期末复习 图形的旋转压轴题十种模型全攻略 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

图形的旋转压轴题十种模型全攻略 【考点导航】 目录 【考点一 生活中的旋转现象】 1 【考点二 图形的旋转】 2 【考点三 确定旋转中心】 3 【考点四 旋转角度】 4 【考点五 最值问题】 5 【考点六 旋转对称图形】 6 【考点七 绕某点旋转90°后点的坐标】 7 【考点八 作图—旋转变换】 8 【考点九 旋转与找规律问题】 10 【考点十 综合问题】 11 【考点一 生活中的旋转现象】 例题：（2024秋•任丘市期末）下列运动不属于旋转的是（ ） A．大风车转动 B．火箭升空的运动 C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动 【变式训练】 1.（2024秋•浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（ ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2.（2024秋•建水县校级期中）下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【考点二 图形的旋转】 例题：（2023秋•广元期末）下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】 1.（2024秋•静安区期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，目的是消除界面中的三行方块．那么下列操作中，正确的是（ ） A．绕点P旋转180°，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转90°，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转90°，再向右平移 D．直接向右平移 2.（2024秋•上思县期中）如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ） 【考点三 确定旋转中心】 例题：（2024秋•官渡区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是 【变式训练】 1.（2024秋•淮南月考）如图，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，-1），线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ；（2）旋转角为 °． 2.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是点 【考点四 旋转角度】 例题：（2025•邯山区校级一模）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60° 【变式训练】 1.（2024秋•三门峡期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB=70°，则旋转角的度数是（ ） A．35° B．40° C．50° D．70° 故选：B． 2.（2024秋•东莞市校级期末）如图，将Rt△ABC（其中∠BAC=55°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．55° B．70° C．125° D．145° 【考点五 最值问题】 例题：（2025•管城区模拟）如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转60°，得到线段AQ，连接MQ．若AB=4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为 ，MQ的最大值为 ． 【变式训练】 1.（2025•雁塔区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD=3，CD=2，当BD长最大时，△ABC的面积为 2.（2025•沈丘县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，PA=2，以PB为边作等边三角形PBM．则当线段AM的长取到最大值 时，点P的纵坐标为 ． 【考点六 旋转对称图形】 例题：（2023秋•斗门区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的五角星能与自身重合． 【变式训练】 1.（2024秋•锦江区校级期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度 2.（2024秋•朝阳区校级期中）如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形重合． 【考点七 绕某点旋转90°后点的坐标】 例题：（2024秋•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，O为原点坐标，点A的坐标是（4，3），OA绕点O逆时针旋转90°后得到线段OB，则点B的坐标是 【变式训练】 1.（2024秋•惠城区期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰RT△OAB的斜边OA=10，点B逆时针旋转90°后的坐标是 2.在平面直角坐标系中，将点P（3，2）绕点Q（5，3）旋转90°后的坐标为 【考点八 作图—旋转变换】 例题：（2025•庐阳区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 【变式训练】 1.（2024秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（-1，4），C（-4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 2.（2024秋•柳州期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1； （2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积． 【考点九 旋转与找规律问题】 例题：（2023•浠水县校级一模）如图所示，已知点A（-1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点A1，A2，A3，……，A2022的位置，则A2022的坐标是 【变式训练】 1.（2024秋•临淄区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，，，AC在直线l上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1按顺时针方向旋转到位置②，可得到点P2；将位置②的三角形绕点P2按顺时针方向旋转到位置③，可得到点P3…，按此规律继续旋转．则AP2025= ． 2.(1)将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为如图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 ． （2）如图3，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蛋从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． 【考点十 综合问题】 例题：（2024秋•高青县期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长． 【变式训练】 1.（2024秋•济宁期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α=150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 2.（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 图形的旋转压轴题十种模型全攻略 参考答案 【考点一 生活中的旋转现象】 例题：（2024秋•任丘市期末）下列运动不属于旋转的是（ ） A．大风车转动 B．火箭升空的运动 C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动 解：A．大风车转动，是旋转现象，故本选项不符合题意； B．火箭升空的运动，是平移现象，故本选项符合题意； C．关上教室门，是旋转现象，故本选项不符合题意； D．钟表的钟摆的摆动，是旋转现象，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1.（2024秋•浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（ ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 2.（2024秋•建水县校级期中）下列现象：①时针的转动；②摩天轮的转动；③地下水位逐年下降；④传送带上的机器人．