2.4 二元一次方程组的应用（讲练）（15大题81题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

二元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，用它解决实际问题时，通过分析问题中的各个量，从而找到相等关系，设适当的未知数，根据相等关系构建方程组。 注意：一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；(2）同类量的单位要统一. 【基础练习】 【练习1-1】在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【练习1-2】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案． 【详解】解：根据题意，可列方程组为：， 故选：D． 【练习1-3】将浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30kg．设浓度为30%的酒精需要，浓度为60%的酒精需要，则列出的方程组为 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据“混合前的酒精溶液的重量=混合后酒精溶液的重量”以及“混合前的酒精的重量=混合后酒精的重量”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 1.建立二元一次方程组模型 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确 它们之间的相等关系； 设 恰当地设未知数; 列 依据题中的相等关系列出方程组； 解 解方程组，求出未知数的值； 验 检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义; 答 写出答案 列二元一次方程组解应用题的常见类型 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量 产品配套问题 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价， 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 数字问题 一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【基础练习】 【练习2-1】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套． 【解析】 【分析】设应用xm3钢材做A部件，用ym3钢材做B部件，根据要用6m3钢材制作这种仪器且做的B部件总数是A部件总数的3倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入40x中即可求出结论． 【详解】解：设应用xm3钢材做A部件，用ym3钢材做B部件， 依题意，得：， 解得：， ∴40x＝160． 答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套． 【练习2-2】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)① 180；；②此时杯子里水的温度为 (2)乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及用代数式表示式等知识． （1）①根据时间乘以流速可求解，用表示即可． ②根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可． （2）设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】（1）解：① ， ②由题意得， 解得： 此时杯子里水的温度为 （2）解：设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为． 解得： 答：乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 【练习2-3】根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价． 【答案】笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元 【解析】 【分析】设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合小丽两次购买笔和笔记本的数量及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【答案】解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：笔的单价为1.5元，笔记本的单价为8元． 设未知数的几种常见方法： 1.直接设未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设为方程的未知数，并且求几个设几个， 2.间接设未知数：即设的不是所求量.有些应用题，若直接设未知数，则所列的方程比较复杂，若间接设未知数，则能列出既简单又易解的方程. 3.设辅助未知数：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是帮助列方程，同时为了求出真正的未知数. 【典例】某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 【变式1-1】如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，由图形可发现小长方形墙砖的一个长与两个宽的和为，五个宽的和为，据此即可列方程组． 【详解】解：设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，根据题意，得 ． 故选：C 【变式1-2】小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．原来两个加数分别是多少？如果设一个加数为，另一个加数为，则根据题意所列的方程组为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 故答案为：． 方法技巧：找相等关系的基本方法 (1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有“比”“是”“等于”等; (2)根据常见的数量关系，如路程与时间、速度的关系，基本图形的计算公式（如体积公式、面积公式 等)销售问题中的数量关系等； (3)挖掘题目中的隐含条件; (4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系. 【典例】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，分别得出等式求出答案． 【详解】解：根据题意，可列方程组为：， 故选：D． 【变式2-1】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【解析】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：， 故答案为：． 【变式2-2】中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 【典例】有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【答案】(1) (2)甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【解析】 【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可； 【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则 ， （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则 ，整理得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【变式3-1】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【变式3-2】风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． （1）甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ （2）若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【答案】（1）甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元；（2）天 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数． 