期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式的规律性问题 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）计算：． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 4．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 5．（23-24八年级下·四川巴中·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 压轴满分题二、分式方程新定义问题 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 7．（23-24八年级下上·四川眉山·期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数，．定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 压轴满分题三、点坐标规律探索 11．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的是，则经过第次变换后，所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·四川巴中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 14．（23-24八年级下·吉林长春·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 15．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 压轴满分题四、一次函数的规律探究问题 16．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山西临汾·一模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 18．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 19．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 20．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 压轴满分题五、一次函数与方程、不等式综合问题 21．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 22．（23-24八年级下上·河南南阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，经过点直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式以及点的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 23．（2025·福建厦门·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 24．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 25．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）结合画函数图象的学习经历，小华同学对二元一次方程的解与坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格1，使上下每对的值都是方程的解． 表格1：方程 ．．． -2 -1 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 表格2：方程 (2)将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解的对应点是，请在所给的坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，请将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是___________，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“___________”，画二元一次方程的图象只需取两个点． (3)根据前两问的学习经验，请在上面所给的表格2和坐标系中画出二元一次方程的图象； (4)小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组的解，请直接写出这个解为___________． 压轴满分题六、分式方程的综合应用 26．（辽宁省锦州市部分学校2024-2025学年下学期中考零模数学试题）“植”此青绿，共赴青山．2025年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3500元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 27．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过200万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 28．（2025·四川遂宁·一模）某市要在边长为40米的正方形文化广场中心建一个半径为10米的圆形花坛，其图案如图所示，图中阴影部分铺设广场砖． (1)预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（取3） (2)某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前3天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？ 29．（2025·四川乐山·一模）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 30．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成． (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 压轴满分题七、一次函数与几何综合 31．（湖南省三湘大联考教育联盟2024-2025学年八年级下学期3月联考试卷.）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E． (1)求直线，的解析式； (2)求的值． 32．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 33．（23-24八年级下上·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 34．（23-24八年级下上·河南南阳·期末）如图，双曲线（为常数，且）与直线交于，两点．    (1)求与的值； (2)如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 35．（2025·四川资阳·一模）许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是． (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值． 压轴满分题八、一次函数图象旋转折叠问题 36．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 37．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段的长度为 ； (2)求线段的长，以及直线所对应的函数表达式； 38．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 39．（23-24八年级下上·重庆·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 40．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接点D是的中点，连接． (1)求直线的解析式； (2)已知P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时P点的坐标； (3)如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 压轴满分题九、一次函数实际实际综合应用 41．（2025·河南周口·一模）河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． (1)分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； (2)若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ (3)若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 42．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 43．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年下学期第一次月考九年数学试卷）如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备给相距的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小强行走的时间为（分钟）． (1)求的值； (2)若顾客要求小强的送货时间不能超过22分钟，则小强送到目的地是否超时（说明理由）？ (3)求小明离开超市提速后行驶的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (4)若小明送货过程中与小强相距100米时，直接写出小强行走的时间是多少分钟． 44．（2025·四川遂宁·一模）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值． 电影类型 历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧痛类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 (1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率； (2)根据前期调查反馈： 历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率； 恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率． 现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了场． ①求出最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式（不必写出的取值范围）； ②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票房收入最高？ 45．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）在高压输电线路的检查过程中，无人机凭借其强大的环境适应能力，可以在恶劣的天气条件下和复杂的地形环境中进行作业．甲、乙两地有一条高压输电线路，在某次检查时，A型号无人机从甲地到乙地，对输电线路进行无损探伤检测；B型号无人机从乙地到甲地，对输电线路进行有无异物悬挂检测．两架无人机同时出发匀速飞行，B型号无人机的速度是A型号无人机的2倍，当B型号无人机到达甲地时，停止飞行，A型号无人机继续飞行到乙地．设A型号无人机的飞行时间为，两架无人机之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答下列问题： (1)当______时，两架无人机相遇；甲、乙两地输电线路的长度是______． (2)分别求两架无人机的飞行速度． (3)直接写出点M和点N的含义；并求B型号无人机到达甲地时，A型号无人机到乙地的距离． 压轴满分题十、反比例函数动点问题 46．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 47．（23-24八年级下上·四川资阳都·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 48．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在菱形中，，，动点从点出发，以的速度沿着方向运动，同时动点从点出发，以的速度沿着方向运动，一点停止时另一点立即停止运动．设动点的运动时间为，记的面积为，点到直线的最短距离与动点运动的路程之比为． (1)请直接写出，与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，自变量的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 49．（24-25八年级下上·全国·假期作业）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点． (1)求的值； (2)以线段为对角线作正方形（如图③），点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 50．（23-24八年级下上·重庆江北·期末）如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 压轴满分题十一、反比例函数存在性问题 51．（23-24八年级下上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 53．（23-24八年级下上·山西长治·期末）如图，直线为常数，且）与双曲线相交于，两点，作轴于点，轴于点． (1)求直线和该双曲线的表达式； (2)在线段上是否存在一点，使的面积等于7？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 54．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． (1)求的度数及点的坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 55．（23-24八年级下上·四川遂宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 压轴满分题十二、一次函数与反比例函数的交点问题 56．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)求的面积． 57．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）已知反比例函数． (1)若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； (2)如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 58．（2025·山西晋城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2025·四川内江·二模）如图，已知点的坐标为．将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段． (1)点的坐标为_____，点的坐标_____．（均用含的式子表示） (2)若点，同时落在反比例函数的图象上． ①求及的值； ②设所在直线解析式为，根据图象，直接写出不等式的解集． 60．（23-24八年级下上·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 压轴满分题十三、平行四边形性质和判定的应用 61．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． (1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：． 62．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 63．（23-24八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12． (1)如图1，AD＝____； (2)如图2，①求证：△DEF为等边三角形； ②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长____． 64．（23-24八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 65．（23-24八年级下上·四川眉山·期中）和都是等腰直角三角形，．    （1）如图，点在线段上，点在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系：________； （2）如图，将图中的绕点逆时针旋转，旋转角为（），请判断并证明线段与线段的数量关系； （3）将图中的绕点逆时针旋转，旋转角为（），若，在旋转的过程中，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角的度数． 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3．（23-24八年级下上·山西长治·期末）在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下上·四川简阳·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 5．（23-24八年级下上·四川眉山·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ． 7．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知直线与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 8．（23-24八年级下·福建厦门·期末）（1）计算： ． （2）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 9．（2025·山西晋城·一模）视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 10．（23-24八年级下上·四川乐山·期末）如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为 ．． 11．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 12．（2025·山西晋中·一模）“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元． (1)求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元． (2)若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个? 13．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题： (1)甲车经过 秒追上乙车， ． (2)设相遇后两车之间的距离为，求与x的函数关系式． (3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 14．（23-24八年级下上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． (1)如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 15．（2025·广西桂林·模拟预测）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” (1)按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； (2)小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（80题13个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、分式的规律性问题 1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的化简，实数的运算，找到规律是解题的关键；由题意得各项规律，并化简得，由此即可计算出结果． 【详解】解：因为， 所以原式 ． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 3．（23-24八年级下·福建漳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 4．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 5．（23-24八年级下·四川巴中·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 压轴满分题二、分式方程新定义问题 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义实数的运算、解分式方程，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的运算方式列出式子计算即可得解； （2）根据题干所给运算方式得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 7．（23-24八年级下上·四川眉山·期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数，．定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先把原分式方程去分母，再把代入对应的方程中求解即可； （2）先根据新定义计算出的结果，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设？为，则分式方程为， 方程两边同时乘以得： 由于是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得，解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． （2）解：根据题意得： ，， ， 去分母得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且）．如：．若，且． (1)求与的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)-1 (2)1 【详解】解：（1）， ， ． ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 的值为1． 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴满分题三、点坐标规律探索 11．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的是，则经过第次变换后，所得点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质、点的坐标变换规律，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第四象限， 第二次关于轴对称后在第三象限， 第三次关于轴对称后在第二象限， 第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的点与第四次变换的位置相同，坐标为． 故选：D ． 12．（2025·四川巴中·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出长度，由可求出点C坐标，又因为始终经过点且与y轴平行，通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A， ∴， 直线：与y轴交于点B， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵过点C作分别交直线与于点、， ， ， 又∵过点作分别交直线与于点，， ， ， 以此类推， ， ， … ， ， 则， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 14．（23-24八年级下·吉林长春·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】(1)点 (2)， (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； （2）解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； （3）解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 15．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． (1)依次写出的值； (2)计算的值； (3)计算的值． 【答案】(1)分别为1，，，3，3， (2)1 (3)1002 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可； （2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可； （3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果． 【详解】（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出： 、、、、、的值分别为：1，，，3，3，； （2）； ； ； （3）； ； ． 压轴满分题四、一次函数的规律探究问题 16．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出的各边，计算出的长度是解题的关键．计算出的各边，根据旋转的性质，求出，，，得出规律，求出，再根据一次函数图象上的点求出点的纵坐标即可． 