副祥云彩带和200个佩奇小喇叭，祥云彩带全部卖完，佩奇小喇叭售出了总数的，该店老板对剩下的佩奇小喇叭进行打折销售，使得这批货的总利润率不低于90%，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设每副祥云彩带的进价是x元，则每个佩奇小喇叭的进价是（x+10）元， 依题意得：6， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+10＝12． 答：每副祥云彩带的进价是2元，则每个佩奇小喇叭的进价是12元； （2）设剩下的商店最多打y折可以使得这批货的总利润率不低于90%， 依题意得：300×6+20020+200×（1）×20×0.1y﹣300×2﹣200×12≥（300×2+200×12）×90%， 解得：y≥9． 答：商店最多打9折可以使得这批货的总利润率不低于90%． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 5．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）每棵甲种树苗的价格是30元，每棵乙种树苗的价格是40元； （2）当学校购买400棵甲种树苗，200棵乙种树苗时，才能使购买树苗的总费用最少． 【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格是x元，则每棵乙种树苗的价格是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每棵甲种树苗的价格），再将其代入（x+10）中，即可求出每棵乙种树苗的价格； （2）设学校购买m棵甲种树苗，则购买（600﹣m）棵乙种树苗，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校购买甲、乙两种树苗的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每棵甲种树苗的价格是x元，则每棵乙种树苗的价格是（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝30+10＝40（元）． 答：每棵甲种树苗的价格是30元，每棵乙种树苗的价格是40元； （2）设学校购买m棵甲种树苗，则购买（600﹣m）棵乙种树苗， 根据题意得：m≤2（600﹣m）， 解得：m≤400， 设学校购买甲、乙两种树苗的总费用为w元，则w＝30m+40×0.9（600﹣m）， 即w＝﹣6m+21600， ∵﹣6＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w取得最小值，此时600﹣m＝600﹣400＝200（棵）． 答：当学校购买400棵甲种树苗，200棵乙种树苗时，才能使购买树苗的总费用最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 6．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为60元； （2）两次售出这种商品的总利润为1700元． 【分析】（1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为x元，根据第二次购进这种商品时，每件的进价提高了20%，用3000元购进这种商品的数量比第一次少了10件，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，列出算式进行计算即可． 【解答】解：（1）设第一次购进这种商品时每件商品的价格为x元，由题意，得： ， 解得x＝50， 经检验x＝50是原方程的解， ∴（1+20%）x＝1.2×50＝60； 答：该商场第二次购进这种商品时每件商品的价格为60元； （2）由（1）可知，第一次购进商品3000÷50＝60（件），第二次购进商品60﹣10＝50（件）， ∴70×（60+50）﹣3000×2＝70×110﹣6000＝7700﹣6000＝1700（元）； 答：两次售出这种商品的总利润为1700元． 【点评】本题考查分式方程的应用，正确的列出分式方程是解题的关键． 7．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）甲种粽子每袋的价格是12元，乙种粽子每袋的价格是10元； （2）最多购进50袋甲种粽子． 【分析】（1）设乙种粽子每袋的价格是x元，则甲种粽子每袋的价格是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合购进的甲种粽子比乙种粽子多20袋，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙种粽子每袋的价格），再将其代入1.2x中，即可求出甲种粽子每袋的价格； （2）设购进y袋甲种粽子，则购进（120﹣y）袋乙种粽子，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种粽子每袋的价格是x元，则甲种粽子每袋的价格是1.2x元， 根据题意得：20， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×10＝12（元）． 答：甲种粽子每袋的价格是12元，乙种粽子每袋的价格是10元； （2）设购进y袋甲种粽子，则购进（120﹣y）袋乙种粽子， 根据题意得：12y+10（120﹣y）≤1300， 解得：y≤50， ∴y的最大值为50． 答：最多购进50袋甲种粽子． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 8．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）奇异果的进价是12元每千克，芒果的进价是10元每千克； （2）芒果最多降价13元每千克． 【分析】（1）设芒果的进价是x元每千克，则奇异果的进价是1.2x元每千克，根据两种水果总重量为300千克，奇异果的进货费用为1800元，芒果的进货费用为1500元，列出分式方程，解方程即可； （2）设芒果降价y元每千克，根据这批奇异果和芒果的总利润不低于3360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设芒果的进价是x元每千克，则奇异果的进价是1.2x元每千克， 根据题意得：300， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝12． 答：奇异果的进价是12元每千克，芒果的进价是10元每千克； （2）由（1）可知，奇异果的重量为1800÷12＝150（千克），芒果的重量为1500÷10＝150（千克）， 设芒果降价y元每千克， 根据题意得：150×（25﹣12）+150×80%×（20﹣10）+150×（1﹣80%）（20﹣y）≥3360， 解得：y≤13， ∴y的最大值为13， 答：芒果最多降价13元每千克． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【考点二 工程问题】 ( 典型例题 ) 例题3：【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】乙班每小时挖300千克的土豆． 【分析】根据“甲班挖700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同”列方程求解． 【解答】解：设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖 （x+50）千克的土豆． 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验：x＝300是原方程的解，且符合题意． 答：乙班每小时挖300千克的土豆． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 例题4：【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】甲工程队单独完成这项工程需40天，乙工程队单独完成这项工程需60天． 【分析】设甲工程队单独完成这项工程需x天，乙工程队单独完成这项工程需y天，根据甲、乙两工程队合作24天可完成．若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天也恰好完成，列出分式方程组，解方程组即可． 【解答】解：设甲工程队单独完成这项工程需x天，乙工程队单独完成这项工程需y天， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程组的解，且符合题意． 答：甲工程队单独完成这项工程需40天，乙工程队单独完成这项工程需60天． 【点评】本题考查了分式方程组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程组是解题的关键． ( 巩固练习 ) 9．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】公司原计划每天取冰块120吨． 【分析】设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰块（1+20%）m吨，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前1天完成任务，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设公司原计划每天取冰块m吨，则实际每天取冰块（1+20%）m吨， 根据题意得：1， 解得：m＝120， 经检验，m＝120是所列方程的解，且符合题意． 答：公司原计划每天取冰块120吨． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】40个． 【分析】设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合比原计划提前2天完成了任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品， 根据题意得：2， 解得：x1＝40，x2＝﹣30， 经检验，x1＝40，x2＝﹣30是所列方程的解，且x1＝40符合题意，x2＝﹣30不符合题意，舍去． 答：接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】正常路段盾构机每天能掘进10米． 【分析】设正常路段盾构机每天能掘进x米，则全风化泥岩和粉质粘土路段盾构机每天能掘进（1﹣20%）x米，根据题意列出分式方程，即可得出答案． 【解答】解：设正常路段盾构机每天能掘进x米，则全风化泥岩和粉质粘土路段盾构机每天能掘进（1﹣20%）x米， 根据题意，得， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解， 答：正常路段盾构机每天能掘进10米． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 12．【考点】分式方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米．根据对话内容列出方程并解答． 【解答】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米． 依题意得：9， 解得x． 经检验x是原方程的解，且符合题意． 答：每人每小时的绿化面积为平方米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，需要学生具备理解题意的能力，关键是设出速度，以时间作为等量关系列方程求解． 13．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米， 依题意，得：3， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝60． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米． （2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天， 依题意，得：700m+50014500， 解得：m≥10． 所以m最小值是10． 答：至少应安排甲队工作10天． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 14．【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工（x+100）米，利用工作总量＝工作效率×工作时间，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即乙工程队每月计划的施工量），再将其代入（x+100）中，即可求出甲工程队每月计划的施工量； （2）设乙工程队每月的施工费用是y万元，则甲工程队每月的施工费用是y万元，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入y中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设乙工程队每月计划施工x米，则甲工程队每月计划施工（x+100）米， 根据题意得：（6+2）（x+100）+2x＝1700， 解得：x＝90， ∴x+100＝90+100＝190（米）． 答：甲工程队每月计划施工190米，乙工程队每月计划施工90米； （2）设乙工程队每月的施工费用是y万元，则甲工程队每月的施工费用是y万元， 根据题意得：8， 解得：y＝45， ∴y45＝75（万元）． 答：甲工程队每月的施工费用是75万元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 15．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】应用题． 【答案】见试题解答内容 【分析】关键描述语为：“由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成”；本题的等量关系为：甲2天的工作量+乙规定日期的工作量＝1，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：设规定的日期为x天，则乙队需要（x+3）天…（2分） 根据题意得：2（）+（x﹣2）1， 解这个方程得：x＝6， 经检验x＝6是原方程的根， 答：规定的日期为了6天． 【点评】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到甲乙两队各自的工作时间． 16．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）原来每天修路0.4km； （2）以后几天内平均每天至少要修路1.2km． 【分析】（1）设原来每天修路x km，根据该工程队恰好工作12天完成修路任务，列出分式方程，解方程即可； （2）设以后几天内平均每天要修路y km，根据该工程队使用新设备又施工2天后，计划发生变化，准备至少比计划提前2天完成修路任务，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设原来每天修路x km， 由题意得：412， 解得：x＝0.4， 经检验，x＝0.4是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天修路0.4km； （2）设以后几天内平均每天要修路y km， 根据题意得：4×0.4+2×（0.4+0.4）+（12﹣4﹣2﹣2）y≥8， 解得：y≥1.2， 答：以后几天内平均每天至少要修路1.2km． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【考点三 行程问题】 ( 典型例题 ) 例题5：【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）高铁的平均速度为156千米/小时； （2）学校为师生最少购买24张高铁二等座位的车票． 【分析】（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为1.5x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入1.5x中，即可求出结论； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座的车票，则购买（30﹣m）张高铁一等座的车票，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为1.5x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝104， 经检验，x＝104是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×104＝156（千米/小时）． 答：高铁的平均速度为156千米/小时； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座的车票，则购买（30﹣m）张高铁一等座的车票， 根据题意得：180m+280（30﹣m）≤6000， 解得：m≥24， ∴m的最小值为24． 答：学校为师生最少购买24张高铁二等座位的车票． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 例题6：【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】小许原计划的平均速度是10.5千米/小时． 【分析】根据题意设原计划的速度，进而表示提速后的速度，再根据后一半路程原计划所用时间减去提速后所用时间等于列出方程，求出解即可． 【解答】解：设小许原计划的平均速度为x千米/小时，提速后的平均速度为1.2x千米/小时， 根据题意得：， 整理得，1.2x＝12.6， 解方程得：x＝10.5， 经检验：x＝10.5是原方程的解，且符合题意， 所以小许原计划的平均速度是10.5千米/小时， 答：小许原计划的平均速度是10.5千米/小时． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． ( 巩固练习 ) 17．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】在大桥的现有条件下还可以再提高限速，说明见解析． 【分析】原来限速为x千米/时，则提高限速后为（x+20）千米/时，根据提高限速后汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：在大桥的现有条件下还可以再提高限速，理由如下： 设原来限速为x千米/时，则提高限速后为（x+20）千米/时， 由题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80， ∵80＜100， ∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】提速前后路程没变，关键描述语为：“列车从A到B地行驶的时间减少了4h”；等量关系为：提速前的列车所用时间＝提速后的列车所用时间+4． 【解答】解：设提速前的列车速度为xkm/h． 则：4． 解之得：x＝80． 经检验，x＝80是原方程的解． 所以，提速前的列车速度为80km/h． 因为 80+20＝100＜140． 所以可以再提速． 【点评】考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 19．【考点】分式方程的应用；分式的混合运算．版权所有 【专题】分式；分式方程及应用；应用意识． 【答案】（1）该货轮在静水中的速度为25千米/小时； （2），理由见解答． 【分析】（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度，表示出t1，t2，将其代入中，再将其与作差后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意． 答：该货轮在静水中的速度为25千米/小时； （2），理由如下： ∵t1，t2， ∴． ∵， ∵a＜b， ∴b﹣a＞0，v+b+a＞0，b（v+a）＞0， ∴0， ∴0， 即． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用分式的运算，找出0． 20．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】走路线1到达B地所需的时间为小时． 【分析】设走路线1到达B地所需的时间为x小时，则走路线2到达B地所需的时间为（x）小时，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设走路线1到达B地所需的时间为x小时，则走路线2到达B地所需的时间为（x）小时，即（x）小时， 由题意得：， 解得：x， 经检验，x是原方程的解，且符合题意， 答：走路线1到达B地所需的时间为小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】考生甲的平均速度为2m/s，考生乙的平均速度为2.5m/s． 【分析】设考生甲的平均速度为vm/s，考试过程中考生乙不慎失误，浪费了2秒，但用时仍比考生甲少1秒，据此列方程并解方程即可． 【解答】解：设甲的平均速度为v m/s，由题意可得： ， 解得v＝2． 经检验，v＝2是原分式方程的解且符合实际． 1.25v＝2.5． 