【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元， 根据题意，得， 解得， ∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为， 根据题意，得， 解得， ∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务． 解决工作量问题的方法 工作量问题的基本关系：工作量=工作时间×工作效率.有时需把总工作量看做整体1（在后面学习的分式方程中体现较多）. 【典例】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 【变式4-1】甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒 【解析】 【分析】设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒， 依题意，得： 解得： 答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒． 【变式4-2】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 常见的行程问题可分为两大类型：相遇问题和追及问题， （1)相遇问题：相等关系是双方走的路程和等于两地之间的距离． （2)追及问题：①双方同地不同时出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程相等（双方所用的时间不同）.②双方同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间相同）.③双方不同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间不同). 【典例】“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意知：百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，由此可列方程组． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得， ， 故答案为：． 【变式5-1】某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． （1）列一元一次方程求解． （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 【答案】（1）38；（2）38 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组． （1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ， ∴原两位数为38； （2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：， 解得， ∴原两位数为38． 【变式5-2】已知一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为8．若在其中间加一个0，与原数的和为340，求这个两位数是多少？ 【答案】35 【解析】 【分析】设十位上的数为x ，个位上的数为y，在其中间加一个0后，所得的数为根据等量关系列方程组即可． 【详解】解：设原数的十位数字为x，个位数字为y，依题意得 解得即原数是35． 方法技巧：多位数的表示方法 一个两位数，当十位上的数字为，个位上的数字为时，这个两位数就可表示为10+；类似地，当一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为时，这个三位数就可表示为10+ +。 【典例】5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 【变式6-1】食堂有一批粮食，若每天用去，按预计天数计算，则缺少：若每天用去，则到期后还可余，食堂师傅估计现在有存粮～之间，你能否通过计算检验他的估计是否正确？ 【答案】估计正确，理由见解析 【解析】 【分析】设食堂存煤预计用天，根据 “若每天用按预计天数计算，就缺少”可得方程,“若每天用那么到预计天数后，则还可剩余”可得方程联立两个方程解方程组即可． 【详解】解：设食堂存粮,预计用天，由题意得： ， 解得． 即：食堂有存粮，即估计现在有存粮～之间正确 【变式6-2】某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【答案】男生人、女生人 【解析】 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 根据题意得：解这个方程组得： 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生人、女生人． 【典例】小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是 ，方程①是 ． 【答案】 同样的空调每台降价400元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由方程②的信息可得答案； （2）设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可． 【详解】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元， 根据题意得：， 故答案为：； 【变式7-1】为促进学生健康成长和全面发展，某校体育组持续推进校园足球普及和提高．下表所示为两次购买足球的品牌、数量和费用： 甲品牌足球的数量/个 乙品牌足球的数量/个 购买总费用/元 第一次 2 5 990 第二次 3 4 960 求甲品牌足球、乙品牌足球销售单价分别是多少元？ 【答案】甲品牌足球的销售单价是120元，乙品牌足球的销售单价是150元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设甲品牌足球的销售价为x元，乙品牌足球的销售价为y元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设甲品牌足球的销售单价是x元，乙品牌足球的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲品牌足球的销售单价是120元，乙品牌足球的销售单价是150元． 【变式7-2】暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等． (1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价． (2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值． 【答案】(1)一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元 (2)1 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用， （1）设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．据此列方程组并解方程组即可； （2）根据最后售出获利出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，则 ， 解得， 答：一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元； （2）根据题意可得， 解得， 答：a的值为1． 易错警示：相等关系中的单位未统一就列方程而出错 在列方程组解决实际问题时，往往由于疏忽，忘记统一单位，必须先把单位统一后，再列方程组，否则会出现错误。 【典例】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【变式8-1】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【解析】 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【变式8-2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【解析】 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【典例】图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒 只和横式纸盒 只，恰好使库存的纸板用完． 【答案】 20 40 【解析】 【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，解此方程组即可求得． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x只、y只， 根据题意得：， 由得，， 解得， 把代入得，， 解得， 故做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为20只、40只， 故答案为20，40． 【变式9-1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 【变式9-2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌， 由题意得， 解得， ． 答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 【典例】为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格（元/套） 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元． （1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 　 元； （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题） （3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】（1）3680（2）甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接将人数乘以对应单价即可； （2）先确定两校人数，得到购买单价，再列出方程组计算即可； （3）先求出按照82人购买的金额，再计算按照91人购买的金额，进行比较即可． 【详解】解：（1）92×40＝3680（元）， ∴甲、乙两校联合购买服装一共需要付款3680元， 故答案为：3680； （2）∵甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）， ∴46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46， 设甲校有x名学生准备参加演出，乙校有y名学生准备参加演出， 根据题意可得：， 解得， 答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． （3）由题意得，甲乙两校一共能参加的学生为82人， 两校联合购买82套服装需要的费用为：50×82＝4100（元）， 两校联合购买91套服装需要的费用为：40×91＝3640（元）， ∵3640＜4100．∴两校联合购买91套服装最省钱． 【变式10-1】小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决下列问题． （1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ （2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】（1）小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，根据小丽购买的学习用品的总个数和总费用列出二元一次方程组求解即可； （2）根据软皮笔记本的购买数量和总价，求出单价，设购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据两种商品的总费用列出二元一次方程，由购买数量为整数，得出所有可能的解． 【答案】解：（1）由表可得签字笔的价格3元/只，自动铅笔的价格1.5元/只，记号笔价格4元/只，圆规的价格3.5元/只， 设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支， 根据题意可得， 解得， 答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支． （2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支， 根据题意可得m+1.5n＝15， ∵m，n为正整数， ∴或或． 所以共有三种方案： 1本软皮笔记本与7支记号笔； 2本软皮笔记本与4支记号笔； 3本软皮笔记本与1支记号笔． 【变式10-2】某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． （1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你设计出商场的进货方案； （2）商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 【答案】（1）共有两种进货方案，方案1：购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部；方案2：购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部．（2）方案2购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部获得的利润多 【解析】 【分析】（1）由平均价格＝总价÷数量可求出40部手机的均价，结合三种型号手机的单价即可得出必买甲种型号手机，分购进甲和乙两种型号手机及购进甲和丙两种型号手机两种情况，根据购买40部手机共花费40000元，即可得出关于x，y（或a，b）的二元一次方程组，解之即可； （2）利用总利润＝单部利润×销售数量，分别求出两个方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【答案】解：（1）∵40000÷40＝1000（元）， ∴必买甲种型号手机． 当购进甲和乙两种型号手机时，设购进甲种型号手机x部，乙种型号手机y部， 依题意，得：， 解得：； 当购进甲和丙两种型号手机时，设购进甲种型号手机a部，丙种型号手机b部， 依题意，得：， 解得：； ∴共有两种进货方案，方案1：购进甲种型号手机30部，乙种型号手机10部；方案2：购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部． （2）方案1获得的利润为：120×30+80×10＝4400（元）， 方案2获得的利润为：120×20+120×20＝4800（元）． ∵4400＜4800， ∴方案2购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部获得的利润多． 【典例】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【答案】(1)的值是800，的值是600． (2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数作为等量关系列方程组求解． （1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出和的值． （2）设九年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，根据该山区贫困生的总人数及九年级捐款数额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元， ， 解得：． 所以的值是800，的值是600． （2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人， 依题意得：， 解得：． ∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名． 【变式11-1】请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数． （2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数． 【答案】（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元（2）王老师花的钱为320元 【解析】 【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）直接列式即可计算出费用． 【答案】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元， 根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152， 解得：x＝40， 答：一个水瓶40元，一个水杯是8元； （2）由题意得：（6×40+8×20）×0.8＝320（元）． 答：王老师花的钱为320元． 【变式11-2】营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300克． ②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质． ③蛋白质和脂肪共占；矿物质的含量是蛋白质含量的；蛋白质和碳水化合物含量共占． 根据上述信息回答下列的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共 　　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量． （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质，同时三者含量为总质量的．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据质量总质量百分比，这份快餐总质量为，蛋白质和脂肪共占，根据公式即可计算出这份快餐中蛋白质和脂肪的质量． （2）（方法一）根据矿物质的含量是蛋白质质量，设出矿物质的质量和脂肪的质量，表示出蛋白质的质量，然后根据题意，列出二元一次方程组，通过解方程求出值．（方法二）可以设出矿物质的质量、蛋白质的质量和脂肪的质量3个未知数，根据题意，列出三元一次方程组，解方程求出值． （3）通过计算这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量比，判断是否符合理想比；根据碳水化合物、脂肪、蛋白质的“理想比” ，设出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量，然后根据这三种成分的总质量占300克总质量的列出方程，从而计算出三种成分的质量． 【详解】解：（1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量（克． 故答案为：150． （2）（方法一）设矿物质的质量为克，脂肪的质量为克，则蛋白质的质量为克， 根据题意，得， 解得． 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克． （方法二）设矿物质单元质量为克，蛋白质的质量为克，脂肪的质量为克，碳水化合物的质量为克， 根据题意，得， 解得． 答：这份快餐中脂肪的质量为60克，矿物质的质量为30克． （3）这份快餐的碳水化合物、脂肪、蛋白质的质量分别为120克、60克、90克，这三种成分的质量比为，不符合“理想比”． 设符合“理想比”的碳水化合物的质量为克，脂肪的质量为克，蛋白质的质量为克． 根据题意，得， 解得， 矿物质的质量：（克． 答：符合“理想比”的四种成分中脂肪的质量为15克，矿物质的质量为30克． 方法技巧：图表信息题的解法 解答图表信息题的一般步骤：首先根据图表提供的信息，找出其中存在的等量关系，然后设未知数，列出方程组，再求解。 【典例】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　） A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米）， 故选：D． 【变式12-1】如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是 ．    【答案】75 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【详解】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【变式12-2】如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 【典例】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月） 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 0＜x≤180 a 二档 180＜x≤400 b 三档 x＞400 0.95 （1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量． 【答案】（1）a的值是0.58，b的值是0.66（2）陈女士家5月份的用电量为432度 【解析】 【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可； （2）根据题意先判断出陈女士所用的电所在的档，再设陈女士家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可． 【答案】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：a的值是0.58，b的值是0.66； （2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280， ∴5月份陈女士家用电量超过400度． 设陈女士家五月份用电量为m度，根据题意得： 249.6+（m﹣400）×0.95＝280， 解得：m＝432 答：陈女士家5月份的用电量为432度． 【变式13-1】随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时贵按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 12 10 16 (1)求x，y的值； (2)如果小华也用该打车方式，打车行驶了12公里，用了16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】(1) (2)小华的打车总费用是20元 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，列出方程组进行求解即可； （2）根据收费标准，列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： （2）（元）； 答：小华的打车总费用是20元． 【变式13-2】某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 【答案】(1)起步价为3元，超过3千米后每千米1.5元 (2)付费11.25元 【解析】 【分析】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．根据他们的对话列出方程组并解答； （2）8.5千米分两段收费：3千米、千米．根据（1）中的单价进行计算． 本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 【详解】（1）解：设出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元． 依题意得，， 解得． 答：出租车的起步价是元，超过千米后每千米收费元； （2）解：（元）． 答：小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费元． 【典例】足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 　 　场． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可． 【答案】解：设这支球队胜了x场，平了y场，则 ， 解得 ， 所以球队胜了9场． 故答案为9． 【变式14-1】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【答案】(1)，； (2)无限队的胜场数为场，负场数为场； (3)冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，根据勇士队和超越队的积分列二元一次方程组求解即可； （2）设无限队的胜场数为场，则负场数为场，根据无限队积分为22分列一元一次方程求解即可； （3）设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 由题意得：，解得：， 即胜一场积分，负一场积分， 故答案为：，； （2）解：设无限队的胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得：， ， 答：无限队的胜场数为场，负场数为场； （3）解：设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平， 由题意得：， 解得：， 答：冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【变式14-2】为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数． 【答案】该队获胜7场 【解析】 【分析】设该队获胜x场，平y场，利用总积分＝3×获胜场次数+1×平的场次数，结合“该队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【答案】解：设该队获胜x场，平y场， 依题意得：， 解得：． 答：该队获胜7场． 【典例】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)① 180；；②此时杯子里水的温度为 (2)乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及用代数式表示式等知识． （1）①根据时间乘以流速可求解，用表示即可． ②根据题意列出关于t的一元一次方程求解即可． （2）设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】（1）解：① ， ②由题意得， 解得： 此时杯子里水的温度为 （2）解：设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为． 