其中，属于旋转的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 解：①时针的转动；②摩天轮的转动是旋转，故选：A． 【考点二 图形的旋转】 例题：（2023秋•广元期末）下列右边的四个图形中，不能由图形M在同一平面内经过旋转得到的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 解：①由M顺时针旋转90°得到，故①正确； ②由M逆时针旋转90°得到，故②正确 ③由M无法旋转得到，故③错误； ④由M顺时针旋转360°得到，故④正确． 故选：C． 【变式训练】 1.（2024秋•静安区期末）俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，目的是消除界面中的三行方块．那么下列操作中，正确的是（ ） A．绕点P旋转180°，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转90°，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转90°，再向右平移 D．直接向右平移 解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转90°，再向右平移． 故选：C． 2.（2024秋•上思县期中）如图，将该图按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ） 解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，可得B符合． 故选：B． 【考点三 确定旋转中心】 例题：（2024秋•官渡区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中A，B，C，D四个点中是其旋转中心的点是 解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 【变式训练】 1.（2024秋•淮南月考）如图，A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，-1），线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ；（2）旋转角为 °． 解：（1）当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1， ∵A（-1，5），B（3，3）， ∴E点的坐标为（1，1）； 根据网格可得∠BED=90°； 当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2， ∵A（-1，5），B（3，3）， ∴M点的坐标为（4，4）． 根据网格可得∠BMC=90° 综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4），旋转角为90°， 故答案为：（1，1）或（4，4）；（2）由（1）知，旋转角为90°，故答案为：90． 2.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将△MNP旋转，得到△M1N1P1，则旋转中心是点 解：线段NN1，线段PP1的垂直平分线的交点为点B，故点B为旋转中心． 故答案为：B． 【考点四 旋转角度】 例题：（2025•邯山区校级一模）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60° 解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合， ∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4， ∴△A′B′C是等边三角形， ∴B′C=4，∠B′A′C=60°， ∴BB′=6-4=2， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°． 故选：B． 【变式训练】 1.（2024秋•三门峡期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB=70°，则旋转角的度数是（ ） A．35° B．40° C．50° D．70° 解：∵CC'∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=70°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'， ∴AC=AC′，∠CAC′等于旋转角， ∴∠AC′C=∠ACC′=70°， ∴∠CAC′=180°-2×70°=40°， 即旋转角的度数是40°． 故选：B． 2.（2024秋•东莞市校级期末）如图，将Rt△ABC（其中∠BAC=55°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．55° B．70° C．125° D．145° 解：∵∠CAB1=180°，且∠BAC=55°， ∴∠BAB1=180°-∠BAC=125°． 故选：C． 【考点五 最值问题】 例题：（2025•管城区模拟）如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为中心逆时针旋转60°，得到线段AQ，连接MQ．若AB=4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为 ，MQ的最大值为 ． 解：如图所示，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接PM，ME，QE， ∵点M是等边三角形ABC边BC的中点， ∴，AM⊥BC， ∴， 由旋转的性质可得AM=AE，AP=AQ，∠PAQ=∠MAE=60°， ∴△AME是等边三角形， ∴， ∵∠PAQ-∠MAQ=∠MAE-∠MAQ， ∴∠PAM=∠QAE， ∴△PAM≌△QAE（SAS）， ∴QE=PM=1， ∴点Q在以点E为圆心、1为半径的圆上运动，如图， 当点Q在线段ME上时，MQ的值最小，最小值为， 当点Q在射线ME上时，MQ有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【变式训练】 1.（2025•雁塔区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD=3，CD=2，当BD长最大时，△ABC的面积为 解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE． ∵BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD=AE， 在△ADE中，∵AD=3，DE=CD=2， ∴AE≤AD+DE， ∴AE≤5， ∴AE的最大值为5， ∴BD的最大值为5，此时点D在AE上，如图2， 过点A作AF⊥BD于F， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠ADF=60°， ∵AF⊥BD， ∴∠DAF=30°， ∴，， ∴BF=， ∴AB2=AF2+BF2=19， ∴△ABC的面积， 故答案为：． 2.（2025•沈丘县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，PA=2，以PB为边作等边三角形PBM．则当线段AM的长取到最大值 时，点P的纵坐标为 ． 解：以PA的长为边作等边△PAN， ∴PA=PN=AN=2，∠APN=60°， 由条件可知∠BPM=60°，PB=PM， ∴∠APN+∠APB=∠BPM+∠APB， ∴∠NPB=∠APM， 在△NPB和△APM中， ∴△NPB≌△APM（SAS）， ∴NB=AM， ∵NB≤AN+AB， ∴当N、A、B三点共线时，NB取得最大值，此时AM取得最大值，如图， 由条件可知， ∴OP=， 由条件可知OB=5， ∴NB=ON+OB=1+5=6， ∴AM取得最大值为6，点P的纵坐标为； 故答案为：6，． 【考点六 旋转对称图形】 例题：（2023秋•斗门区期末）把图中的五角星图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度时，旋转后的五角星能与自身重合． 解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为72°． 故答案为：72． 【变式训练】 1.（2024秋•锦江区校级期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度 解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为60°， 故答案为：60． 2.（2024秋•朝阳区校级期中）如图所示的图形绕着中心至少旋转 度后，能与原图形重合． 解：∵360°÷3=120°， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 【考点七 绕某点旋转90°后点的坐标】 例题：（2024秋•忠县校级期中）在平面直角坐标系中，O为原点坐标，点A的坐标是（4，3），OA绕点O逆时针旋转90°后得到线段OB，则点B的坐标是 解：如图所示， ‘ 分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为M和N，则∠AMO=∠ONB=90°． 由旋转可知，∠AOB=90°，OA=OB， ∴∠AOM+∠NOB=∠NOB+∠B=90°， ∴∠AOM=∠B．在△AOM和△OBN中， ， ∴△AOM≌△OBN（AAS）， ∴BN=OM，NO=AM． 又∵点A的坐标为（4，3）， ∴BN=OM=3，NO=AM=4， ∴点B的坐标为（-3，4）． 故答案为：（-3，4）． 【变式训练】 1.（2024秋•惠城区期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰RT△OAB的斜边OA=10，点B逆时针旋转90°后的坐标是 解：如图， 作BC⊥OA于点C，则OC=BC=OA=5， ∴OD=BD=5， ∴OE=EB′=5， ∴点B逆时针旋转90°后的坐标是（-5，5）． 2.在平面直角坐标系中，将点P（3，2）绕点Q（5，3）旋转90°后的坐标为 解：如图，分顺时针或逆时针方向绕点Q（5.3）旋转90°后作图如下： 观察图象可知，旋转90°后的坐标为（6.1）或（4.5）． 故答案为：（6.1）或（4.5）． 【考点八 作图—旋转变换】 例题：（2025•庐阳区校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求． 【变式训练】 1.（2024秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，2），B（-1，4），C（-4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 解：（1）△A1B1C1如图所示． 点A1（3，-3），B1（4，-1）． （2）△A2B2C2如图所示． （3）如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（5，0）． 2.（2024秋•柳州期末）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）请画出△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△AB1C1； （2）在（1）的条件下，请求出△AB1C1的面积． 解：（1）如图，△AB1C1即为所求； （2）△AB1C1的面积==9-1.5-1-3=3.5． 【考点九 旋转与找规律问题】 例题：（2023•浠水县校级一模）如图所示，已知点A（-1，2），将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点A1，A2，A3，……，A2022的位置，则A2022的坐标是 解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到A4，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为4次一循环．A1（2，1），A2（3，0），A3（3，0），A4（5，2），A5（8，1），A6（9，0），A7（9，0），A8（11，2），A9（14，1），A10（15，0），A11（15，0），A12（17，2），……， A4n+1（6n+2，1），A4n+2（6n+3，0），A4n+3（6n+3，0），A4n+4（6n+5，2）， 当A2022时，即4n+2=2022，解得n=505， ∴横坐标为6n+3=6×505+3=3033，纵坐标为0， 则A2022的坐标（3033，0）， 故答案为：（3033，0）． 【变式训练】 1.（2024秋•临淄区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，，，AC在直线l上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1按顺时针方向旋转到位置②，可得到点P2；将位置②的三角形绕点P2按顺时针方向旋转到位置③，可得到点P3…，按此规律继续旋转．则AP2025= ． 解：∵，， ∴BC=2， 由题意知，， ， ，……以此类推，每旋转一次，APn的长度依次增加，2，，且三次一循环， ∵2025÷3=675， ∴， 故答案为：4050． 2.(1)将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为如图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 ． （2）如图3，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蛋从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ． 解：（1）根据题意可知连续3次变换是一循环．所以10÷3=3…1．所以是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故答案为：5； （2）根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环，因为2010除12余数为6，所以该圆圈所标的数字是6． 故答案为：6． 【考点十 综合问题】 例题：（2024秋•高青县期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE=AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长． （1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD=CE，CD=BE， ∵DC+CE=DE， ∴AD+BE=DE； （2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， DE=EC-CD=AD-BE=5-2=3． 【变式训练】 1.（2024秋•济宁期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α=150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （1）证明：由旋转的性质得：OC=CD，∠DCO=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠ACD=∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC=∠BOC=150°， ∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形； （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∵∠AOB=110°，∠BOC=α， ∴∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADO=α-60°， △ADO中，∠DAO=180°-∠ADO-∠AOD=180°-（α-60°）-（190°-α）=50°；（3）解：分三种情况：①当AO=AD时，∠AOD=∠ADO． ∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°， ∴190°-α=α-60°， ∴α=125°； ②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO． ∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°， ∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=50°， ∴α-60°=50°， ∴α=110°； ③当OD=AD时，∠OAD=∠AOD． ∵190°-α=50°， ∴α=140°， 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 2.（2024春•临渭区期中）（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2； 理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABD=∠ACE=45°， 由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB， ∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE ∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°， 故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°， 易证△AFD≌△AED，故FD=DE， 在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；即：BD2+BF2=DF2． （2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，∵∠ADE=45°， ∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2， ∴CE2=BD2+DE2． 学科网（北京）股份有限公司 $$