精品解析：四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

荣县中学校初2026届八年级下第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则下列各数中，实数x不可以取的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 等腰直角三角形的直角边为2，则其斜边长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 4、5、6 C. 6、8、10 D. 3、3、 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，、、．规定“把先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2023次变换后，的顶点D的坐标变为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 要使二次根式有意义，则x的满足的条件是____________． 10. 在中，，若，则_____． 11. 如果平行四边形的周长为，且，那么_____， _____． 12. 使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上_____ 米高的建筑物． 13. 用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么__________． 14. 如图，在中，，，延长至点，使得，连接，在上截取，若 则线段的长度为______． 三．（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 16. 在数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是 17. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC． （1）在图中画出点A关于y轴的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的基础上，试判断△的形状，并说明理由． 四．（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 21. 一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短． （1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来． （2）问：他至少要走多少路？ 22. 如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB于F,与DC的延长线相交于点H. (1)求证:△BEF≌△CEH; (2)求DE的长. 五．（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 （1）该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． （2）求出这个代数式的最小值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点、C在x轴上，，且a，b满足． （1）如图1，则点A坐标______，点B坐标______，______； （2）如图2，若点D在第一象限且满足，，线段交y轴于点G，求线段的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究、、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学校初2026届八年级下第一次月考 数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 若二次根式有意义，则下列各数中，实数x不可以取的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可求解x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：由题意得1-x≥0， 解得x≤1， ∴在-1，0，1，2中实数x不可以取的值是2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 等腰直角三角形的直角边为2，则其斜边长为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可． 【详解】∵一个等腰直角三角形的直角边长为2， ∴该直角三角形的斜边长是：． 故选B． 【点睛】考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 4、5、6 C. 6、8、10 D. 3、3、 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算判断即可． 【详解】解：A中，能构成直角三角形，故不符合要求； B中，不能构成直角三角形，故符合要求； C中，能构成直角三角形，故不符合要求； D中，能构成直角三角形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键在于正确的运算． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】A、被开方数含分母，故A不符合题意； B、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故B符合题意； C、被开方数含开得尽的因数或因式，故C不符合题意； D、被开方数含开得尽的因数或因式，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的条件是：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关键平行四边形的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，、、．规定“把先沿轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2023次变换后，的顶点D的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，、、， ∴， 把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后， ∴， 如此这样，，即； ，即； ，即； …… ∴对于横坐标，每次变换减1，对于纵坐标，奇数次变换为，偶数次变换为3， 经过2023次变换后，的顶点D的坐标变为，即， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解． 7. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 要使二次根式有意义，则x的满足的条件是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，求解即可． 【详解】解：∵根据二次根式有意义得：， 故答案为：． 10. 在中，，若，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，依据勾股定理直接求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故答案为：20． 11. 如果平行四边形的周长为，且，那么_____， _____． 【答案】 ①. 4 ②. 10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形对边相等，据此结合平行四边形的周长计算公式求出，进一步根据已知条件即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且其周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4；10． 12. 使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上_____ 米高的建筑物． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，梯子AB=13米， 若梯子的底部离建筑物的底部的距离BC不能小于5米， 则AC≤=12米， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 13. 用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，在中，，，延长至点，使得，连接，在上截取，若 则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长到，使，过点作于，证明得到，，即可得，求出，再利用勾股定理得到，设，则，，利用勾股定理可得方程，求出，即可求出，再由勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，过点作于，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查二次根式以及立方根的性质，掌握二次根式以及立方根的性质是解题的关键． 