答：考生甲的平均速度为2m/s，考生乙的平均速度为2.5m/s． 【点评】此题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出方程是关键． 22．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时； （2）无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务． 【分析】（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时，根据采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，但所用时间要比无人机配送多6分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务，根据10分钟后接到医院通知，急救药品需要在8分钟以内（含8分钟）送达，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设无人机的配送速度是x千米/时，则传统车辆的配送速度是1.5x千米/时， 由题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×40＝60， 答：无人机的配送速度是40千米/时，传统车辆的配送速度是60千米/时； （2）设无人机的速度要提到y千米/时，才能完成此次配送任务， 由题意得：40y≥16， 解得：y≥70， 答：无人机的速度至少要提到70千米/时，才能完成此次配送任务． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 23．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】小明通过AB时的速度为1米/秒． 【分析】设小明通过AB时的速度为x米/秒，则通过BC的速度为1.4x米/秒，根据小明共用11秒通过AC，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设小明通过AB时的速度为x米/秒，则通过BC的速度为1.4x米/秒， 由题意得：11， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意， 答：小明通过AB时的速度为1米/秒． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】改造前车辆通过该路段的平均速度为0.6公里/分钟． 【分析】设改造前车辆通过该路段的平均速度为x公里/分钟，则改造后车辆通过该路段的平均速度为（1+50%）x公里/分钟，根据“平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并作答． 【解答】解：设改造前车辆通过该路段的平均速度为x公里/分钟，则改造后车辆通过该路段的平均速度为（1+50%）x公里/分钟， 根据题意，得3． 解得x＝0.6． 经检验x＝0.6是原方程的解． 答：改造前车辆通过该路段的平均速度为0.6公里/分钟． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【考点四 方案问题】 ( 典型例题 ) 例题7：【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）A类跳绳单价是45元，B类跳绳单价是35元； （2）有2种购买方案，①购进A类跳绳1条，B类跳绳19条；②购进A类跳绳2条，B类跳绳18条． 【分析】（1）设A类跳绳单价是x元，则B类跳绳单价是（x﹣10）元，根据用450元购买的A类跳绳条数与用350元购买的B类跳绳条数相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A类跳绳m条，则购进B类跳绳（20﹣m）条，根据总费用不超过720元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【解答】解：（1）设A类跳绳单价是x元，则B类跳绳单价是（x﹣10）元， 由题意得：， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣10＝35， 答：A类跳绳单价是45元，B类跳绳单价是35元； （2）设购进A类跳绳m条，则购进B类跳绳（20﹣m）条， 由题意得：45m+35（20﹣m）≤720， 解得：m≤2， ∵m为正整数， ∴m＝1，2， ∴有2种购买方案： ①购进A类跳绳1条，B类跳绳19条； ②购进A类跳绳2条，B类跳绳18条． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 例题8：【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】任务1：每个排球的价格为80元，每个足球的价格为100元； 任务2：该学校本次购买排球和足球共有4种购买方案，其中最少费用是3500元． 【分析】任务1：设每个排球的结果为x元，则每个足球的结果为（x+20）元，根据用320元购买的排球数量与400元购买的足球数量相等，列出分式方程，解方程即可； 任务2：设购买排球m个，则购买足球（50﹣m）个，根据排球数量不少于22个，且购买足球的数量不少于排球的数量，列出一元一次不等式组，解不等式求出正整数解，再设所需费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：任务1：设每个排球的结果为x元，则每个足球的结果为（x+20）元， 由题意得：， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100， 答：每个排球的价格为80元，每个足球的价格为100元； 任务2：设购买排球m个，则购买足球（50﹣m）个， 由题意得：， 解得：22≤m≤25， ∵m为正整数， ∴m＝22，23，24，25， ∴该学校本次购买排球和足球共有4种购买方案， 设所需费用为w元， 由题意得：w＝80×0.75m+100×0.8（50﹣m）＝﹣20m+4000， ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝25时，w取最小值，最小值＝﹣20×25+4000＝3500， 答：该学校本次购买排球和足球共有4种购买方案，其中最少费用是3500元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． ( 巩固练习 ) 25．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的单价是1000元，双枪新能源充电桩的单价是1500元； （2）当购进13个单枪新能源充电桩、7个双枪新能源充电桩时，费用最低． 【分析】（1）利用数量＝总价÷单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入1.5x中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购m个单枪新能源充电桩，则加购（20﹣m）个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）根据题意得：20， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×1000＝1500（元）． 答：单枪新能源充电桩的单价是1000元，双枪新能源充电桩的单价是1500元； （2）设此次加购m个单枪新能源充电桩，则加购（20﹣m）个双枪新能源充电桩， 根据题意得：m≤2（20﹣m）， 解得：m， 设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为w元，则w＝1000×（1+10%）m+1500×（1﹣10%）（20﹣m）， 即w＝﹣250m+27000， ∵﹣250＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝13时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣13＝7（个）． 答：当购进13个单枪新能源充电桩、7个双枪新能源充电桩时，费用最低． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 26．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用． 【答案】（1）制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元； （2）制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大． 【分析】（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本（x﹣100）万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》（60﹣m）集，根据题意列出一元一次不等式，求出m≤36．设该影视公司收益为w万元，再求出w关于m的关系式，再由一次函数的性质计算即可得解． 【解答】解：（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元， 根据题意，得， 解得x＝300， 经检验x＝300是方程的解，且符合题意． x﹣100＝300﹣100＝200． 答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元． （2）设制作《希望的田野》m集， 根据题意，得， 解得m≤36． 设该影视公司收益为w万元， 则w＝（450﹣300）m+（320﹣200）（60﹣m）＝30m+7200． ∵30＞0， ∴w随m的增大而增大． 又∵m≤36， ∴当m＝36时，w取最大值，此时60﹣m＝60﹣36＝24． 答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程、一元一次不等式、一次函数解析式是解此题的关键． 27．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）A型无人机模型的单价是2400元，B型无人机模型的单价是1600元； （2）航模小组共有2种购买方案， 方案1：购买4台A型无人机模型，6台B型无人机模型； 方案2：购买5台A型无人机模型，5台B型无人机模型． 【分析】（1）设B型无人机模型的单价是x元，则A型无人机模型的单价是（x+800）元，利用数量＝总价÷单价，结合用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型无人机模型的单价），再将其代入（x+800）中，即可求出A型无人机模型的单价； （2）设购买y台A型无人机模型，则购买（10﹣y）台B型无人机模型，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过20000元且购买B型的数量不超过A型的2倍，可列出y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为非负整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设B型无人机模型的单价是x元，则A型无人机模型的单价是（x+800）元，． 根据题意得：， 解得：x＝1600， 经检验，x＝1600是所列方程的解，且符合题意， ∴x+800＝1600+800＝2400（元）． 答：A型无人机模型的单价是2400元，B型无人机模型的单价是1600元； （2）设购买y台A型无人机模型，则购买（10﹣y）台B型无人机模型， 根据题意得：， 解得：y≤5， 又∵y为非负整数， ∴y可以为4，5， ∴航模小组共有2种购买方案， 方案1：购买4台A型无人机模型，6台B型无人机模型； 方案2：购买5台A型无人机模型，5台B型无人机模型． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 28．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）A种冰箱贴的单价是15元，B种冰箱贴的单价是12元； （2）有6种购买方案；当购买A种冰箱贴80个，B种冰箱贴40个时，总费用最少，最少费用为1680元． 【分析】（1）设B种冰箱贴的单价为x元，则A种冰箱贴的单价为 （x+3）元．根据题意“用180元全部购买B种冰箱贴的数量与用225元全部购买A种冰箱贴的数量相同”列出方程求解． （2）根据题意“A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275 元”，可列出不等式组：，得出m的取值范围，再推理求解． 【解答】解：（1）设B种冰箱贴的单价为x元，则A种冰箱贴的单价为 （x+3）元． 可列出方程：， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原分式方程的解． 则A种冰箱贴的单价为：12+3＝15（元）， ∴A种冰箱贴的单价是15元，B种冰箱贴的单价是12元； （2）求购买方案及总费用最少的购买方式设购买A种冰箱贴m个，则购买B种冰箱贴（120﹣m） 个． 根据题意“A种冰箱贴的数量不少于B种冰箱贴数量的两倍，且购买A种冰箱贴的费用不超过1275 元”，可列出不等式组：， ∴80≤m≤85，m为整数， 则m可取80，81，82，83，84，85，共6种购买方案． 设总费用为W元，W＝15m+12（120﹣m）， W ＝3m+1440因为3＞0， ∴W随m的增大而增大． 当m＝80时，W取得最小值， 此时W＝3×80+1440＝1680（元）， 购买B种冰箱贴120﹣80＝ 40（个）． 【点评】本题主要考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，通过已知条件建立方程和不等式来求解冰箱贴的单价和购买方案． 29．【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识． 【答案】（1）粉色百合的单价为60元/盆，黄色百合的单价为80元/盆． （2）有三种购买方案：①购买黄色百合7盆，粉色百合4盆；②购买黄色百合4盆，粉色百合8盆；③购买黄色百合1盆，粉色百合12盆． 