8.4.2 空间点、直线、平面的位置关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 8.4.2 空间点、直线、平面的位置关系 第八章 立体几何初步 学习目标 1 2 3 了解直线与直线之间的三种位置关系，了解直线与平面之间的三种位置关系，了解平面与平面之间的两种位置关系， 会判断空间直线、平面之间的位置关系，培养直观想象的核心素养 能用图形、文字、符号三种语言形式描述空间点、直线、平面的位置关系，培养数学抽象的核心素养. 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 基本事实1： ——确定平面的主要依据； 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 基本事实2： ——判断直线是否在平面内； 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 基本事实3： ——判断两个平面相交的依据； 判断点在直线上 复习回顾 新课引入 前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等. 空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？ 长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系. 观察 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面. 12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，观察右图所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗? 新知探究 问题1 空间中点与直线的位置关系有几种？空间中点与平面的位置关系有几种？你能结合长方体模型举例说明吗？ 点与直线的 位置关系 点在直线上 点在直线外 例如A∈AB，B∈AB 例如 C ∉AB，D ∉AB 点与平面的 位置关系 点在平面内 点在平面外 例如A∈平面ABCD 例如 C' ∉平面ABCD 新知探究 问题2 观察下图的长方体，棱与直线AB有哪些不同的位置关系？ 共面 棱A'B', C'D', CD与AB平行 棱A'A, AD, B'B, BC与AB 相交 棱A'D', DD', B'C', CC'与AB 异面 追问1 异面直线的定义是什么？ 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 新知探究 追问2 由此你能概括空间中两直线的位置关系吗？ 相交直线 平行直线 共面直线 异面直线 在同一平面内，有且只有一个公共点 在同一平面内，没有公共点. 不同在任何一个平面内，没有公共点. 无公共点 平行 异面 相交 新知探究 问题3 如何在平面上画出异面直线？ 异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托. 如图： a a b a A b b (1) (3) (2) 新知探究 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 a b M 答：不一定. 它们可能异面，可能相交，也可能平行。 思考 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ a b a b 学以致用 教材P131 1. 选择题： (1) 如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b ( ). A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 (2) 设直线a, b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在直线, 则a与b ( ) A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线 D B D C A' B' C' D' A D 2. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，判定直线AB与AC，直线AC与A'C'，直线A'B与AC，直线A'B与C'D的位置关系. 解： 直线AB与AC相交， 直线AC与A′C′平行， 直线A′B与AC是异面直线， 直线A′B与C′D是异面直线. 新知探究 问题4 右图中,直线AB与平面ABCD有多少个公共点?直线AA'与平面ABCD呢？直线A'B'与平面ABCD呢？ B D C A' B' C' D' A 直线与平面的位置关系 直线在平面内—有无数个公共点； 直线与平面相交—有且只有一个公共点； 直线与平面平行—没有公共点. 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 A • α a 当直线与平面相交和平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. 学以致用 教材P131 3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l // α．(　) (2) 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．(　) (3) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．(　) (4)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．( ) × × × √ 新知探究 问题5 下图中，平面ABCD与平面A'B'C'D'有多少个公共点？平面ABCD与平面BCC'B'呢？ 两个平面平行——没有公共点； B D C A' B' C' D' A 两个平面相交——有一条公共直线. 平面与平面的位置关系 α β α // β α β l α∩β=l α l 注意：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 新知探究 探究 如图，在长方体ABCD-A中，连接AB，DC，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系． 直线A'B与直线A'A相交 直线A'B与直线D'C平行 直线A'B与直线DC异面 平面A'ADD'∩平面A'BCD'=直线A'D' 平面A'ADD'//平面B'BCC' 直线A'B 平面A'BCD' 直线A'A∩平面A'BCD'=A' 直线AD//平面A'BCD' 典例分析 例1 如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. (1) α β a l A • B • (2) α β a l P • b 分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 解： 新知探究 例2 如下图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a. 直线AB与a具有怎样的位置关系? 为什么? B • α a A • 直线AB与a是异面直线. 理由如下： 若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行. 解： 设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β. 由推论1可知经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合. 从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾. 所以直线AB与a是异面直线. 判断两直线是异面直线的方法： 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。 学以致用 教材P131 4. 已知直线a, b, 平面α, β, 且a⊂α, b⊂β, α // β. 判断直线a与b的位置关系? 并说明理由. 直线a与b是平行直线或异面直线. 理由如下： 由a⊂α, b⊂β, 且α // β，可知a与b没有公共点. 解： 因为若a与b有公共点，那么这个点也是平面α与 β的公共点. 这与α // β矛盾. 所以直线a与b是平行直线或异面直线. b a α β 能力提升 题型一 空间中两条直线的位置关系 例题 1. 一条直线和两条异面直线中的一条直线平行，则它和另一条直线的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面 [解析] 如图1所示,直线与直线为异面直线，其中此时直线与直线为相交直线； 图1 图2 如图2所示,直线与直线为异面直线,其中此时直线与直线为异面直线. 综上，一条直线与两条异面直线中的一条直线平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面. D 能力提升 题型一 空间中两条直线的位置关系 例题 2. 如图，在正方体中,求证：与是异面直线. 证明 几何体 是正方体， ， ，不共面. 假设和不是异面直线， 则存在平面，使平面，平面， ，，，这与，，，不共面矛盾. 假设不成立，即与是异面直线. 方法总结 异面直线的判断方法 能力提升 能力提升 题型二 空间中直线与平面的位置关系 例题 3. 下列命题中，真命题的个数为( ) ①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行； ②若直线在平面外，则直线与平面平行； ③若直线经过平面外的两点，则直线与平面平行； ④若直线既不在这个平面内，又不与这个平面相交，则直线与平面平行. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析] ①符合线面平行的定义，故①为真命题； 直线在平面外等价于直线与平面平行或相交，故②为假命题； 例如,过平面外两个点的直线(如图)与平面相交,故③为假命题； 由②的分析知④为真命题. B 能力提升 题型二 空间中直线与平面的位置关系 例题 4. 如图，在正方体中，是的中点，则直线与平 面的位置关系是______，直线与平面的位置关系是______. 相交 平行 [解析] 在平面 中，四边形 是梯形， 且 ， 是两腰，则直线与直线相交， 平面， 直线与平面相交. 在正方体中，平面 平面 平面 ， 平面 . 解题感悟 能力提升 在判断空间中直线与平面的位置关系时，可以根据图形有无公共点和公共点的个数来判断，也可以借助空间图形，把要判断关系的直线与平面放在某些具体的空间图形中，以便作出正确判断，避免凭空臆断. 能力提升 题型三 空间中平面与平面的位置关系 例题 5. 下列结论正确的是( ) A. 两个平面如果有公共点，那么这两个平面一定相交 B. 两个平面的公共点一定共线 C. 两个平面有3个公共点，则这两个平面一定重合 D. 两个平面没有公共点，则这两个平面平行 [解析] 当两个平面重合时，A，B中结论错误； 若两个平面相交，则有一条交线，在交线上任取三个点都是这两个平面的公共点，故C中结论错误； 如果两个平面没有公共点，那么这两个平面一定平行，故D中结论正确. D 能力提升 题型三 空间中平面与平面的位置关系 例题 6. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点， 求证：平面 与平面 相交. 证明 因为在矩形中，为的中点，所以与不平行， 则的延长线与的延长线相交于一点，设此点为，如图， 所以， . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以平面 与平面 相交. 课堂小结 空间点、直线、平面之间的位置关系 点与直线的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 点在直线上 点在直线外 点与平面的位置关系 点在平面内 点在平面外 相交 平行 异面 在面内 相交 平行 相交 平行 一个公共点 没有公共点 没有公共点 无数公共点 一个公共点 没有公共点 无数公共点 没有公共点 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 [练习]已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是____________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是____________. $$