解得： 答：乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 【变式15-1】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？ 【答案】甲种储蓄存储5000元，乙种储蓄存储3000元 【解析】 【分析】设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元，根据两种存储一共存款8000元结合利息＝本金×年利率即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论． 【答案】解：设甲种储蓄存储x元，乙种储蓄存储y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种储蓄存储5000元，乙种储蓄存储3000元． 【变式15-2】据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 1．一条船顺流航行，每小时行千米；逆流航行，每小时行千米．若设这条船在静水中的速度为，水的流速为，则所列方程组正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【详解】解：设这条船在静水中的速度为，水的流速为， 根据题意得：， 故选：． 2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D． 3．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据定义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是， 补全九宫格如下： x 6 20 22 y 4 18 ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（　　）吨， A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23 【答案】C 【解析】 【分析】设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，由题意：去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【答案】解：设该农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨， 则该农场去年实际生产小麦（1+15%）x吨，玉米（1+10%）y吨， 依题意得：， 解得：， ∴（1+15%）x＝（1+15%）×10＝11.5，（1+10%）y＝（1+10%）×5＝5.5． 即该农场去年实际生产小麦11.5吨，玉米5.5吨， 故选：C． 5．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 【答案】D 【解析】 【分析】设徽章和书签的单价分别是x元，y元，根据费用列方程组直接求解即可得到答案； 【详解】解：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得， ， 解得：， 故选D； 6．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：A． 7．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 8．《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14； 第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31， 所以可列方程为． 故答案为：． 9．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7．如果把这个两位数加上45，结果恰好为原数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，那么原来的两位数是 ． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是，个位数字是，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 则， 解得， 原来的两位数是， 故答案为：． 10．4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货 吨． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出未知数列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设1辆小货车每次能运x吨，1辆大卡车每次能运y吨， ， 得：， ∴， 故答案为． 11．今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是 岁． 【答案】18 【解析】 【分析】设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，根据“今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：18． 12．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示，则桌子的高度为 ． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设长方体木块的长为，高为，而桌子的高度为， 由题意，得 ①－②，得， 解得． 故答案为： 13．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），再建立方程组求解即可． 【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 ∴丙袋的重量为（两）． 答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两． 14． 6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 【答案】甲每小时打包60件，乙每小时打包70件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时打包件、乙每小时打包件，根据“若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设甲每小时打包件、乙每小时打包件， 依题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，符合题意， 答：甲每小时打包60件、乙每小时打包70件． 15．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 16．为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【答案】一班有个同学，领到有棵树苗； 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设一班有x个同学，领到有y棵树苗，根据数量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得， ， 解得， 答：一班有个同学，领到有棵树苗． 17．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． （1）问排球和跳绳的单价各是多少？ （2）元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 【答案】（1）排球的单价是80元，跳绳的单价20元；（2）方案更优惠 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设排球的单价是元，跳绳的单价是元，根据两次订购的数量和费用建立方程组，解方程组即可得； （2）结合（1）的结果，分别计算出两种方案的费用，由此即可得． 【详解】（1）解：设排球的单价是元，跳绳的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价是80元，跳绳的单价20元． （2）解：方案：（元）， 方案：（元）， 因为， 所以方案更优惠． 18．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 19．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 20．学校组织春游，每人车费为4元．下面是七年级（1）班的班长成成与七年级（2）班的班长路路的对话．根据对话内容，七年级（1）班和（2）班各有多少人？ 【答案】七年级（1）班有45人，（2）班有48人 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用．设七年级（1）班有人，（2）班有人，根据“两班共93人”和“二班比你们一班多交了12元的车费”列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设七年级（1）班有人，（2）班有人，根据题意， 得， 解得． 答：七年级（1）班有45人，（2）班有48人． 21．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 22．某次篮球联赛积分榜如表所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 恒大 14 4 10 18 蓝天 14 0 14 14 （1）通过观察积分表，填空： 胜一场得 　 　分，负一场得 　　 分． （2）雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况． （3）联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎． 【答案】（1）2，1（2）雄鹰队胜了11场，负了3场（3）队长在说谎 【解析】 【分析】（1）根据积分表即可确定； （2）设雄鹰队胜了x场，负了y场，根据获得积分25分，列二元一次方程组，求解即可； （3）设该队胜了m场，则负了（14﹣m）场，根据“获得胜场和负场的积分一样多”列方程，即可确定． 【答案】解：（1）根据积分表可知，胜一场得2分，负一场得1分， 故答案为：2，1； （2）设雄鹰队胜了x场，负了y场， 根据题意，得， 解得， 答：雄鹰队胜了11场，负了3场； （3）设该队胜了m场，则负了（14﹣m）场， 根据题意，得2m＝14﹣m， 解得m， ∵m是正整数， ∴该队长在说谎． 23．已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液 (1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）； (2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量． 【答案】(1)（或） (2)甲、乙种酒精溶液的质量分为、 【解析】 【分析】（1）设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液，根据“用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液”列方程，解方程求得，进一步计算即可求解； （2）设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意列二元一次方程组，求解即可. 【详解】（1）解：设甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴甲酒精溶液有，则有乙酒精溶液， 甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有， 故答案为：； （2）解：设甲种酒精溶液为，乙种酒精溶液为，根据题意，得： ， 解得， 答：甲、乙种酒精溶液的质量分别为、． 24．列方程或方程组解应用题 病毒无情，人间有爱．全国医务人员在党中央的号召下，面对疫情，主动请缨，前往湖北支援．北京市属医院首批援助队伍除领队外共135名医务人员，负责5个针对普通感染者的病区和1个针对危重感染者的病区．如果知道针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为．请你计算北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区和负责危重感染者病区的医务人员各有多少人． 【答案】负责普通感染者病区的医务人员共有75人，负责危重感染者病区的医务人员为60人 【解析】 【分析】设每个普通感染者病区负责的医务人员为x人，危重感染者病区的医务人员为y人，根据“共135名医务人员”和 “针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为”建立二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】设每个普通感染者病区负责的医务人员为x人，危重感染者病区的医务人员为y人，依题意得： 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 即每个负责普通感染者病区的医务人员为15人，负责危重感染者病区的医务人员为60人． 答：北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区共有5×15=75人，负责负责危重感染者病区的医务人员有60人 25．中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 【答案】(1)240人 (2)单独租用座客车更合算 【解析】 【分析】（1）设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15个人没座，若租用同样数量的60座客车则多出一辆，其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金每辆车的租金租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据题意得： ， 解得：； 答：学生总人数为人； （2）解：只租用45座，需要6辆，费用：（元）， 只租用60座，需要4辆，费用：（元）， ∵， ∴单独租用座客车更合算． 26．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 27．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 1．（2021•绍兴·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 　 　两． 【答案】46． 【解析】 【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：设有x人，银子y两， 由题意得：，解得， 故答案为46． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，用它解决实际问题时，通过分析问题中的各个量，从而找到相等关系，设适当的未知数，根据相等关系构建方程组。 注意：一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；(2）同类量的单位要统一. 基础练习】 【练习1-1】在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习1-2】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【练习1-3】将浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精混合，制成了浓度为50%的酒精30kg．设浓度为30%的酒精需要，浓度为60%的酒精需要，则列出的方程组为 ． 1.建立二元一次方程组模型 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确 它们之间的相等关系； 设 恰当地设未知数; 列 依据题中的相等关系列出方程组； 解 解方程组，求出未知数的值； 验 检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义; 答 写出答案 列二元一次方程组解应用题的常见类型 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量 产品配套问题 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 利润问题 商品利润＝商品售价－商品进价， 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 数字问题 一般不直接设这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根据数的表示方法表示出这个数. 方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【基础练习】 【练习2-1】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【练习2-2】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【练习2-3】根据小亮与小丽的一段对话，求笔和笔记本的单价． 设未知数的几种常见方法： 1.直接设未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设为方程的未知数，并且求几个设几个， 2.间接设未知数：即设的不是所求量.有些应用题，若直接设未知数，则所列的方程比较复杂，若间接设未知数，则能列出既简单又易解的方程. 3.设辅助未知数：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是帮助列方程，同时为了求出真正的未知数. 【典例】某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，用形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖长和宽分别为cm和cm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．原来两个加数分别是多少？如果设一个加数为，另一个加数为，则根据题意所列的方程组为 ． 方法技巧：找相等关系的基本方法 (1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有“比”“是”“等于”等; (2)根据常见的数量关系，如路程与时间、速度的关系，基本图形的计算公式（如体积公式、面积公式 等)销售问题中的数量关系等； (3)挖掘题目中的隐含条件; (4)借助列表格、画线段示意图等方法找相等关系. 【典例】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【变式2-2】中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？ 【典例】有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【变式3-1】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【变式3-2】风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． （1）甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ （2）若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 解决工作量问题的方法 工作量问题的基本关系：工作量=工作时间×工作效率.有时需把总工作量看做整体1（在后面学习的分式方程中体现较多）. 【典例】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【变式4-1】甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度． 【变式4-2】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 常见的行程问题可分为两大类型：相遇问题和追及问题， （1)相遇问题：相等关系是双方走的路程和等于两地之间的距离． （2)追及问题：①双方同地不同时出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程相等（双方所用的时间不同）.②双方同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间相同）.③双方不同时不同地出发，同向而行，直到后者追上前者，其相等关系是：双方所走的路程之差等于两地之间的距离（双方所用的时间不同). 【典例】“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【变式5-1】某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． （1）列一元一次方程求解． （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 【变式5-2】已知一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和为8．若在其中间加一个0，与原数的和为340，求这个两位数是多少？ 方法技巧：多位数的表示方法 一个两位数，当十位上的数字为，个位上的数字为时，这个两位数就可表示为10+；类似地，当一个三位数百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为时，这个三位数就可表示为10+ +。 【典例】5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【变式6-1】食堂有一批粮食，若每天用去，按预计天数计算，则缺少：若每天用去，则到期后还可余，食堂师傅估计现在有存粮～之间，你能否通过计算检验他的估计是否正确？ 【变式6-2】某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【典例】小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是 ，方程①是 ． 【变式7-1】为促进学生健康成长和全面发展，某校体育组持续推进校园足球普及和提高．下表所示为两次购买足球的品牌、数量和费用： 甲品牌足球的数量/个 乙品牌足球的数量/个 购买总费用/元 第一次 2 5 990 第二次 3 4 960 求甲品牌足球、乙品牌足球销售单价分别是多少元？ 【变式7-2】暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等． (1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价． (2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值． 易错警示：相等关系中的单位未统一就列方程而出错 在列方程组解决实际问题时，往往由于疏忽，忘记统一单位，必须先把单位统一后，再列方程组，否则会出现错误。 【典例】爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【变式8-1】甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【变式8-2】今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【典例】图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中竖式和横式的两种无盖有底纸盒（两个长方体形状大小一样），现在仓库有100张正方形纸板和200张长方形纸板，问竖式纸盒 只和横式纸盒 只，恰好使库存的纸板用完． 【变式9-1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【变式9-2】1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【典例】为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格（元/套） 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元． （1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 　 元； （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题） （3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【变式10-1】小丽购买学习用品的收据如下表，因污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决下列问题． （1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ （2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【变式10-2】某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元． （1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你设计出商场的进货方案； （2）商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？ 【典例】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【变式11-1】请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数． （2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数． 【变式11-2】营养对促进中学生机体健康具有重要意义，现对一份学生快餐进行检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300克． ②快餐的成分：碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质． ③蛋白质和脂肪共占；矿物质的含量是蛋白质含量的；蛋白质和碳水化合物含量共占． 根据上述信息回答下列的问题： （1）这份快餐中蛋白质和脂肪的质量共 　　克； （2）分别求出这份快餐中脂肪、矿物质的质量． （3）学生每餐膳食中主要营养成分“理想比”为：碳水化合物：脂肪：蛋白质，同时三者含量为总质量的．试判断这份快餐中此三种成分所占百分比是否符合“理想比”？如果符合，直接写出这份快餐中碳水化合物、脂肪、蛋白质、矿物质的质量比；如果不符合，求出符合“理想比”的四种成分中脂肪、矿物质的质量（总质量仍为300克）． 方法技巧：图表信息题的解法 解答图表信息题的一般步骤：首先根据图表提供的信息，找出其中存在的等量关系，然后设未知数，列出方程组，再求解。 