【分析】（1）设粉色百合的单价为x元/盆，则黄色百合的单价为（x+20）元/盆，根据数量＝总价÷单价结合用900元购进的粉色百合盆数和1200元购进的黄色百合个数相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论； （2）设恰好用完800元可购买黄色百合a盆和粉色百合b盆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a、b的二元一次方程，根据a、b均为正整数，即可找出不同购买方案． 【解答】解：（1）设粉色百合的单价为x元/盆，则黄色百合的单价为（x+20）元/盆， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原分式方程的解， ∴x+20＝80． 答：粉色百合的单价为60元/盆，黄色百合的单价为80元/盆． （2）设恰好用完800元可购买黄色百合a盆和粉色百合b盆， 根据题意得：80a+60b＝800， ∴a＝10b． ∵a、b都是正整数， ∴①b＝4时，a＝7；②b＝8时，a＝4；③b＝12时，a＝1． 答：有三种购买方案：①购买黄色百合7盆，粉色百合4盆；②购买黄色百合4盆，粉色百合8盆；③购买黄色百合1盆，粉色百合12盆． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量＝总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程． 30．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）购买一个A种礼品需要15元，一个B种礼品需要5元； （2）该超市共有2种购买方案， 方案1：购买68个A种礼品，22个B种礼品； 方案1：购买69个A种礼品，21个B种礼品． 【分析】（1）设购买一个B种礼品需要x元，则购买一个A种礼品需要（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合花费300元购买A种礼品和花费100元购买B种礼品的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购买一个B种礼品所需费用），再将其代入（x+10）中，即可求出购买一个A种礼品所需费用； （2）设该超市购买y个A种礼品，则购买（90﹣y）个B种礼品，根据“购买A种礼品的数量不少于B种礼品数量的3倍，且购买A、B两种礼品的总费用不高于1140元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设购买一个B种礼品需要x元，则购买一个A种礼品需要（x+10）元， 根据题意得：， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意， ∴x+10＝5+10＝15（元）． 答：购买一个A种礼品需要15元，一个B种礼品需要5元； （2）设该超市购买y个A种礼品，则购买（90﹣y）个B种礼品， 根据题意得：， 解得：y≤69， 又∵y为正整数， ∴y可以为68，69， ∴该超市共有2种购买方案， 方案1：购买68个A种礼品，22个B种礼品； 方案1：购买69个A种礼品，21个B种礼品． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 31．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元； （2）要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元． 【分析】（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为a元，则B种柑橘礼盒每件的售价为a+20元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒（1000﹣x）盒，根据题意列出不等式组，得出595≤x≤600，设收益为y元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为a元，则B种柑橘礼盒每件的售价为a+20元， 根据题意列分式方程得：， 解得a＝80， ∴a+20＝80+20＝100， ∴A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元， 答：A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元； （2）设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种柑橘礼盒（1000﹣x）盒， 根据题意列方程组得：， 解得595≤x≤600， 设收益为y元，根据题意得：y＝（80﹣50）x+（100﹣60）（1000﹣x）＝﹣10x+40000， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝595时，y取得最大值，最大值为﹣10×595+40000＝40000﹣5950＝34050（元）， ∴售出B种柑橘礼盒1000﹣595＝405（盒）， ∴要使农户收益最大，销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出正确的方程是解题的关键． 32．【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣（1+50%）x件快递，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A，B型数控机器人接力9小时完成分拣任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型数控机器人每小时分拣快递的数量），再将其代入（1+50%）x中，即可求出A型数控机器人每小时分拣快递的数量； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递，根据刚好分拣完成5760件快递，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各安排方案． 【解答】解：（1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣（1+50%）x件快递， 根据题意得：9， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴（1+50%）x＝（1+50%）×60＝90． 答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递； （2）设应安排m台A型数控机器人，n台B型数控机器人分拣快递， 根据题意得：8（90m+60n）＝5760， ∴n＝12m， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种安排方案， 方案1：安排2台A型数控机器人，9台B型数控机器人； 方案2：安排4台A型数控机器人，6台B型数控机器人； 方案3：安排6台A型数控机器人，3台B型数控机器人． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$