特训05 全等三角形 压轴题（十二大题型，含九类模型详细图解）-2024-2025学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训05 全等三角形 压轴题（十二大题型） 题型目录： 题型1：角平分线模型 题型2：垂直模型 题型3：一线三等角模型 题型4：手拉手模型 题型5：（类）旋转模型 题型6：半角模型 题型7：公共角模型 题型8：作平行线 题型9：作垂线 题型10：倍长中线法 题型11：截长补短法 题型12：旋转构造法 模型图解： 知识点1 遇到角平分线，考虑构造全等三角形或等腰三角形 知识点2 遇到倍角，考虑构造等腰三角形 知识点3 利用旋转构造全等三角形 遇到等线段+两线段垂直、手拉手模型等问题，常考虑构造旋转或对称三角形，得到全等三角形，再运用特殊三角形的边角关系求解 知识点4 遇到半角模型，构造全等三角形 知识点5 遇到对角互补模型，构造全等三角形 知识点6 折叠问题中的常见模型 知识点7 倍长中线模型 知识点8 截长补短法 题型1：角平分线模型 1．已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 2．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 题型2：垂直模型 3．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 4．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 题型3：一线三等角模型 5．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 6．综合与探究 发现问题： (1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上．若，，则______． 提出问题： (2)如图2，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连结，求的面积． 灵活应用： (3)如图3，在中，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连结，过点作于点，延长交于点．求证：是的中点． 7．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 8．如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长． (2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型4：手拉手模型 9．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 10．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 11．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 题型5：（类）旋转模型 12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    13．在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 题型6：半角模型 14．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 15．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 题型7：公共角模型 16．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 题型8：作平行线 17． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 18．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 题型9：作垂线 19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 题型10：倍长中线法 20．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 21．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 题型11：截长补短法 22．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 23．把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 24．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 题型12：旋转构造法 25．点为等边所在平面内一点，连接，，，且． (1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； (2)点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 全等三角形 压轴题（十二大题型） 题型目录： 题型1：角平分线模型 题型2：垂直模型 题型3：一线三等角模型 题型4：手拉手模型 题型5：（类）旋转模型 题型6：半角模型 题型7：公共角模型 题型8：作平行线 题型9：作垂线 题型10：倍长中线法 题型11：截长补短法 题型12：旋转构造法 模型图解： 知识点1 遇到角平分线，考虑构造全等三角形或等腰三角形 知识点2 遇到倍角，考虑构造等腰三角形 知识点3 利用旋转构造全等三角形 遇到等线段+两线段垂直、手拉手模型等问题，常考虑构造旋转或对称三角形，得到全等三角形，再运用特殊三角形的边角关系求解 知识点4 遇到半角模型，构造全等三角形 知识点5 遇到对角互补模型，构造全等三角形 知识点6 折叠问题中的常见模型 知识点7 倍长中线模型 知识点8 截长补短法 题型1：角平分线模型 1．已知：是的角平分线，且 (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在AD上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析②6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义. （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得；②过作于，由，可得，，而，，即得，根据，可求． 【解析】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ； ②过作于，如图： 由①知：， ， ， ， 由①知：， ， ， ， ， ∴． 2．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点． （1）求证：平分； （2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论； （2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可； （3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K， ∵，分别是和的角平分线， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，作，，在上取一点，使． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴； （3）证明：延长至，使，连接． ∵，分别是和的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 题型2：垂直模型 3．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE (2)成立，理由详见解析 【分析】（1）根据已知条件即可证明，然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关系为垂直且相等； （2）根据已知条件证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论； 【解析】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． （2）解：（1）中结论成立，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 4．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【解析】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 题型3：一线三等角模型 5．如图，已知中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为． （1）如图1，过的直线与斜边不相交时，直接写出线段、、的数量关系是______； （2）如图2，过的直线与斜边相交时，探究线段、、的数量关系并加以证明； （3）在（2）的条件下，如图3，直线交于点，延长交于点，连接、、，若，，，四边形的面积是90，求的面积． 【答案】（1）数量关系为：EF=BE+CF；（2）数量关系为：EF=BE-CF．证明见详解；（3）S△GHC=15． 【分析】（1）数量关系为：EF=BE+CF．利用一线三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可； （2）数量关系为：EF=BE-CF．先证∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再证△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可； （3）先由（2）结论EF=BE-CF；，求出BE=AF=12，由，可求FH=2，EH=4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG=，再求EG=3，AH= 10，分别求出S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=，利用面积差即可求出． 【解析】解：（1）数量关系为：EF=BE+CF． ∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF+AE=BE+CF； （2）数量关系为：EF=BE-CF． ∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°， ∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°， ∴∠EBA=∠FAC， 在△EBA和△FEC中， ∵， ∴△EBA≌△FAC（AAS）， ∴BE=AF，AE=CF， ∴EF=AF-AE=BE-CF； （3）∵EF=BE-CF；， ∴BE=AF=EF+CF=6+6=12， ∵，EH+FH=EF=6， ∴2FH+FH= 6， 解得FH=2， ∴EH=2FH=4， S四边形ABFG==90， ∴BG=， ∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10， ∵S△ACF=，S△HCF=，S△AGH=， ∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15． 【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键． 6．综合与探究 发现问题： (1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上．若，，则______． 提出问题： (2)如图2，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连结，求的面积． 灵活应用： (3)如图3，在中，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连结，过点作于点，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】(1)6 (2)2 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）过点D作交延长线于点E，证明即可求解； （3）先证得，，得出，再证明即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：过点D作交延长线于点E， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：过点E作交延长线于点M，过点G作交于点N， ∵， ∴，， 由旋转可得，，， ，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 7．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【解析】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 8．如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长． (2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm (2)，证明见解析 (3)结论成立，证明见解析 【分析】（1）（2）（3）方法相同，利用定理证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）结论成立， 证明：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即结论成立； 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型4：手拉手模型 9．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【解析】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 10．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 11．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①见解析 ② (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①利用定理证明即可； ②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解析】（1）①证明：因为， 所以，即． 在 和中，， 所以． ②解： 由 ①，可得． 所以． 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以，即． 在 和中， ， 所以， 所以． 所以， 所以． 因为， 所以． 题型5：（类）旋转模型 12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2 【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案； （2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解． 【解析】解：（1）如图1中，    ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴ABE＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE， ∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AD＝AB+BD，AD＝BE， ∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE， ∵BD＝AB+AD，AD＝BE， ∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB2×2＝2． 【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键． 13．在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连． （1）如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系是______； ②线段、、之间的数量关系是______． （2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明． 【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析； 【分析】（1）①先求证，得到，从而求得，即可求解；②根据①中的全等三角形，得到，从而求得； （2）先求证，得到，，从而求得， 【解析】解：（1）∵， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ①∴，∴ ②∴ （2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及有关性质是解题的关键． 题型6：半角模型 14．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【解析】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【解析】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型7：公共角模型 16．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立 【分析】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可； （2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可； （3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°． 【解析】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠4=∠5， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠4=∠6=45°， ∴∠5=45°， ∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°， 即BC⊥CE； （2）成立.理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=135°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°， 即BC⊥CE； （3）成立 ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°． 【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键． 题型8：作平行线 17． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【解析】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 18．已知中， (1)如图1，点E为的中点，连接并延长到点F，使，则与的数量关系是 　　． (2)如图2，若，点E为边上一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：． (3)如图3，点D在内部，且满足，点M在的延长线上，连接交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求解； （2）过点A作于H，过点C作交的延长线于T，通过得到AF=CD，再通过即可求解； （3）过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得，利用全等三角形的性质证明，即可解决． 【解析】（1）解：∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作于H，过点C作交的延长线于T， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点M作交的延长线于T，交于G，在上取一点K，使得， 连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型9：作垂线 19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，即 （3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论． 【解析】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ， ，． ，． ． ， ． 方法2：延长到点，使得，连接，如图． 平分， ． 在和中，， ． ，． ， ． ， ， ． （2）、、之间的数量关系为：． （或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知， ． 为等边三角形． ，． ， ． ． ， 为等边三角形． ，． ， ， 即． 在和中，， ． ， ， ． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，． ． 在和中，， ， ，． 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 题型10：倍长中线法 20．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【解析】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 21．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的判定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）思路1：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；思路2：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，得到，即可求出的长． 【解析】（1）解：思路1：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 思路2：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 题型11：截长补短法 22．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【解析】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)作图见解析，． 【分析】（1）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【解析】（1）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （2）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ，． 在和中， ， ， ，． ，，， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （3）补充完成题图，如图所示． ．证明如下： 如上图，在上截取，连接． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 题型12：旋转构造法 25．点为等边所在平面内一点，连接，，，且． (1)如图，点P在外部，若，，则的长为 （直接写出结果）； (2)点在内部，连接． ①如图2，若，求的值； ②如图3，D为边中点，连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，得到，点的对应点为，首先证明点C在线段上，再证明是等边三角形，从而得出答案； （2）①将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案； ②延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点P的对应点为点，连接，同理得是等边三角形，再利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为， 则，，，，， ∴， ∴点在线段上， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①∵， ∴， 将绕逆时针旋转，得到，点的对应点为，连接， 则，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长到点，使，连接，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点为点，连接， 同理可知，是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$