精品解析：湖南省岳阳市湘阴县城南区2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题

湘阴县城南区2024-2025学年九年级下学期3月联考 数学试卷 时量：90分钟 满分：120分 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 在，2，0，这四个有理数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 9. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ） A. 180度 B. 210度 C. 240度 D. 270度 10. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ④四边形OECF的面积是1． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卡上的横线上．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 13. 某数学兴趣小组设计用手电来测量某大厦的高度．如图，在点P处放一面水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，测得，那么该大厦的高度约为_____m． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 15. 在中，若，，则____ 16. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 17. 如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 18. 如图，是的直径，点E是的中点，过点E作弦．连接，．若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，则的长是________． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 化简求值：，其中，． 21. 温州作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（），一般（），良好（），优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数是 °． （3）这次测试成绩的中位数是 等级．（填写“合格”，“一般”，“良好”或“优秀”） （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？ 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 23. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400元． （1）求A、B两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件的售价比进价多20元，怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 24. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 25. 如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及B点坐标； （2）求的面积； （3）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 26. 【问题发现】 如图①，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值． 理由如下：如图②，取的中点E，连接， 在中，，点E是斜边的中点， ∴ ，， ∴． ∴ 点O、A、B在以点E为圆心，2为半径的上． 即为的外接圆，其半径为2． 【深入探究】 在【问题发现】的条件下，连接，线段的长为 ，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为 ； 【类比运用】 如图③，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，． （1）设的外接圆圆心为点E，半径为R，请判断在矩形移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由； （2）直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘阴县城南区2024-2025学年九年级下学期3月联考 数学试卷 时量：90分钟 满分：120分 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 在，2，0，这四个有理数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据有理数大小比较方法进行判断即可得出答案． 【详解】解：， ∴最小的数是， 故选：A 2. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图等知识，逐项判断出各几何体的三视图即可求解． 【详解】解：A. 圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，故不合题意； B. 圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，不合题意； C. 圆锥的主视图、主视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，不合题意； D. 球体的三视图都是圆，符合题意． 故选：D 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】． 故选A． 【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积，掌握扇形面积公式是关键；根据求解即可 【详解】解：， 故选D． 7. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 9. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ） A. 180度 B. 210度 C. 240度 D. 270度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份日用电量，“平均数等于所有数据的和除以数据的个数”． 【详解】解：∵这5天的日用电量的平均数为（度）， ∴估计他家6月份日用电量为9度， ∴估计她家6月份的用电量为：（度），故D正确． 故选：D． 10. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ④四边形OECF的面积是1． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】证明≌，即可得出①是正确的；设BE=CF=x，则EC=2-x，其中，表达出△OEF面积，用二次函数求出最小值，进行比较即可判断②是正确的；假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，求出EF的长度即可说明③是正确的；根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出④正确． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ∴OE=OF，， ∴， ∴． 又∵OE=OF， ∴△OEF是等腰直角三角形，故①正确； ∵≌， ∴设BE=CF=x，则EC=2-x，其中， 在Rt△EFC中，， 在Rt△EFO中，， ∴， ∴， ， ∴当x=1时△OEF的面积取得最小值，故②正确； 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴BE=CF=或BE=CF=时，△ECF的周长是， ∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是，故③正确； ∵≌， ， ， 故④正确； 故选：D． 【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，二次函数的最值问题，注意掌握全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在答题卡上的横线上．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 13. 某数学兴趣小组设计用手电来测量某大厦的高度．如图，在点P处放一面水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，测得，那么该大厦的高度约为_____m． 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形．先证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ∴该大厦的高度是． 故答案为：39． 14. 若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件．根据分式的值为零需满足分子等于零且分母不等于零的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由，利用平方差公式因式分解得， 解得或， 又∵，即， ∴． 15. 在中，若，，则____ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，解一元一次方程，熟练掌握三角形的内角和等于是解决此题的关键．设，则，根据三角形的内角和定理即可列方程求解． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，是的角平分线．若，则的面积是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积的计算．作辅助线是解本题的关键．过点D作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点D作于H， ， ， 是的角平分线， ， ， 的面积， 故答案为：7． 18. 如图，是的直径，点E是的中点，过点E作弦．连接，．若点F是的中点，过点C作，垂足为点G．若的半径为2，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，由是的直径，得到，，，推出，根据锐角三角函数的定义，结合点E是的中点可得，推出，从而证出是等边三角形，再通过证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，， ，，， 是的垂直平分线，， ， 点E是的中点， ， ， 在中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点F是的中点， ， ， ， 又，， ， ． 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式的化简求值法则计算是解题的关键； 根据题意，按照要求将式子进行化简，再将，代入即可求解 【详解】解：原式 当，时，原式 21. 温州作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格（），一般（），良好（），优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）由图中给出的信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数是 °． （3）这次测试成绩的中位数是 等级．（填写“合格”，“一般”，“良好”或“优秀”） （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）图见解析 （2） （3）良好 （4）估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有990人 【解析】 【分析】（1）利用优秀的人数除以所占的百分比求出总数，利用总数减去其他等级的人数求出测试成绩为一般的学生人数，进而补全直方图即可； （2）良好等级的人数所占的比例进行计算即可； （3）利用中位数的定义进行作答即可； （4）利用总体乘以样本中测试成绩为良好和优秀的学生所占的比例，即可得解． 本题考查扇形与条形的统计图，中位数，利用样本估计总体．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数的计算方法，是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， ∴测试成绩为一般的学生人数为：（人）； 补全直方图如图： 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：本次抽取学生的人数一共200人，将成绩按照从小到大排序后，第100个数据和第101个数据均在的范围内， 即中位数落在良好等级； 故答案为：良好； 【小问4详解】 解：（人）； 答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有990人． 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 23. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．已知购进50件A配件和125件B配件需支出成本20000元；购进40件A配件和40件B配件需支出成本12400元． （1）求A、B两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件的售价比进价多20元，怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元 （2）当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m件A配件，则购进件B配件，根据题意，得到，求出的范围，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A配件的进货单价是x元，B配件的进货单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A配件的进货单价是250元，B配件的进货单价是60元； 【小问2详解】 设购进m件A配件，则购进件B配件， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元． 24. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到地面的距离的长为0.2米 （2）轿车能驶入小区，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键； （1）过点作，垂足为，证明，在中，米，，再进一步可得答案； （2）当，米时，可得，求解米，在中，求解米，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 结合题意得：，， ， 在中，米， （米）， 米， （米）， 点到地面的距离的长为0.2米； 【小问2详解】 轿车能驶入小区 理由：当，米时 ∵， 米 （米）， 在中，（米）， （米）， 轿车能驶入小区． 25. 如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及B点坐标； （2）求的面积； （3）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为， （2）10 （3）线段的最大值是4，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B、C的坐标得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则或4， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ， ， 当时，，此时， 线段的最大值是4，此时点P的坐标为． 26. 【问题发现】 如图①，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值． 理由如下：如图②，取的中点E，连接， 在中，，点E是斜边的中点， ∴ ，， ∴． ∴ 点O、A、B在以点E为圆心，2为半径的上． 即为的外接圆，其半径为2． 【深入探究】 在【问题发现】的条件下，连接，线段的长为 ，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为 ； 【类比运用】 如图③，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，． （1）设的外接圆圆心为点E，半径为R，请判断在矩形移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由； （2）直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值． 【答案】【深入探究】，；【类比运用】（1）不变，；（2） 【解析】 【分析】【深入探究】由勾股定理求出；当、、三点在同一直线时，有最大值，得出线段长度有最大值； 【类比运用】（1）连接、，则，由圆周角定理得，由勾股定理可得出答案； （2）由（1）可知：点在以为弦，半径为圆上，当在线段上时，此时有最大值，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】解：【深入探究】 由【问题发现】知， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最大值， 线段长度的最大值为； 故答案为：，． 【类比运用】：（1）不变． 连接、，则， ， ， 在中，， ， ； （2）由（1）可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示， ， 当在线段上时，此时有最大值， 过点作于点，交于点， ， ， ，， 的最大值为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $