精品解析： 吉林省吉林市永吉县2024-2025学年九年级下学期一模数学试卷

2025年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试卷 本试卷包括六道大题，共22小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解： 的相反数是2， 故选D． 2. 下图是由五个完全相同的小正方体组合成的立体图形，它的俯视图是（ 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是小正方形的堆砌图形的三视图，掌握俯视图的含义是解题的关键．俯视图是从上往下看到的图形，注意能看到的棱都要体现出来，根据概念可得答案． 【详解】解：从上往下看上层看到四个正方形，下层一个正方形， ∴看到的是 故选C． 3. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成的形式，其中， 为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得. 【详解】由科学记数法的定义得： 故答案为：B. 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键. 4. 如图，用尺规作图作线段 的垂直平分线，根据作图痕迹，下列结论正确的个数为（ 　） ①；②；③ ；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，即线段垂直平分线垂直平分线段且线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过线段垂直平分线的定义及性质，可直接判断①②③正确，进而判断，可得④正确． 【详解】解：由题意得， 是线段 的垂直平分线， ，，， ， ， 综上可知，①②③④都正确， 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ 　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此进行计算即可得出答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程， ． ∵， ∴，即， ∴关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 6. 如图， 内接于 ，将沿弦 翻折到 内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质．利用圆内接四边形对角互补的性质求得，再由折叠的性质即可求解． 【详解】解：如图，四边形内接于 ， ∵， ∴， 由折叠的性质知， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 8. 不等式组的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得： ； 所以不等式组的解集为：； 故答案为：． 9. 小红买单价4元的商品m件，若她支付元，则应找回_______元（用含m的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据题意可以用代数式表示应找回的钱数．理解付出的钱数，应付的钱数、找回的钱数之间的关系是关键．付出的钱数减去应付的钱数就是应找回的钱数． 【详解】解：根据题意，买单价4元的商品m件，需要元， 若她支付元，则应找回元． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到， ，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ， ， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 11. 如图，在扇形中，．D，E分别是半径 ，上的点，以， 为邻边的矩形的顶点C在弧 上．若，，则阴影部分图形的周长是__________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形、勾股定理、弧长公式等知识，根据题意和图形，利用勾股定理，可以得到的长，然后即可求得阴影部分图形的周长． 【详解】解∶连接， ∵在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长是 ， 故答案为∶ ． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的乘法．根据完全平方公式进行计算，然后合并同类项即可化简，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解： ． 当时，原式． 13. 2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． （1）小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． （2）用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组， ∴小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组的概率为． 14. 为了更好地满足学生网课需求，某商店购进型和 型两种型号的学生机平板电脑．已知每台型学生机平板电脑的进价比每台 型学生机平板电脑的进价多400元，且用60000元购进型学生机平板电脑与用48000元购进 型学生机平板电脑的数量相同．求每台 型学生机平板电脑的进价． 【答案】1600元 【解析】 【分析】设每台 型学生机平板电脑的进价为x元，则每台A型平板电脑的进价为元，根据所给等量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设每台 型学生机平板电脑的进价为x元， 由题意知：， 化为整式方程为， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 因此每台 型学生机平板电脑的进价为1600元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键，求出解后注意检验． 四、解答题（每题7分，共21分） 15. 如图，在 中，，， F为 延长线上一点，点E在 上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 由（1）知，，可得， ． 16. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m． （1）求动力F与动力臂l的函数解析式； （2）当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】（1）F＝；（2）400牛顿． 【解析】 【分析】（1）直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系； （2）将l=1.5m代入可求出F； 【详解】（1）由题意可得：1200×0.5＝Fl，则F＝， （2）当动力臂为1.5米时，则撬动石头至少需要：F＝＝400（牛顿）， 答：动力臂为1.2米时，撬动石头至少需要400牛顿的力． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用杠杆平衡条件是解题关键． 17. 