专题05 游戏、比赛等问题中随机变量的分布列（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题05 游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 基础比赛型】 2 【题型二 复杂条件比赛型】 5 【题型三 多人比赛型】 11 【题型四 传球问题】 18 【题型五 压轴能力测评（12题）】 21 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 【题型一 基础比赛型】 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制.已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为. (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）依题意可知前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率； （2）由题意，的可能取值为3、4、5， 所以； ； . 所以的分布列为 . 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 【答案】(1) (2)甲第一局选择和乙比赛 【分析】（1）分两种情况，根据三局比赛的胜负情况，结合独立事件概率公式，即可求解； （2）分三种情况讨论甲最终获得冠军的概率，可得出结果. 【详解】若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况： ①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ； ②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ， 所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 . 若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜， 所以甲能获得冠军的概率为 ， 若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为 ， 若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第问的结果 ， 因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，互斥事件的概率加法公式，考查学生的分析与运算能力，属于中档题. 3．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）现有甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，且，有以下两种比赛规则供使用：①三局两胜即有一方先胜2局即获胜，比赛结束；②五局三胜即有一方先胜3局即获胜，比赛结束 (1)如果采用“三局两胜”，当时，求乙获胜的概率； (2)试判断在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大？并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用独立重复事件的概率公式计算得乙胜的概率即可； （2）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出两种比赛规则下甲胜的概率，由作差法比较大小得在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大. 【详解】（1）记在“三局两胜”比赛规则下，当时，乙获胜为事件A， 则， 则采用“三局两胜”，当时，乙获胜的概率为. （2）记在“三局两胜”比赛规则下，甲获胜为事件， 则， 记在“五局三胜”比赛规则下，甲获胜为事件， 则， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，在“三局两胜”比赛规则下，甲胜的概率较大， 当时，在两种比赛规则下，甲胜的概率相等， 当时，在“五局三胜”比赛规则下，甲胜的概率较大. 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件概率乘法公式分别求出两种比赛规则下甲胜的概率，由作差法比较大小得在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大是本题解题关键所在. 【题型二 复杂条件比赛型】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川泸州·期中）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平局的概念，列举出所包含的情况，利用概率的乘法公式，可得答案； （2）根据第一阶段的规则，列举出符合题意的比分，利用概率的乘法公式以及加法公式，可得答案. 【详解】（1）每一轮出现平局的情况包括：事件{甲乙两队都进球}和事件{甲乙两队都不进}， ，，， 所以每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为. （2）在第三轮比完之后，甲乙两队分差小于三分，就必须要进行第四轮， 第三轮符合题意的情况包括：事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}， 则，，； 在第四轮比完之后，甲乙两队分差小于两分，就必须进行第五轮， 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}， 则； 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}， 则； 在事件发生的条件下，第四轮过后符合题意的情况有事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}、事件{甲乙的比分为}， 则，，； 综上所述，甲队暂时以领先，甲队第5个球员需出场罚球的概率 . 2．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望； （3）依题意，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则； （2）依题意的可能取值为， 所以， ， ， . 所以的分布列为 所以的期望为. （3）依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，最大值为 【分析】（1）由甲选手恰好在第4局赢得比赛可得各场比赛结果，即可得答案； （2）由题可得X的值可能为2，4，5，据此可得分布列及，后由基本不等式结合二次函数单调性可得最大值. 【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平. 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲. 对应概率为：； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲. 对应概率为：. 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为； （2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且. 又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙， 则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲， 甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则. 则对应分布列为： X 2 4 5 则. 注意到， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)丙先参赛，理由见解析 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【详解】（1）（i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 【题型三 多人比赛型】 一、解答题 1．（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【答案】(1)乙 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论， （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 因为，所以， 所以乙进入决赛的概率最大， 所以乙进入决赛的可能性最大． （2）当时，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为， 根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得； ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 2．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）分别求出与在第1,2,3轮对决且胜利的概率，最后相加即可； （3）求出没有与对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可. 【详解】（1）夺冠即为三轮比赛都获胜，所以夺冠的概率为． 由题意，七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1． 所以七名运动员各自夺冠的概率均为． （2）记事件＂获得冠军＂，事件＂与对决过＂，事件“与在第轮对决”，． 不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧． ， ， ， ， 所以. （3）记事件“与对决过”． 没有与对决过且最后获得冠军的概率． 由题意，六名运动员与对决过的概率相同，夺冠时共与三名运动员对决． 所以． 代入得：． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用全概率公式计算出相关概率. 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）首届奥林匹克电竞周于2024年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事.首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛.然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验.以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害.已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下： 第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组. 第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组. 第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名. 第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军. 假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问： (1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？ (2)已知队伍B在上述赛事后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知得获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. （2）用字母表示出相关事件，将所求概率的事件进行分拆并计算出概率，再利用条件概率公式进行求解. 【详解】（1）依题意，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利， 失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵， 所以所求的概率为. （2）设表示队伍在比赛中胜利，表示队伍在比赛中失败， 设事件：队伍获得亚军，事件：队伍所参加的所有比赛中败了两场， 则事件包括，且这五种情况彼此互斥， 于是 ， 事件包括，且这两种情况互斥， 则， 因此， 所以队伍在败两场的情况下获得亚军的概率为. 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 4．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）第19届亚运会已于2024年9月23日至10月8日举办，该届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．如图，假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)， (2)． (3)双败赛制下对强者更有利． 【分析】（1）由AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出和CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）求得淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为，利用相互独立事件的概率公式，分两种情况讨论，即可求得“双败赛制”赛制下，A获得冠军的概率；． （3）令，结合，得到，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意得，若A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， A获得冠军的概率为， 若C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， C获得冠军的概率为． （2）解：淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，A获得冠军的概率． （3）解：令， 若A为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利． 5．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 【题型四 传球问题】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮. (1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”. （i）求及事件的概率; （ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望; (2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大? 【答案】(1)（i），；（ii）分布列见解析，. (2)答案见解析 【分析】（1） （i）球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则，结合，解出即可. （ii）由条件可得，运用二项分布的概率公式和期望公式求解概率即可． （2）将乙丙两次持球的概率求出来后，用作差法比较大小即可． 【详解】（1）（i）由题意，球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则， 当解得．则． （ii）由条件可得的取值有，且， 所以，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 从而． （2）， 又， 当，则，乙、丙两人两次持球的可能性一样大； 当，即时，，乙两次持球的可能性更大； 当，即时，，丙两次持球的可能性更大． 2．（23-24高二下·四川乐山·期末）某校篮球队举行投篮与传球训练： (1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; (2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意写出所有可能的取值，分别求出概率，列出分布列，进而求出数学期望； （2）传了次球后，球在甲手上的概率，则当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，由条件确定和的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】（1）根据题意可知，的可能取值为， 由题意可知，， ，， ， 所以的分布列为 所以. （2）由题意传了次球后，球在甲手上的概率， 则，， 当时，传了次球后，球在甲手上的概率为，球不在甲手上的概率为， 则，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）甲，乙，丙，丁四人相互做传球训练．每人控制球时都等可能将球传给其他三人． (1)若先由甲控制球，记次传球后球在甲手中的概率为 ①求的值； ②求与的关系，并求； (2)若丁临时有其他任务，甲，乙，丙继续训练．当甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；当乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；当丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙控制球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1)①；②，； (2)分布列见解答； 【分析】（1）①易求；②易得，进而可得是公比为，首项为的等比数列，求解即可； （2）的所有可能取值为，分别求出对应概率，即可求得分布列，进而可求数学期望. 【详解】（1）①易知； ②当次传球后球不在甲手中的概率为， 所以次传球后球在甲手中的概率， 可得， 所以数列是公比为，首项为的等比数列， 所以，所以； （2）由题意可知的所有可能取值为， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 . 【题型五 压轴能力测评（12题）】 一、解答题 1．（2024·陕西西安·三模）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)求投掷3次骰子后球在乙手中的概率； (2)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）分三类：第一类是第一次甲保留，第二次甲保留，第三次甲传给乙；第二类是第一次甲传给乙，第二次乙传给甲，第三次甲传给乙；第三类是第一次甲传给乙，第二次乙传给丙，第三次丙传给乙求解； （2）易得X的可能取值为：0，1，2，3，再利用独立事件的概率公式求得其相应概率，列出分布列，然后求期望. 【详解】（1）解：由题意得；若投掷3次骰子后球在乙手中， 第一类是第一次甲保留，第二次甲保留，第三次甲传给乙，其概率为：； 第二类是第一次甲传给乙，第二次乙传给甲，第三次甲传给乙，其概率为； 第三类是第一次甲传给乙，第二次乙传给丙，第三次丙传给乙，其概率为； 所以投掷3次骰子后球在乙手中的概率为：； （2）由题意得，X的可能取值为：0，1，2，3， 则， ， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率； (2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）将事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”分为“教师胜高二且教师平高一”、“教师胜高二且教师负高一”、“教师平高二且教师负高一”，进而可得； （2）由题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，先求随机事件对应的概率进而可得其分布列与期望. 【详解】（1）设事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为3分”， 事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为1分”， 事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分为0分”， 事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为3分”， 事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为1分”， 事件“教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分为0分”， 事件“教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分”， ，，， 则， 教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率为． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4，6． ，， ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 4 6 ． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）求出甲随机搭配的样本空间、样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，根据相互独立事件、互斥事件的概率加法公式计算可得答案； （2）求出的所有可能取值和相应的概率求出分布列、期望即可. 【详解】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间， 有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功， 则； （2）根据题意，的所有可能取值为； 其中， ，， ，， ， ， 变量的分布列为： 0 2 4 6 8 10 12 所以期望． 4．（24-25高三上·贵州黔南·期末）某同学参加射击俱乐部射击比赛，每人最多有三次射击机会，射击靶由内环和外环组成，若击中内环得10分，击中外环得5分，脱靶得0分．该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立，只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛． (1)在该同学最终得分为10分的情况下，求该同学射击了2次的概率； (2)设该同学最终得分为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设“该同学第次射击击中内环”为事件；“该同学第次射击击中外环”为事件；“该同学第次射击脱靶”为事件．“该同学最终得分为分”为事件，“该同学射击次”为事件．则，，结合概率乘法公式和加法公式求，再由条件概率公式求结论. （2）由条件，确定的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）设“该同学第次射击击中内环”为事件；“该同学第次射击击中外环”为事件； “该同学第次射击脱靶”为事件．“该同学最终得分为分”为事件， “该同学射击次”为事件． 由题意知， 且， ． （2）由题意可知的可能取值有， 则； ； ； ； ； ； ． 的分布列为 0 5 10 15 20 25 30 数学期望． 5．（2025·福建漳州·模拟预测）某校开展“强国知识”挑战赛，比赛分为两轮，规则如下： ①第一轮为“时事政治”试题，共3道试题，至少正确回答2道，才能进入第二轮，否则挑战失败；第二轮为“科普知识”试题，共3道试题，也要至少正确回答2道才能算挑战成功，否则挑战失败（进入比赛轮次后，该轮次中所有题目均需要作答）；两轮都挑战成功，可以获得“强国小能手”称号； ②每个参赛组由两人组成，作答方案有两个：第一种方案是在第一轮和第二轮中，两人依次轮流答题（例如：甲先回答第一轮第一题，则乙回答第一轮第二题；甲再回答第一轮第三题；若进入第二轮，则由乙回答第二轮第一题甲回答第二轮第二题，乙再回答第二轮第三题）；第二种方案是由参赛两人分别回答第一轮所有试题和第二轮所有试题（如甲回答第一轮所有试题，则乙回答第二轮的所有试题） 已知某小组由甲、乙两名同学组成，甲同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为；乙同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为． (1)若该小组采用第一种方案答题，且甲先回答第一轮中的第一题． （i）求该小组在第一轮中就挑战失败的概率． （ⅱ）已知该小组获得“强国小能手”称号，求甲正确回答了3道试题的概率． (2)无论采用哪一种作答方案，第一轮第一题均由甲作答，以该小组获得“强国小能手”称号的概率大小为决策依据，应该选择哪一种作答方案？并说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)选择第二种作答方案，理由见解析 【分析】（1）记事件→（i）该小组第一轮挑战成功的概率第一轮挑战失败的概率；（ⅱ）结合（i）得得解； （2）计算第二种作答方案下，两轮都挑战成功的概率→结合（1）（ⅱ）中采用第一种方案作答两轮都挑战成功的概率，两者进行比较→概率值大的即为选择的作答方案． 【详解】（1）记“甲在第i轮正确回答第j道题”为，“乙在第i轮正确回答第j道题”为， 采用第一种方案答题且甲先答题时该小组第一轮比赛至少正确作答2道题的概率为，该小组在第二轮中至少正确作答2道题的概率为， （i）依题意， ， 则采用第一种方案答题且甲先答题时，该小组在第一轮中就挑战失败的概率为． （ii）结合（ⅰ）得 ． 记“采用第一种方案答题且甲先答题时，该小组两轮都挑战成功”为事件M， 则， 记“采用第一种方案答题且甲先答题时，甲正确回答了3道试题”为事件N， ． 又 ， 则． （2）选择第二种作答方案，甲在第一轮中至少正确作答2道题的概率， 乙在第二轮中至少正确作答2道题的概率． 采用第二种作答方案，两轮都挑战成功的概率． 结合（1）（ii）知， 则， 所以选择第二种作答方案该小组获得“强国小能手”称号的可能性更大． 6．（2025高三·全国·专题练习）2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 【答案】(1)27 (2)甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛，理由见解析 【分析】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为，根据题意列出方程求解即可求解； （2）求出甲的参赛方案，对所有方案依次分析即可. 【详解】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为， 则，解得， 即全校获得参加决赛资格学生的总人数为27； （2）由题意，甲的参赛方案有三种： 方案1：选择3道航空类试题， 方案2：选择2道航空类试题和1道航天类试题， 方案3：选择1道航空类试题和2道航天类试题， 对于方案1：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为， 且，所以， 对于方案2：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，30，40， 则， ， ， ， ，所以， 对于方案3：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，50，60， 则， ， ， ， ， ，所以． 因为， 所以甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛． 7．（23-24高二下·河南洛阳·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为； (1)求； (2)求； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）记“经过n次传球后，球在乙手中”，利用全概率公式计算即可； （2）设次传球后球在手乙中的概率为，得到，化简整理得，即，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）记“经过n次传球后，球在乙手中”，， 当时，， 当时， 当时， （2）由 ， 即， ∴， ∴是首项为，公比为的等比数列， ∴ ∴ 8．（24-25高二上·四川成都·期中）在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. (1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； (2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率； (3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)得冠军的概率分别为与 ，“双败淘汰制”对高二夺冠有利 【分析】（1）由题意可得高二两场全输，计算其概率即可得； （2）由题意可得高二后三场全胜，结合每轮的对手及胜率计算即可得； （3）在“双败淘汰制”下，分别计算高二全胜、只输了第一场与只输了第二场的概率，求和即可得其夺冠概率；在“单败淘汰制”下，高二需全胜，计算其概率即可得其夺冠概率；比较两者概率大小，即可得解. 【详解】（1）设高二在第场比赛获胜的事件为， 由高二比赛的场次是2场，则高二两场全输， 则； （2）由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军， 则； （3）在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场， 若高二全胜，其概率为， 若高二只输了第一场，则， 若高二只输了第二场，则， 则高二获得冠军的概率为； 在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则， 由，故，故“双败淘汰制”对高二夺冠有利. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于计算“双败淘汰制”下高二获得冠军的概率需要分全胜、只输了第一场与只输了第二场的情况进行计算. 9．（24-25高三下·北京·开学考试）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见详解； (3)两队积分相等的概率小于 【分析】（1）根据题意利用频率估计概率即可； （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解； （3）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解． 【详解】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为， 用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 可得：，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望． （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2， 因两队积分相等，所以，即，则， 而， ， ， 所以 ， 因为，所以两队积分相等的概率小于. 10．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）2024年10月5日晚，杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列： (2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记次传球后球在李梦手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 【答案】(1)分布列见解析 (2)①，，；②，. 【分析】（1）依题意可知的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）①利用古典概型的概率公式计算可得；②记表示事件“经过次传球后，球在李梦手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式. 【详解】（1）依题意可知的可能取值为、、， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 . （2）①若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练， 且第1次由李梦将球传出，次传球后球在李梦手中的概率为， 则有，，. ②记表示事件“经过次传球后，球在李梦手中”，则， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即次传球后球在李梦手中的概率. 11．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对前三轮逐一分析，结合全概率公式及条件概率公式，互斥事件的加法公式即可求解； （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为，利用全概率公式得出之间的关系，从而转化为的递推公式，最后再利用构造法求的通项； （3）利用第二问的结论结合全概率公式即可求解； 【详解】（1）因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打． 因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打，则第2轮比赛甲只能和丁对打． 第2轮比赛甲、丁对打的概率为． 若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁，丙胜乙，或丁胜甲，乙胜丙． 故所求概率为． （2）设在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， ①． 在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第n轮比赛中，甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打， 所以②．同理可得③，④ 由①②可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ③-④得，设，则， 因为，所以，即， . （3）设在第n轮比赛中，甲获胜的概率为，． 【点睛】关键点点睛；本题属于概率与数列相结合的综合题，本题的关键点是如何利用全概率公式得出之间的表达式，其次是如何得出的递推式，比较抽象，难度较大. 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】(1) (2)甲先派出； (3) 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【详解】（1）设事件表示该小组获胜， 则， 所以该小组初赛胜利的概率为， （2）若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则，，， 此时， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲. （3）由题意可得，， 则， 令， 则， 令， 所以当时，，为减函数， 当时，，为增函数，所以，所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是用代换，得到，再构造函数求导分析即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 基础比赛型】 2 【题型二 复杂条件比赛型】 3 【题型三 多人比赛型】 4 【题型四 传球问题】 6 【题型五 压轴能力测评（12题）】 8 一、游戏、比赛等问题中随机变量的分布列 1、多人比赛或者传球模型，一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别，及概率运算，离散型随机变量的分布列和期望，如果符合常见的二项分布，超几何分布等等分布，直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多，可以进行罗列方式进行分类讨论计算 2、 比赛模式，要考虑以下可能情况： （1）比赛几局？ （2）“谁赢了”； （3）有没有平局 （4）赢了的必赢最后一局； （5）比赛为啥结束？ 3、常见比赛问题注意事项 ①在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用． ②与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ． ③在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小． ④有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布． 【题型一 基础比赛型】 一、解答题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制.已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为. (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列及数学期望. 2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束. (1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率； (2)请帮助甲进行第一局的决策甲乙、甲丙或乙丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大. 3．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）现有甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，且，有以下两种比赛规则供使用：①三局两胜即有一方先胜2局即获胜，比赛结束；②五局三胜即有一方先胜3局即获胜，比赛结束 (1)如果采用“三局两胜”，当时，求乙获胜的概率； (2)试判断在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大？并说明理由． 【题型二 复杂条件比赛型】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川泸州·期中）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率． 2．（23-24高二下·广东江门·期末）某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． (1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 (3)在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立. (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率. (2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【题型三 多人比赛型】 一、解答题 1．（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 2．（2025·湖北武汉·二模）有，，，，，，，八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军、八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，运动员与其它运动员对决时，获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立． (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率； (2)求与对决过且最后获得冠军的概率； (3)求与对决过且最后获得冠军的概率． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）首届奥林匹克电竞周于2024年6月22日至25日在新加坡举行，这是国际奥委会旗下首个以“电子竞技（ESPORTS）”命名的线下赛事.首届奥林匹克电竞周的设项非常谨慎，十款官方竞赛游戏相当于虚拟的射箭、棒球、国际象棋、自行车、舞蹈、赛车、帆船、射击、跆拳道和网球比赛.然而，与英雄联盟、王者荣耀、和平精英等杭州亚运会电竞项目相比，这十款游戏由国际奥委会、国际单项体育联合会以及游戏开发商基于真实体育运动规则和场景开发，通过虚拟现实技术来获得沉浸式运动体验.以虚拟跆拳道比赛为例，我国跆拳道奥运冠军吴静钰也受邀参赛，她将通过头戴式VR设备以及身上的感应装置，与对手在虚拟世界进行一对一非接触式比赛，不必担心现实中的风险和伤害.已知该项赛事的后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下： 第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组. 第二轮：胜者组的两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组：第一轮落入败者组的两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组. 第三轮：败者组的两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）：获胜队伍成为败者组第一名. 第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军. 假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立.问： (1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？ (2)已知队伍B在上述赛事后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率. 4．