16. 在数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是 【答案】见解析 【解析】 【分析】以1和3为直角边构建直角三角形，再在数轴上截取斜边的长度即可． 【详解】解：在数轴上画出点B表示3，作AB垂直于x轴，截取AB=1，根据勾股定理得，，在数轴上截取OC=OA，点C表示的数就是． 【点睛】本题考查了勾股定理和在数轴上表示无理数，解题关键是树立数形结合思想，通过构建直角三角形，利用斜边长表示无理数． 17. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1）16 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可； （2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ∴ ； 【小问2详解】 解：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． 18. 已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠DCF， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）， ∴BE=DF． 【解析】 【分析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，5），B（1，0），C（3，1），连接BC． （1）在图中画出点A关于y轴的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的基础上，试判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1）画图见解析，（1，5）；（2）△是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点y值不变，x值互为相反数，先画出点A关于y轴的对称点，连接； （2）由图可以判断△是直角三角形，根据点的坐标计算线段的长，再根据勾股定理逆定理计算验证即可． 【详解】解：（1）如图，由点A（﹣1，5）易得（1，5）， 连接； （2）△是直角三角形，理由如下： 由（1）易得， ，， ∵， ∴△是直角三角形． 【点睛】本题考查的是轴对称以及勾股定理逆定理，解题的关键是掌握相关的知识点． 四．（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： ； （2）①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】（1） （2）①为直角三角形，见解析，② （3） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． 【小问3详解】 解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 21. 一牧童在 A 处牧马，牧童的家在 B 处，A，B 处距河岸的距离分别是 AC＝500 m，BD＝700 m，且 C，D 两地间的距离也为 500 m，天黑前牧童从点 A 将马牵到河边 去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短． （1）牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来． （2）问：他至少要走多少路？ 【答案】（1）见解析；（2）1300m. 【解析】 【分析】（1）将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程； （2）根据（1）中所化图象，利用勾股定理解答即可. 【详解】解:（1）如图①，作点 A 关于河岸的对称点 A′，连结 BA′交河岸于点 P，此时 PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′，所走的路程最短，故牧童应将马赶到河边的点 P 处． （2）如图②，过点 A′作 A′B′⊥BD 交 BD 的延长线于点B′. 易知四边形 A′B′DC 是长方形， ∴B′A′＝CD＝500，B′D＝A′C＝AC＝500. 在 Rt△BB′A′中，BB′＝BD＋DB′＝1200，A′B′＝500， ∴BA′＝ ＝1300(m)． 答：他至少要走 1300 m. 【点睛】此题考查了轴对称--最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用. 22. 如图,在□ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB于F,与DC的延长线相交于点H. (1)求证:△BEF≌△CEH; (2)求DE的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可； （2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=CE=1，求出EH=，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵EF⊥AB ∴EF⊥CD， ∴∠BFE=∠CHE=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BEF和△CEH中， ， ∴△BEF≌△CEH（AAS）； （2）∵∠B=∠HCE=60º,∠BFE=∠H=90º ∴CH=CE=BC=AD=1 EH= ∴DH=DC+CH=AB+CH=3+1=4 ∴在Rt△DEH中,DE= 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CH是解决问题的关键． 五．（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 （1）该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． （2）求出这个代数式的最小值． 【答案】（1）、 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间的距离计算公式，完全平方公式，熟知坐标系中两点距离计算公式是解题的关键． （1）仿照题意把所给代数式中的根号下的式子利用完全平方公式配方，再结合题意即可得到答案； （2）根据（1）所求可知代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小，据此根据两点之间线段最短求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴代数式的值可以看做是点到点的距离，代数式的值可以看做是点到点的距离， ∴代数式的值可看作点到点、的距离之和； 【小问2详解】 解：∵代数式的值可看作点到点、的距离之和， ∴代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小， ∴由两点之间线段最短可知当点在点、组成的线段上时代数式有最小值，最小值即为点、之间的距离，即． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在y轴上，点、C在x轴上，，且a，b满足． （1）如图1，则点A坐标______，点B坐标______，______； （2）如图2，若点D在第一象限且满足，，线段交y轴于点G，求线段的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），， （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a的值，然后再求出b的值，取的中点M，连接， 证明为等边三角形，得出，求出，即可得出答案； （2）求出，即，可得，接着求出，证明，即有，可得，得出，进而有，可得，即有，问题随之得解； （3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于M点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，问题随之得解． 【小问1详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， 解得：， ∵点A在y轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴， 取的中点M，连接，如图所示： ，， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，两点间距离公式，中点公式，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $