4.3.1空间中直线与直线的位置关系课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.3.1空间中直线与直线的位置关系 湘教版（2019）必修第二册 第四章 立体几何初步 01 能够理解并准确描述空间中两条直线的三种基本位置关系：平行、相交和异面. 02 能利用基本定理和定理判定和证明空间两条直线的位置关系. 03 02 理解空间等角定理的内容和应用，运用多种方法来解决问题，培养灵活的思维方式和解决问题的能力. 学 习 目 标 新课导入 同一平面内，两条直线的位置关系是什么？ a a b b 平行 相交 那么空间中两条直线的位置关系有哪些呢？ 新知探究 异面直线 观察右图长方体模型，可以发现直线AB和直线CC′既不相交，又不平行，因而它们不同在任何一个平面内. 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 所以直线AB和直线CC′是异面直线. 直线AB与A′B′共面没有公共点. 直线AB与AD共面且只有一个公共点. 新知探究 空间中两条直线的位置关系 相交 在同一个平面内，两条直线有且只有一个公共点. 平行 在同一个平面内，两条直线没有公共点. 异面 两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点. 注：空间中两条直线的位置关系有且只有以上三种. 新知探究 平行直线 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言：若a，b，c为空间中三条不重合的直线， 且a∥b，a∥c，则b∥c. 作用：判断或证明空间中两条直线平行. 新知探究 如图（1），在一个平面内，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 或互补.在图（2）中若在空间中两个角的两条边对应平行，上述结论仍然成立吗？ （1） （2） 新知探究 证明：在空间中如果两个角的两条边对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 新知探究 类似可证： 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，并且方向相反， 那么这两个角相等； 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，其中一组对应边方向相反， 另一组对应边方向相同，那么这两个角互补. （1） （2） 新知探究 空间等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 新知探究 由异面直线的定义可知，我们不能把两条异面直线置于同一平面内， 因而画异面直线时，一般如下图所示，以显示出它们不共面的特点． 判断两条直线为异面直线的一种方法： 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线． 新知探究 两条异面直线所成的角的定义 新知探究 直线a，b所成角的大小和点P的位置有关吗？ 新知探究 两条异面直线垂直的定义 新知探究 特别提醒 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 课堂巩固 当堂检测 D 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 A 当堂检测 当堂检测 A 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 课堂小结 归纳总结： 本节课学到了哪些知识点呢？ 1.平行直线 2.空间等角定理 3.异面直线 感谢聆听 Thank You 51PPT模板网 www.51pptmoban.com 34 如上图（2），已知 和 是空间中两个角，它们的边 ，并且方向相同.在 和 的两边上分别截取 连接 ， EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ， 四边形 是平行四边形，因此 .同理可证 .因此 ， 四边形 是平行四边形.因此 .所以 ，从而 即证. 我们知道，平面内两条直线相交形成四个角，其中不大于 的角称为它们的夹角. 类似地，对于异面直线 和 ，如图，在空间任取一点P，过P分别作 和 的平行线 和 ，我们把 与 所成的锐角或直角叫作异面直线 和 所成的角，其大小范围为 . 在定义中，空间一点P是任取的，根据空间等角定理，可以判定异面直线 所成的角与直线 所成锐角（或直角）相等，角的大小与点P的位置无关.为了简便，点P常取在两条异面直线中的一条上. 如果两条异面直线 和 所成的角为 ，则称这两条异面直线 互相垂直，记作 如图，设 是异面直线，过 上任意一点A作直线c，使 如果 ，就称 （1）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是 研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题. 异面直线所成的角的大小不能是 ，若两条直线所成的角是 ，则这两 条直线平行，不可能异面. （3）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 例1如右图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD 四条边AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明 连接AC，BD. 因为E，F是 中AB，BC的中点， 所以 .同理可证 因此 同理可证 因此四边形EFGH是平行四边形. 解 和 相似.证明如下： 则 所以 所以 和 相似. 例2 如图，三棱锥 中，E，F，G分别是棱 上的点，且 则 和 有什么关系？为什么？ 证明 假设直线AB与a在同一个平面内，那么 这个平面一定经过点B和直线a.因为 经过 点B与直线a只有一个平面 ，所以直线AB 与a应在平面 内.所以 这与已知 矛盾. 所以直线AB与a是异面直线. 例3 如图，已知 求证：直线AB与a是异面直线. 例4 如图，在长方体 的棱所在的直线 中，找出与棱 所在直线异面的所有直线. 解 先把长方体中和棱 相交或平行的棱去掉，剩下棱 观察棱BC所在直线，因为 平面 ， 平面 平面 ，所以直线 与BC是 异面直线.同理，直线 都与直线 异面. 例5 如图，已知 是棱长为a的正方体. 求异面直线 与BC所成的角； 求异面直线 与AC所成的角. 解 （1）因为 ，所以 即为直线 与BC所成的角. 因为 ，所以直线 与BC所成的角为 . 连接 因为 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 .因此直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角. 因为 所以 .因此，直线 与 所成的角为 ，即直线 与 所成的角为 . 1.如图，在三棱柱 中， 底面 是 的中点，则直线 ( ) A.与直线 相交 B.与直线 平行 C.与直线 垂直 D.与直线 是异面直线 答案：D 解析：易知三棱柱 为直三棱柱， 由图易判断 与 异面，AB错误； 因为 , 与 相交但不垂直， 所以 与直线 不垂直，C错误； 由图可判断 与直线 是异面直线，D正确. 故选：D 如图所示是一个正方体的表面展开图，则在正方体中， AB，CD，EF，GH这4条线段所在的直线中，是异面直线的有几对？ 答案：3对 解析：还原正方体，如图AB与CD，AB与GH，EF与GH是异面直线，共3对. 如图，在长方体, 中, , ,则 异面直线CD与 所成的角的大小为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析: , 是异面直线 CD与 所成的角或其补角, 在直角 中, , , ,所以 , 所以异面直线CD与 所成的角是 . $$