图①表示的是某书店去年1~5月的各月营业总额的情况，图②表示的是该书店“党史“类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店去年1~5月的营业总额一共是万元，观察图①、图②，解答下列问题： 某书店各月营业总额条形统计图“党史”类书籍的各月营业额占书店 （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）这5个月中___________月份“党史”类书籍的营业额最低，最低金额为___________万元． 【答案】（1） ； 补全统计图如下： （2） （3） ， ． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． （1）根据各组频率之和等于样本容量可求出“4月份”的营业总额，即可补全统计图； （2）根据“5月份”的营业总额以及“党史”所占的百分比进行计算即可； （3）求出各个月份“党史”类书籍的营业额即可． 【小问1详解】 解：“4月份”的营业总额为：（万元）， 图略； 【小问2详解】 （万元）， 答：5月份“党史”类书籍的营业额为万元； 【小问3详解】 1月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 2月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 3月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 4月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 5月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）， 所以3月份“党史”类书籍的营业额最少，最低金额为 万元 故答案为： ， ． 五、解答题（每题8分，共16分） 18. 如图，在热气球上处测得塔顶 的仰角为，测得塔底 的俯角为 ，已知处距地面98米，求塔高 ．（结果精确到米） 【参考数据：，，】 【答案】塔高 约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形． 过点作于点 ，根据得到，再在中，求出 的长． 【详解】解：如图，过点作于点 ． 由题意可知，在中，米， ∴． ∴米． 在中，米， 米， 答：塔高 约为米． 19. 甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，甲车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与乙车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间加工服装的总数量为y（件），加工的时间为x（小时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）乙车间每小时加工服装的件数为______件，这批服装的总件数为______件； （2）求甲车间维修设备后，y与x之间的函数关系式； （3）加工完这批服装860件时所用的时间为_____小时． 【答案】（1）80，1140 （2） （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图像上获取一次函数解析式是解题的关键． （1）从函数图像上获取信息并求解即可． （2）用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）把代入（2）中的解析式求出x即可． 【小问1详解】 解：从图象可知，在小时，甲、乙两车间共加工440件， 在小时，甲、乙两车间共加工280件，则甲、乙两车间每小时加工140件， 那么乙车间在小时这2小时加工的服装数量为（件） 所以乙车间每小时加工服装的件数为（件）， 在小时，则甲、乙两车间加工（件）， 则这批服装的总件数为：（件）． 故答案为：80，1140 【小问2详解】 解：设甲车间维修设备后，y与x之间的函数关系式 ， 把和代入 中，得 解得 ∴ 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， 则加工完这批服装860件时所用的时间为7小时， 故答案为：7． 六、解答题（20题、21题各10分，22题12分，共32分） 20. 如图①，在等腰直角 中，， ，点 为 的中点， ，． 操作感知：线段与的数量关系是___________，位置关系是___________． 猜想论证：如图②，将绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，与 ，分别交于点 ，点 ，以上结论还成立吗？说明理由． 拓展应用：如图③，当时，连接，，若，则四边形的面积为___________． 【答案】操作感知：；； 猜想论证：成立，理由如下： ∵ ，， ， ∴， ∴，； 又∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质； 操作感知：证明得到，，再证明，得到； 猜想论证：证明得到，，再证明，得到； 拓展应用：过 作交 延长线于 ，由得到中，，，再在中利用勾股定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：操作感知： ∵ ，， ， ∴， ∴，； 延长交于N， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； 猜想论证：略 拓展应用：过 作交 延长线于 ， ∵图①，在等腰直角 中，， ，点 为 的中点， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 21. 如图，是 的对角线，，，．动点P从点D出发，以的速度沿 运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线运动到终点C，在，上分别以、的速度运动．过点Q作，交射线 于M，连接 ，以 ，为边作．设点P的运动时间为，与 重合部分图形的面积为． （1）_______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在 边时，_______； （3）求S与t之间的函数关系式； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先表示，可得； （2）如图1，点落在边 上，则，，证明，列比例式得方程，可得 的值； （3）分三种情况①当点在线段上运动时，时，如图2，过点P作于点E，重叠部分图形是，②当点在线段上运动时，时，重叠部分图形是四边形，③当点在线段上运动时，时，重叠部分图形是五边形，根据三角形和四边形面积和与差可得结论； 【小问1详解】 （1）由题意得：， ， ， 故答案为； 【小问2详解】 如图1，点落在边 上，则，， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 ①当点在线段上运动时，时，如图2，过点P作于点E，与 重叠部分图形是， 则． ； ②当点在线段上运动时，时，如图3，与 重叠部分图形是四边形，则， ， ， ∴； ③当点在线段上运动时，， 如图，与 重叠部分图形是五边形， 则，，， ， ∴， ∴， ， ； 综上所述：函数关系式为 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了相似或全等三角形的判定与性质、解一元一次方程、三角形的面积、三角函数及二次函数等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 22. 如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交 轴于点 ． （1）①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． （2）①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数 随 增大而增大时 的取值范围． （3）若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出 的值． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键． （1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解； （2）①先根据反转的性质求出 点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可； （3）结合图像，分两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过和两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式， ②， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为． 【小问2详解】 解： ①当时， ，由对称性可得， 当 时，， 解得，， ，， 设图象的解析式为， 将代入，得， ， ， 图象位于线段 上方部分对应的函数关系式为， ∴图象的解析式为； ②对于，对称轴为，时， 随 增大而增大； 对于，对称轴为，时， 随 增大而增大， ∴ 随 增大而增大时 的取值范围是或． 【小问3详解】 解：如图，直线与图象有 个交点时，有两种情况， 一种情况是直线过点，把代入，得，解得； 另一种情况是直线与相切， 联立方程，消去 得，即， 令判别式，解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业年级阶段性教学质量检测 数学试卷 本试卷包括六道大题，共22小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下图是由五个完全相同的小正方体组合成的立体图形，它的俯视图是（ 　） A. B. C. D. 3. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 4. 如图，用尺规作图作线段 的垂直平分线，根据作图痕迹，下列结论正确的个数为（ 　） ①；②；③ ；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ 　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 6. 如图， 内接于 ，将沿弦 翻折到 内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（ 　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 因式分解：________. 8. 不等式组的解集为________． 9. 小红买单价4元的商品m件，若她支付元，则应找回_______元（用含m的代数式表示）． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 11. 如图，在扇形中，．D，E分别是半径 ，上的点，以， 为邻边的矩形的顶点C在弧 上．若，，则阴影部分图形的周长是__________（结果保留）． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简再求值：，其中． 13. 2025一汽红旗长春马拉松于5月25日鸣枪开赛，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，被随机分配到A“马拉松”，B“半程马拉松”和C“健康跑”三个项目组． （1）小智被分配到A“马拉松”项目组的概率为____________． （2）用画树状图（或列表）的方法，求小智和小慧被分到同一个项目组的概率． 14. 为了更好地满足学生网课需求，某商店购进型和 型两种型号的学生机平板电脑．已知每台型学生机平板电脑的进价比每台 型学生机平板电脑的进价多400元，且用60000元购进型学生机平板电脑与用48000元购进 型学生机平板电脑的数量相同．求每台 型学生机平板电脑的进价． 四、解答题（每题7分，共21分） 15. 如图，在 中，，， F为 延长线上一点，点E在 上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 16. 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m． （1）求动力F与动力臂l的函数解析式； （2）当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ 17. 图①表示的是某书店去年1~5月的各月营业总额的情况，图②表示的是该书店“党史“类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店去年1~5月的营业总额一共是万元，观察图①、图②，解答下列问题： 某书店各月营业总额条形统计图“党史”类书籍的各月营业额占书店 （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）这5个月中___________月份“党史”类书籍的营业额最低，最低金额为___________万元． 五、解答题（每题8分，共16分） 18. 如图，在热气球上处测得塔顶 的仰角为，测得塔底 的俯角为 ，已知处距地面98米，求塔高 ．（结果精确到米） 【参考数据：，，】 19. 甲、乙两车间同时开始加工一批服装，从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，甲车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与乙车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间加工服装的总数量为y（件），加工的时间为x（小时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）乙车间每小时加工服装的件数为______件，这批服装的总件数为______件； （2）求甲车间维修设备后，y与x之间的函数关系式； （3）加工完这批服装860件时所用的时间为_____小时． 六、解答题（20题、21题各10分，22题12分，共32分） 20. 如图①，在等腰直角 中，， ，点 为 的中点， ，． 操作感知：线段与的数量关系是___________，位置关系是___________． 猜想论证：如图②，将绕点 顺时针旋转，旋转角为 ，与 ，分别交于点 ，点 ，以上结论还成立吗？说明理由． 拓展应用：如图③，当时，连接 ， ，若，则四边形的面积为___________． 21. 如图， 是 的对角线，，，．动点P从点D出发，以的速度沿 运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线运动到终点C，在 ，上分别以、的速度运动．过点Q作，交射线 于M，连接 ，以 ，为边作．设点P的运动时间为，与 重合部分图形的面积为． （1）_______（用含t的代数式表示）； （2）当点N落在 边时，_______； （3）求S与t之间的函数关系式； 22. 如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交 轴于点 ． （1）①求抛物线的解析式； ②求二次函数的最小值． （2）①直接写出图象的解析式； ②求当图象所对应的函数 随 增大而增大时 的取值范围． （3）若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $