特训06 期中解答题压轴题（八大题型，最新上海精选+其他补充）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训06 期中解答题压轴题（八大题型，最新上海精选+其他补充） 目录： 题型1：平行线 题型2：平行线—情景探究+数学活动题 题型3：平行线—射线或光束转动问题 题型4：平行线—新定义题 题型5：三角板问题 题型6：三角形的有关概念、内角和综合（上海+其他精选） 题型7：一元一次不等式的实际应用（上海+其他精选） 题型8：一元一次不等式（组）代数综合（其他精选） 题型1：平行线 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【解析】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 由（1）可得：， ； （3）解：由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案； （2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可． 【解析】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据可得，，然后利用角的和差解题即可； （2）过点P作，则有，即可得到，然后利用垂直的定义解题即可； （3）过点G作，即可得到得到，，然后根据交的和差解题即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 解得， ， ， 由平移知，， ， ， ， ； （3）解：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 如图，：过点G作， ∵将线段沿直线平移，得到线段，， ∴ ∴，， 又∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 4．（23-24七年级下·上海·期中）如图1，直线与直线分别交于点与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的大小不会发生变化，其值为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）根据邻补角可得，即可； （2）根据，可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （3）根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由平分，可得，即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵与互补，与互为邻补角， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，其值为． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1)110 (2)80 (3)， (4) 【分析】（1）过点作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，通过等量代换即可求出的度数． （2）过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，，利用已知条件，通过等量代换即可求出的度数，从而求出度数． （3）利用第一问的方法推出，结合角平分线的定义即可推出，从而求出的度数；利用相同的方法，求出和的度数，发现之间规律，从而求出度数． （4）过点作，利用两直线平行，内错角和同位角相等，推出，，结合外角定义，利用已知条件，通过的呢过量代换即可求出与的数量关系． 【解析】（1）解：过点作，如图所示， ， ． ，， ，， ． 故答案为: 110． （2）解：过点作，过点作，如图所示， ， ． ，，． ， ，， ． ，，， ． 故答案为： 80． （3）解：过点作，如图所示， ， ． ，， ， ． 平分，平分， ，． ． ，， ． 按照上述方法可知，平分，平分， ． 同理可得，． ． 故答案为：，． （4）解：过点作交于点，如图所示， ，， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线，外角定义，解题的关键在于学会掌握过拐点作平行线以及通过求角度，发现角度之间的规律问题． 题型2：平行线—情景探究+数学活动题 6．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【解析】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【解析】（1）解：过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 9．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【解析】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 题型3：平行线—射线或光束转动问题 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【解析】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 11．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)①；；②30 (3)不发生变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）①根据路程速度时间即可求出； ②若，则，又，所以，所以，进而求解； （3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【解析】（1）解：，， ， 故答案为：60． （2）解：①设灯转动秒， 则，， 故答案为：；． ②若，则， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：30． （3）解：不发生变化，，理由如下： 设灯射线转动时间为秒， ， ， 又， ， 而， ， ， 即． 题型4：平行线—新定义题 12．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 【答案】问题1：，理由见解析；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的公理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和公理 根据平行线的性质和公理即可解答 【解析】解：问题1： ，理由如下： 过点P作，如图所示： ， ， 又， ， ， ； 问题2：过点Q作如图所示： ，， ， 由问题1结论可知：， ， ， ， ； 问题3： 过点作如图所示： , 同理可得：， 故答案为： 13．（23-24七年级下·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可； ②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解． 【解析】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360， 解得，x=60， ∠H的4系补周角的度数为60°， 故答案为：60； （2）解：①过E作EF∥AB，如图1， ∴∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，∠D=60°， ∴∠D=∠DEF=60°， ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF， 即∠B+60°=∠BED， ∵∠B是∠BED的3系补周角， ∴∠BED=360°-3∠B， ∴∠B+60°=360°-3∠B， ∴∠B=75°； ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 题型5：三角板问题 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上， ①易知AB//CD，理由是____________________________； ②求出∠BOC的度数； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到∠OA'B'，当∠为多少度时，OB'平分； （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案    【答案】（1）①旁内角互补，两直线平行；②75°；（2）105°；（3）105°或285° 【分析】（1）①由同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD； ②由平角的性质可求解； （2）由旋转的性质可得∠AOB=∠A'OB'=45°，由角的数量关系可求解； （3）分两种情况讨论，由平行线的性质可求解． 【解析】（1）①∵∠BAO=∠CDO=90°， ∴∠BAO+∠CDO=180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行； ②∵∠AOB=45°，∠COD=60°， ∴∠BOC=75°； （2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′， ∴∠AOB=∠A'OB'=45°， ∵∠COD=60°，OB′平分∠COD， ∴∠COB'=30°， ∴∠COA'=∠A'OB'-∠COB'=15°， ∴∠A'OB=∠COB-∠COA'=60°， ∴∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=105°； （3）当A'B'与OD相交于点E时，如图1，    ∵A'B'∥CD， ∴∠D=∠A'EO=60°， ∵∠A'EO=∠B'+∠EOB'， ∴∠EOB'=60°-45°=15°， ∴∠BOB'=∠COD +∠EOB'=105°； 当A'B'与AO相交于点F时，如图2，    ∵A'B'∥CD， ∴∠D=∠A'FO=60°， ∴∠A'OF=180°-∠A'FO-∠A'=180°-60°-45°=75°， ∴旋转的角度=360°-75°=285°， 综上所述：旋转的角度为105°或285°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，正确的识别图形并灵活运用性质进行推理是本题的关键． 15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）．由已知可得，即得，即可得到； （）由，，可得，进而得到，即可得到，得到，即可求解； （）画出图形，分两种情况解答即可求解； 本题考查了角的和差，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示， 当时，， ∴， ∵， ∴； 如图所示， 当时，， ∵， ∴； 综上，当的度数为或时，， 故答案为：或． 16．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）①先求得的度数，即可得到的度数； ②先求得的度数，即可得到的度数； （2）依据，，即可得到与互补． （3）分5种情况求解：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时． 【解析】（1）①∵， ∴ ∴ 故答案为：． ②∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 故答案为：； （3）①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ⑤当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴∠， ∴ ∴． 故答案为：． 题型6：三角形的有关概念、内角和综合（上海+其他精选） 17．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【解析】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·上海·期中）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3． (1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °； (2)如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论； (3)若∠BEC=，∠BDC=，用含和的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可） 【答案】(1)20；55； (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求出∠ACE的度数，根据角平分线的定义即可求出∠2的度数，进而求出∠3的度数，∠ACB的度数，利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠1的度数即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理表示出∠3．然后推出∠3-∠1=90°-∠1-∠2，再根据三角形内角和定理求解即可； （3）在△BCE和△BCD中根据三角形内角和定理得到∠1+∠2，再根据（2）中结论求解即可； 【解析】（1）解：∵∠A=110°，∠BEC=130°， ∴∠ACE=∠BEC-∠A=20°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠2=∠ACE=20°，∠ACB=40°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=30°， ∵BD平分∠ABD， ∴， ∵MN⊥BC，即∠MNC=90°， ∴∠3=180°-∠2-∠MNC=70°， ∴∠3-∠1=55°， 故答案为：20；55； （2）解：，证明如下： ∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线， ∴， ∵MN⊥BC，即∠MNC=90°， ∴∠3=180°-∠MNC-∠2=90°-∠2， ∴∠3-∠1=90°-∠1-∠2， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴，即， ∴； （3）解：∵在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线， ∴， ∵∠1+∠BCD+∠BDC=180°，∠2+∠BEC+∠EBC=180°， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的像这种，角平分线的定义，垂直的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 19．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【解析】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①，； ②证明见解析 (2)图形见解析， 【分析】（1）①根据角平分线的定义求得的度数，再根据平行线的性质定理可求得和的度数．根据角平分线的定义得到的度数，最近利用三角形外角和定理即可得到的度数． ②根据①中推到可知：，，利用三角形外角和定理得到，再根据三角形内角和性质定理推导即可． （2）根据题意画出图形，根据角平分线的定义与平行线的性质定理可得， ，利用三角形外角和定理可得，再代入根据三角形内角和推导即可． 【解析】（1）①平分，，， ． ， ． ． 平分， ． ． ②证明：平分， ． ， ． ． 平分， ． ． （2）点在线段的延长线上时，画图如下： 解：， 如图，点在线段的延长线上． 平分， ． ， ，， ． 平分， ． ． 【点睛】本题通过三角形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的性质定理，巧妙的构建角之间的关系．关键在于对定理的灵活运用以及逻辑推理的严密性． 21．（21-22八年级上·广东广州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若， ①求的度数； ②当α为何值时，D为中点，并说明理由． (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求α的值． 【答案】(1)①；②当时，D为中点，理由见解析 (2)当四边形为“完美四边形”时，α的值是或或 【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①的度数；②根据可得，，由为中点，根据等腰三角形的性质可得，，可得的值； （2）分两种情况进行讨论：①当时，②当时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得的值． 【解析】（1）解：如图， ①，平分， ， ， ； ②当时，为中点，理由如下： ， ，， 为中点， ，， ， 时，为中点； （2）①当时，如图， ，， ， ， ， ， ； ②当时， ，，， ，， ， ， ． ③当在右边，时， ，，， ，， ，， ， ． 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 22．（23-24七年级下·上海·期中）如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： (1)如图2，与分别为的两个外角，则______；（横线上填>、<或=） (2)初步应用：如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则______； (3)解决问题：如图4，在中，分别平分外角与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案； (4)如图5，在四边形中，分别平分外角，请利用上面的结论探究与的数量关系． 【答案】(1)= (2) (3) (4)，见解析 【分析】（1）根据三角形外角的性质得：，两式相加可得结论； （2）利用（1）的结论可得出，将代入可得结论； （3）根据角平分线的定义得，，根据三角形内角和可得，结合（1）中得的结论可得； （4）根据平角的定义得：，由角平分线得：，，相加可得： ，再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论． 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：=； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，． ∵． ∵， ∴； （4）解：如图， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵四边形中，， 又∵中，， ∴． 【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键． 23．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值． ②若，将绕点B旋转，当为何值时，的一边与平行，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①5或 ②当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）①有两种情况： I）当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论； II）当在的上方时，如图6，同理可得结论． ②当时，当，分别分顺时针与逆时针旋转，求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ， 平分， ； （2）解：①有两种情况： I）当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ； II）当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． ②将绕点B旋转后， 当时，如图， I）当逆时针旋转时， ∵ 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ ∴； II）当顺时针旋转时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当，如图， I）当逆时针旋转时， ∵， ∴，， 同理， ∴ II）当顺时针旋转时， ∴； 综上，将绕点B旋转，当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或，的一边与平行． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 题型7：一元一次不等式的实际应用（上海+其他精选） 24．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式． （1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可； （2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可． 【解析】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元）， 在乙商场购买的优惠价（元）， 故答案为：；； （2）解：当时， 由题意可得：， 解得：； 当时， 由题意可得：， 解得：， ∴时，顾客在甲商场购物花费少， 综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为． 25．（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； (2)①至少要租用辆甲型客车；②共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，根据题意列出不等即可求解；②由题意可得，解得，进而结合①可得的取值范围为，据此即可得出所有可能的租车方案，再求出每一种方案的租车费用即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式是解题的关键． 【解析】（1）解：设甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：①设租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴至少要租用辆甲型客车； ②由题意得，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴或4或5， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； 方案的租车费用：元； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 26．（20-21七年级下·福建厦门·期末）某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息： ①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米； ②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）； ③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费； ④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元． （1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？ （2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由． 【答案】（1）加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等，当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，见解析 【分析】（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意：某加工厂用52500元购进、两种原料共40吨，其中原料每吨1500元，原料每吨1000元．列方程组，解方程组即可； （2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，分别求出、，再分情况讨论即可． 【解析】解：（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨， 由题意得：， 解得：， 答：加工厂购进种原料25吨，种原料15吨； （2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元， 根据题意，有两种方案， 方案一：原料公路运输，原料铁路运输； 方案二：原料铁路运输，原料公路运输； 设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元， 则， ， ， 当，即时，方案一运输总花费少，即原料公路运输，原料铁路运输，总花费少； 当，即时，两种运输总花费相等； 当，即时，方案二运输总花费少，即原料铁路运输，原料公路运输，总花费少． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程． 题型8：一元一次不等式（组）代数综合（其他精选） 27．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 【答案】（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是． 【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解； （2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解； （3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集． 【解析】（1）， ． ， ， ． 故答案为． （2）， ． 又， ， ． 又， ， ． 同理得， ， 的取值范围是． （3）， ． 又， ， ． 又， ， ． 当时，． 同理得， ， ∴当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件． 28．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【解析】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 29．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【解析】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期中解答题压轴题（八大题型，最新上海精选+其他补充） 目录： 题型1：平行线 题型2：平行线—情景探究+数学活动题 题型3：平行线—射线或光束转动问题 题型4：平行线—新定义题 题型5：三角板问题 题型6：三角形的有关概念、内角和综合（上海+其他精选） 题型7：一元一次不等式的实际应用（上海+其他精选） 题型8：一元一次不等式（组）代数综合（其他精选） 题型1：平行线 1．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）已知． (1)如图1，若垂足为点F，，则 ． (2)如图2，垂足为点F，过点F作于点H，说明； (3)如图3，的角平分线交于点H，若，则 （用含α的式子表示）． 2．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，直线，A，B为直线a上不重合的两点（点B在A的右侧），直线，分别与b相交于点C，D，，．P为直线上一点，且满足．将线段沿直线平移，得到线段，点E在直线上，连接，，直线与直线交于点G． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)在线段平移的过程中，若，求的度数． 4．（23-24七年级下·上海·期中）如图1，直线与直线分别交于点与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图①，直线，点P在两平行线之间，点E在上，点F在上，连接，． (1)若，，则的度数为________． (2)如图②，若点，在直线与之间，，，，则的度数为________． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，…，依次平分下去，则________．（用含，的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 题型2：平行线—情景探究+数学活动题 6．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 9．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 题型3：平行线—射线或光束转动问题 10．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 11．（22-23七年级下·上海·期中）自“中欧铁路——上海号”发车以来，中欧班列逐渐开辟了一条以上海为起点，连接欧洲及“一带一路”沿线地区的商贸流通的全新通道．“中欧铁路”为了安全起见需要在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即且． (1)填空： °； (2)如图2，若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动．在转动过程中，灯B射线与交于点．在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒． ①当时，则 °， （用含t的式子表示）． ②当灯A转动 秒时，两灯的光束可以互相平行？ (3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，过C作交于点D，且，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 题型4：平行线—新定义题 12．（23-24七年级下·上海金山·期中）探索题： 问题1：如图1，已知，点P夹在和之间，联结和，形如一个“V”字，那么、和之间有怎样的数量关系？请你说明理由． 问题2：在问题1中，如果在点P的右上方增加一个点Q，形如一个“V”字再加半个“V”，如图2，为了表述方便，我们将开口方向朝下的角的度数用x表示，开口方向朝上的角的度数用y表示，，，，，求的值． 问题3：如果在和之间依次增加点的个数，有n个P点和n个Q点，形如n个“V”再加半个“V”，如图3，那么的值是________． 13．（23-24七年级下·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 题型5：三角板问题 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： （1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上， ①易知AB//CD，理由是____________________________； ②求出∠BOC的度数； （2）如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到∠OA'B'，当∠为多少度时，OB'平分； （3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD，请直接写出答案    15．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)猜想与存在怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，则的度数为 ； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，当的度数为 时，．（直接在横线上写出答案） 16．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）将一副三角尺中的直角顶点C按如图方式叠放在一起．（）        (1)①若，则的度数为 ． ②若，则的度数为 ． (2)由（1）猜想并直接写出与的数量关系 ． (3)当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 ． 题型6：三角形的有关概念、内角和综合（上海+其他精选） 17．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 18．（23-24七年级下·上海·期中）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3． (1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °； (2)如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论； (3)若∠BEC=，∠BDC=，用含和的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可） 19．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 21．（21-22八年级上·广东广州·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若， ①求的度数； ②当α为何值时，D为中点，并说明理由． (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求α的值． 22．（23-24七年级下·上海·期中）如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： (1)如图2，与分别为的两个外角，则______；（横线上填>、<或=） (2)初步应用：如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则______； (3)解决问题：如图4，在中，分别平分外角与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案； (4)如图5，在四边形中，分别平分外角，请利用上面的结论探究与的数量关系． 23．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图1，，的平分线交于点G，． (1)试说明：； (2)如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值． ②若，将绕点B旋转，当为何值时，的一边与平行，请直接写出的值． 题型7：一元一次不等式的实际应用（上海+其他精选） 24．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 25．（24-25八年级上·重庆渝北·开学考试）某公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过元． ①至少要租用多少辆甲型客车？ ②若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 26．（20-21七年级下·福建厦门·期末）某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息： ①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米； ②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）； ③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费； ④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元． （1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？ （2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由． 题型8：一元一次不等式（组）代数综合（其他精选） 27．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列材料： 数学问题：已知，且，，试确定的取值范围． 问题解法：，． 又，，． 又，．① 同理得．② 由②①得， 的取值范围是． 完成任务： （1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____． （2）已知，且，，试确定的取值范围； （3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）． 28．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 29．（24-25八年级上·广东深圳·期末）若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$