（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）第19届亚运会已于2024年9月23日至10月8日举办，该届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．如图，假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？ 这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下， A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示）； (3)根据第2问的结果简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 5．（24-25高二上·江西九江·期末）“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【题型四 传球问题】 一、解答题 1．（23-24高二下·云南昆明·期末）如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮. (1)已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”. （i）求及事件的概率; （ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望; (2)已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大? 2．（23-24高二下·四川乐山·期末）某校篮球队举行投篮与传球训练： (1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为；投进一个花球得2分，花球投进的概率为．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为，求的分布列和期望; (2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了次球后，球在甲手上的概率． 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）甲，乙，丙，丁四人相互做传球训练．每人控制球时都等可能将球传给其他三人． (1)若先由甲控制球，记次传球后球在甲手中的概率为 ①求的值； ②求与的关系，并求； (2)若丁临时有其他任务，甲，乙，丙继续训练．当甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；当乙控制球时，传给甲和丙的概率均为；当丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙控制球的次数为，求的分布列与期望． 【题型五 压轴能力测评（12题）】 一、解答题 1．（2024·陕西西安·三模）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)求投掷3次骰子后球在乙手中的概率； (2)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望. 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立． (1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率； (2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 4．（24-25高三上·贵州黔南·期末）某同学参加射击俱乐部射击比赛，每人最多有三次射击机会，射击靶由内环和外环组成，若击中内环得10分，击中外环得5分，脱靶得0分．该同学每次射击，脱靶的概率为，击中内环的概率为，击中外环的概率为，每次射击结果相互独立，只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛． (1)在该同学最终得分为10分的情况下，求该同学射击了2次的概率； (2)设该同学最终得分为X，求X的分布列和数学期望． 5．（2025·福建漳州·模拟预测）某校开展“强国知识”挑战赛，比赛分为两轮，规则如下： ①第一轮为“时事政治”试题，共3道试题，至少正确回答2道，才能进入第二轮，否则挑战失败；第二轮为“科普知识”试题，共3道试题，也要至少正确回答2道才能算挑战成功，否则挑战失败（进入比赛轮次后，该轮次中所有题目均需要作答）；两轮都挑战成功，可以获得“强国小能手”称号； ②每个参赛组由两人组成，作答方案有两个：第一种方案是在第一轮和第二轮中，两人依次轮流答题（例如：甲先回答第一轮第一题，则乙回答第一轮第二题；甲再回答第一轮第三题；若进入第二轮，则由乙回答第二轮第一题甲回答第二轮第二题，乙再回答第二轮第三题）；第二种方案是由参赛两人分别回答第一轮所有试题和第二轮所有试题（如甲回答第一轮所有试题，则乙回答第二轮的所有试题） 已知某小组由甲、乙两名同学组成，甲同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为；乙同学正确回答第一轮、第二轮中的每道试题的概率分别为． (1)若该小组采用第一种方案答题，且甲先回答第一轮中的第一题． （i）求该小组在第一轮中就挑战失败的概率． （ⅱ）已知该小组获得“强国小能手”称号，求甲正确回答了3道试题的概率． (2)无论采用哪一种作答方案，第一轮第一题均由甲作答，以该小组获得“强国小能手”称号的概率大小为决策依据，应该选择哪一种作答方案？并说明理由． 6．（2025高三·全国·专题练习）2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 7．（23-24高二下·河南洛阳·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．设n次传球后球在乙手中的概率为； (1)求； (2)求； 8．（24-25高二上·四川成都·期中）在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组. (1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率； (2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率； (3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由. 9．（24-25高三下·北京·开学考试）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立. (1)估计甲队每局获胜的概率； (2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望； (3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）. 10．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）2024年10月5日晚，杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． (1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列： (2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记次传球后球在李梦手中的概率为， ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 11．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现．已知甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为，每组比赛的结果相互独立． (1)求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； (2)求在第n轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； (3)求在第n轮比赛中，甲获胜的概率． 12．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； (2)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$