【典例】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　） A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 【变式12-1】如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是 ．    【变式12-2】如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．   【典例】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月） 阶梯 电量x（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 0＜x≤180 a 二档 180＜x≤400 b 三档 x＞400 0.95 （1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． （2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量． 【变式13-1】随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时贵按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟） 里程数（公里） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 12 10 16 (1)求x，y的值； (2)如果小华也用该打车方式，打车行驶了12公里，用了16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【变式13-2】某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为，超过的部分按每另行收费．小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了，付车费元．”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了，付车费元．” (1)出租车的起步价是多少元？超过公里后每收费多少元？ (2)小明乘出租车从学校到汽车站走了，应付车费多少元？ 【典例】足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了 　 　场． 【变式14-1】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【变式14-2】为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数． 【典例】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【变式15-1】某人以两种形式一共储蓄了8000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为12%，一年后共得利息860元整，问甲、乙两种储蓄存储各多少元？ 【变式15-2】据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 1．一条船顺流航行，每小时行千米；逆流航行，每小时行千米．若设这条船在静水中的速度为，水的流速为，则所列方程组正确的是（        ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则的值是（   ） 6 20 22 A．6 B．7 C．8 D．9 4．某农场去年计划生产小麦和玉米共15吨，实际生产了17吨，其中小麦超产15%，玉米超产10%．该农场去年实际生产小麦、玉米各（　　）吨， A．5，10 B．23，11 C．11.5，5.5 D．11，23 5．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（    ） A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元 6．如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 7．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组 ． 8．《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ． 9．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7．如果把这个两位数加上45，结果恰好为原数的个位数字与十位数字对调后组成的两位数，那么原来的两位数是 ． 10．4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货 吨． 11．今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是 岁． 12．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图（单位：）所示，则桌子的高度为 ． 13．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 14． 6.18期间某网店销量大增，共售出商品520件，安排甲、乙两个工人打包发货，若甲先做2小时，然后两人再共做3小时，则还有10件没有打包；若两人合作4小时，恰好打包完．问甲、乙两个工人每小时各打包多少件商品？ 15．将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    16．为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 17．为适应体育中考评价改革，并满足学生多样化的锻炼需求，某校准备增订排球和跳绳．已知该校第一次购进10个排球，20条跳绳共花费1200元，第二次购进20个排球，10条跳绳共花费1800元． （1）问排球和跳绳的单价各是多少？ （2）元旦期间商店给出两种优惠方案．A方案：买两个排球送一条跳绳；B方案：排球和跳绳都打九折．若学校还需购买30个排球，35条跳绳，请问哪种方案更优惠． 18．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 19．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 20．学校组织春游，每人车费为4元．下面是七年级（1）班的班长成成与七年级（2）班的班长路路的对话．根据对话内容，七年级（1）班和（2）班各有多少人？ 21．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 22．某次篮球联赛积分榜如表所示： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 恒大 14 4 10 18 蓝天 14 0 14 14 （1）通过观察积分表，填空： 胜一场得 　 　分，负一场得 　　 分． （2）雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况． （3）联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎． 23．已知甲，乙两种酒精溶液的浓度分别为90%和30%，某同学用甲，乙两种酒精溶液共恰好配制成75%的酒精消毒液 (1)甲、乙两种酒精溶液中纯酒精有____________（用含字母的式子表示）； (2)若，分别求出甲、乙两种酒精溶液的质量． 24．列方程或方程组解应用题 病毒无情，人间有爱．全国医务人员在党中央的号召下，面对疫情，主动请缨，前往湖北支援．北京市属医院首批援助队伍除领队外共135名医务人员，负责5个针对普通感染者的病区和1个针对危重感染者的病区．如果知道针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的比例为．请你计算北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区和负责危重感染者病区的医务人员各有多少人． 25．中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 26．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 27．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 1．（2021•绍兴·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 　 　两． 2．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 3．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 学科网（北京）股份有限公司 $$