【详解】解：轴，点， ，则点的纵坐标为，代入， 得：，得：，即， ，，， 由旋转可知： ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：或（舍去）， 则，即点的纵坐标为， 故选：A． 17．（2025·山西临汾·一模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的变化规律，先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：由题意知， 设， 则， 解得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 20．（23-24八年级下·四川巴中·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 压轴满分题五、一次函数与方程、不等式综合问题 21．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线交点问题等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据图象和y轴的交点坐标进行解答即即可； （2）一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，据此进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点是， ∴当时，， 即不等式的解集是； （2）解：由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是，当函数的图象在的下面时，有． ∴当时， 22．（23-24八年级下上·河南南阳·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，经过点直线与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式以及点的坐标； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形性质、反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与性质，利用数形结合思想求解不等式的解集是解答的关键. （1）由直线经过点，求出，进而由求出函数的表达式的，，即可求解； （2）联立方程组求出交点坐标，再利用图象，求得直线位于双曲线的上方部分的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵当时，，即， ∴， ∴．即反比例函数的表达式为， 当， 时，， ∴， 当时，，即点 ． （2）解：由题意得：，解得：或． 所以，A，B坐标分别为， 由图象知，不等式的解集为或． 23．（2025·福建厦门·三模）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点即在上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴或． 24．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，直线与直线相交于点，且两直线分别与轴分别交于，两点，且点坐标为． (1)求点坐标； (2)一元一次方程的解为__________； (3)若直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入求出b的值，即可得出点P的坐标； （2）根据直线与轴交于点，且点B的坐标为，求出方程的解即可； （3）先求出，再求出，得出，列出方程，求出，最后求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线与轴交于点，且点B的坐标为， ∴一元一次方程的解为； （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 把代入得：， 解得：； ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 25．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）结合画函数图象的学习经历，小华同学对二元一次方程的解与坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格1，使上下每对的值都是方程的解． 表格1：方程 ．．． -2 -1 0 1 2 ．．． ．．． ．．． 表格2：方程 (2)将表中的各组解表示为点的坐标的形式，例如，方程的一组解的对应点是，请在所给的坐标系中依次描出以上五组解所对应的点，请将这些点连起来，观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是___________，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“___________”，画二元一次方程的图象只需取两个点． (3)根据前两问的学习经验，请在上面所给的表格2和坐标系中画出二元一次方程的图象； (4)小华同学说，这两个二元一次方程图象的交点坐标就是二元一次方程组的解，请直接写出这个解为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，一条直线；两点确定一条直线 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程的解与坐标的联系是解题的关键． （1）根据列表即可． （2）描点、连线即可；再根据图像和两点确定一条直线即可求解． （3）先列表，再描点，后连线，画出二元一次方程的图象即可； （4）根据图象即可求得方程组的解． 【详解】（1）解：列表如下： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 1 0 ．．． （2）解：连线并画图，如下图 观察这些点所组成的图形的特征，猜想方程的所有解的对应点连线组成的图形是一条直线，我们把这个图形叫做二元一次方程的图象；根据基本事实“两点确定一条直线”，画二元一次方程的图象只需取两个点． （3）解：列表并描点： … 0 1 … … 2 4 … 连线并画图，如图， （4）解：由图象可知，二元一次方程组的解为． 压轴满分题六、分式方程的综合应用 26．（辽宁省锦州市部分学校2024-2025学年下学期中考零模数学试题）“植”此青绿，共赴青山．2025年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3500元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 【答案】(1)每棵银杏树苗的价格为40元，每棵白杨树苗的价格为30元 (2)50棵 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据等量关系“用800元购买银杏树苗的棵数与用600元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3500元列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每棵银杏树苗的价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，． ， 答：每棵银杏树苗的价格为40元，每棵白杨树苗的价格为30元； （2）解：设购买棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买50棵银杏树苗． 27．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我市城市美化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过200万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】(1)乙队单独完成这项工程需要90天 (2)甲、乙两队最多合作20天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量的三分之二，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工，根据总工程款甲队工作时间乙队工作时间，结合工程款不超过200万元，列出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作m天，则乙队还需单独工作天才可完工， 依题意得：， 解得：． 答：甲、乙两队最多合作20天． 28．（2025·四川遂宁·一模）某市要在边长为40米的正方形文化广场中心建一个半径为10米的圆形花坛，其图案如图所示，图中阴影部分铺设广场砖． (1)预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（取3） (2)某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前3天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？ 【答案】(1) (2)100平方米 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数运算的应用，正方形面积公式和圆面积公式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）利用正方形面积减去圆的面积，即可解答； （2）设原计划每天铺设广场砖x平方米，根据题意列分式方程，即可解答． 【详解】（1）解： 答：需要广场砖刚好铺设完成； （2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每天铺设广场砖100平方米 29．（2025·四川乐山·一模）【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的； 【问题解决】 问题一：求出A，B两种书架的单价； 问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案． 【答案】问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元 问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价； 问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元； 问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架， ∴购买个B种书架， ∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的， ， 解得：， ∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元， ， 即， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，此时， 答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架． 30．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成． (1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量． (2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值． 【答案】(1)200个 (2)11 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系是解题的关键． （1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个，根据题意列出分式方程求解即可； （2）首先表示出切割出的侧面的数量为个，切割出的底面的数量为个，然后根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个． 根据题意，得 整理得， 解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲工厂每天生产该配件200个． （2）根据题意可知用A方法切割的长方形金属板为m块，用B方法切割的长方形金属板为块， 则切割出的侧面的数量为个， 切割出的底面的数量为个． ∵每个图1的配件中，侧面与底面数量的比为， ． 解这个方程得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：m的值为11． 压轴满分题七、一次函数与几何综合 31．（湖南省三湘大联考教育联盟2024-2025学年八年级下学期3月联考试卷.）如图，在矩形中，点A，C的坐标分别为，点B，D在x轴上，O是坐标原点，直线与相交于点E． (1)求直线，的解析式； (2)求的值． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为； (2) 【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解直线，的解析式即可； （2）如图，过作于，求解，结合，可得，求解，可得，，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：在矩形中，点A，C的坐标分别为， ∴，， ∴， 设为， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作于， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 32．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点沿边从点开始沿向点以的速度移动，同时，点沿边从点开始沿向点以的速度移动．点出发时间为，的面积为． (1)分别求出点在边上的与的函数关系式． (2)当时，求的面积． (3)当的面积为正方形面积的时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数与动点问题，根据题意分类讨论列出函数关系式是解题的关键． （1）分三种情况讨论，即在上，分别根据三角形的面积列出函数关系式即可求解； （2）当时，点在边上，根据（1）中的解析式求解即可； （3）根据题意求得正方形面积的，结合（1）的解析式，令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上时，， ； 当点在边上时，， ∴． ∴与的函数关系式为 （2）解：当时，点在边上， ∴， 的面积为． （3）解：正方形的面积为， 当的面积为正方形面积的时，即， ①当时，，解得（不合题意，舍去）， ②当时，，解得， 综上所述，当．面积为正方形面积的时，的值为3． 33．（23-24八年级下上·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 34．（23-24八年级下上·河南南阳·期末）如图，双曲线（为常数，且）与直线交于，两点．    (1)求与的值； (2)如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法，运用图形求不等式的解集等知识是解题的关键． （1）把代入双曲线与直线即可得； （2）根据直线与坐标轴的交点可得， ，运用中点坐标可得 ，根据即可求解； （3）根据题意可得点的坐标，根据图形解不等式即可． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）得，， ∴双曲线与直线， ∴， ∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，， ∴点的坐标为，即， ∴． （3）解：∵双曲线与直线交于，两点， 由图像可知，当或时，直线在双曲线的上方， ∴的解集为或． 35．（2025·四川资阳·一模）许多数学问题源于生活，雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中（坐标系中1个单位长度为），伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．，点A到x轴的距离是，A，B两点之间的距离是． (1)求抛物线的表达式； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； (3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位长度，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，若 ，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)20或40 【分析】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，，， ∴，， 把点A坐标代入所设解析式中得：， 解得：， ∴； （2）解：设的解析式为：，的解析式为：， 分别将，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立直线解析式与抛物线得：， 解得（舍去）， 同理，解，得（舍去）， ∴，， ∴E，F两点之间的距离为：； （3）解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线向右平移个单位， ∴， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：m等于20或40． 压轴满分题八、一次函数图象旋转折叠问题 36．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为． (1)求三角形面积； (2)求的函数表达式． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）设点的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）根据勾股定理得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）解：点的坐标为，四边形为矩形， ，， 设点的坐标为， ， ，， 在中，， ， 解得：， ， ， 三角形面积； （2）解：由题意可知，，，， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得：， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． 37．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D． (1)线段的长度为 ； (2)求线段的长，以及直线所对应的函数表达式； 【答案】(1)15 (2)， 【分析】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键． （1）矩形中，可得； （2）求出点，，，由待定系数法求出直线的解析式． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：15； （2）解：由折叠的性质得：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 设直线所对应的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， 则直线所对应的函数表达式为． 38．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：； （2）解：由题意可知：，， 在中，， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴， ∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得，或， ①当时，， ②当时，， ∴或； （3）解：设， ∵点，， ∴，， ， ①当时， 则， 解得（舍去）或， ∴点Q的坐标为； ②当时， 则，即或18， ∴点Q的坐标为或； ③当时， 则， 解得：， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 39．（23-24八年级下上·重庆·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； (2)画出关于原点对称的，并写出的坐标； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析，的坐标为； (2)见解析，的坐标为； (3) 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （2）作出关于原点对称的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）如图所示，即为所作，的坐标为； （2）如图，即为所作；的坐标为； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， ，解得：， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 40．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接点D是的中点，连接． (1)求直线的解析式； (2)已知P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时P点的坐标； (3)如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)符合条件的点N的横坐标为，过程见详解 【分析】（1）先根据题意，得，当时，则，算出，根据中点，得，再运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）连接，运用割补法进行列式，即面积，把数值代入，化简得面积，结合二次函数的性质，即可作答． （3）在抛物线上取点H，使得连接，使得，根据，运用正切的定义进行列式得，化简得或（舍去）；同理算出 ，即，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C． ∴，当时，则 解得 ∴ ∵点D是的中点， ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得 解得 ∴直线的解析式为 （2）解：连接，如图： 依题意，设点 面积 ∵，当时，有最大值，且为 则时， ∴ （3）解：符合条件的点N的横坐标为，过程如下： 如图：在抛物线上取点H，使得连接，使得 设 ∵，且 ∴ 即 解得或（舍去）； 设点 ∵ ∴ ∴ 即 解得或（舍去）； 综上：符合条件的点N的横坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求一次函数的解析式，面积最大值，三角函数等内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 压轴满分题九、一次函数实际实际综合应用 41．（2025·河南周口·一模）河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． (1)分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； (2)若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ (3)若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件 (2)普通包装的山药最少购进件 (3)购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，根据题意列出方程，不等式和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． （3）设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据题意得， 解得： 答：每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件； （2）解：设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意得， 解得： 最小正整数解为 答：普通包装的山药最少购进件 （3）解：设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值 答：购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 42．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）春节期间，小明一家乘坐飞机前往某市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元． (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与x间的关系式； (2)请你帮助小明计算租多少小时选甲公司租车合算． 【答案】(1)，；， (2)当，甲合算 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据表格中两家公式给出的租车收费方式，可得出、与x之间的关系式； （2）求出当时x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，； ，． （2）解： 当， 解得：， ∴当时，选择甲公司合算． 43．（吉林省松原市前郭县北部学区2024~2025学年下学期第一次月考九年数学试卷）如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备给相距的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小强行走的时间为（分钟）． (1)求的值； (2)若顾客要求小强的送货时间不能超过22分钟，则小强送到目的地是否超时（说明理由）？ (3)求小明离开超市提速后行驶的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (4)若小明送货过程中与小强相距100米时，直接写出小强行走的时间是多少分钟． 【答案】(1) (2)不超时，理由见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的图象、求函数解析式，从函数图象中获取信息是解题的关键． （1）利用函数图象求出小明原来的速度，再乘以得到后来的速度，即可求出的值； （2）利用函数图象求出小强的速度，得出的值，再与22分钟比较大小即可得出结论； （3）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法求解即可； （4）先求出小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为，再分和两种情况讨论，结合小明与小强相距100米，分别求出对应的值即可解答． 【详解】（1）解：小明原来的速度为（米/分）， 小明后来的速度为（米/分）， ， 的值为16． （2）解：不超时，理由如下： 由（1）得，， 小强的速度为（米/分）， （米/分）， ， 小强送到目的地不超时． （3）解：设函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 函数关系式为． （4）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为， 代入得，， 解得：， 小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为， 当时，， 此时小明和小强的距离为（米）， ， 当时，小明和小强不能相距100米； 当时，小明和小强的距离为（米）， 小明与小强相距100米， ， 解得：或； 综上所述，小强行走的时间是或分钟． 44．（2025·四川遂宁·一模）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值． 电影类型 历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧痛类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 (1)从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率； (2)根据前期调查反馈： 历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率； 恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率． 现有一部历史类的A电影和一部恐怖类的B电影将同时在某影院上映，A电影的票价为45元，B电影的票价为40元．该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中A电影排了场． ①求出最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式（不必写出的取值范围）； ②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配A，B两部电影的场次，使得当天的票房收入最高？ 【答案】(1) (2)①；②排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高 【分析】本题主要考查了概率公式、一次函数的应用等知识点，掌握一次函数的应用成为解题的关键． （1）先求出共有2000部电影，再求出幻类中的好评电影的数量为部，然后运用概率公式求解即可； （2）①先分别求出两部电影的上座率，然后根据题意列出票房收入与的函数关系式；②根据①得到的函数解析式，运用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意，（部）， 共有2000部电影，其中科幻类中的好评电影的数量为（部）， 从该电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是科幻片中的好评电影的概率为． （2）解：①A电影的上座率为，B电影的上座率为， 最大放映厅每天有7个场次可供排片，其中A电影排了场，则B电影排了场， ， ∴最大放映厅每天的票房收入与的函数关系式为； ②最大放映厅每天有7个场次可供排片，两部电影每天都要有排片， ，且为正整数， ，， 随的增大而增大， 当时，有最大值． 排片经理应排A电影6场，B电影1场，可使得当天的票房收入最高． 45．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）在高压输电线路的检查过程中，无人机凭借其强大的环境适应能力，可以在恶劣的天气条件下和复杂的地形环境中进行作业．甲、乙两地有一条高压输电线路，在某次检查时，A型号无人机从甲地到乙地，对输电线路进行无损探伤检测；B型号无人机从乙地到甲地，对输电线路进行有无异物悬挂检测．两架无人机同时出发匀速飞行，B型号无人机的速度是A型号无人机的2倍，当B型号无人机到达甲地时，停止飞行，A型号无人机继续飞行到乙地．设A型号无人机的飞行时间为，两架无人机之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象回答下列问题： (1)当______时，两架无人机相遇；甲、乙两地输电线路的长度是______． (2)分别求两架无人机的飞行速度． (3)直接写出点M和点N的含义；并求B型号无人机到达甲地时，A型号无人机到乙地的距离． 【答案】(1)1；； (2)A型号无人机的飞行速度为，B型号无人机的飞行速度为； (3)B型号无人机到达甲地时，A型号无人机到乙地的距离为． 【分析】本题考查了一次函数的应用，能够从图象中获取有用的信息是解决问题的关键． （1）观察图象即可得解； （2）设A型号无人机的飞行速度为，则B型号无人机的飞行速度为，根据图象列出方程，求解即可； （3）先求出A型号、B型号到达甲地时的时间，然后用A型号的速度A型号、B型号的时间差即可得解． 【详解】（1）解：观察图象可知，当时，两架无人机相遇；甲、乙两地输电线路的长度是； 故答案为：1；； （2）解：设A型号无人机的飞行速度为，则B型号无人机的飞行速度为， 根据图象可知， 解得，， 那么，， 答：A型号无人机的飞行速度为，B型号无人机的飞行速度为； （3）解：点M的含义是B型号无人机到达甲地；点N的含义是A型号无人机到达乙地． B型号无人机的飞行速度为， B型号无人机到达甲地用时为． A型号无人机的飞行速度为， A型号无人机到达乙地用时为． B型号无人机到达甲地时，A型号无人机到乙地的距离为． 答：B型号无人机到达甲地时，A型号无人机到乙地的距离为． 压轴满分题十、反比例函数动点问题 46．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．     （1）先求出，再利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则，由，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 又∵在一次函数的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设点的坐标为，则， ， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 47．（23-24八年级下上·四川资阳都·期末）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数与几何综合，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设，过作轴于，过作轴于，利用旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，即可解答． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点和， ， ，， 反比例函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：设， 如图，过作轴于，过作轴于， ， 将线段绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ，， ， ， 或， 或． 48．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在菱形中，，，动点从点出发，以的速度沿着方向运动，同时动点从点出发，以的速度沿着方向运动，一点停止时另一点立即停止运动．设动点的运动时间为，记的面积为，点到直线的最短距离与动点运动的路程之比为． (1)请直接写出，与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，自变量的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，反比例函数与一次函数的应用是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，利用勾股定理可得，再解直角三角形可得，，，然后分两种情况：和，解直角三角形可得的边上的高，利用三角形的面积公式可得与之间的函数关系式；解直角三角形可得点到直线的最短距离，由此即可得与之间的函数关系式； （2）根据一次函数和反比例函数的图象的画法即可得；再写出函数的增减性即可得； （3）分别求出当和时，两个函数的交点的横坐标，再结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴，，， 由题意得：点从点出发运动到点所需时间为，点从点出发运动到点所需时间为，点从点出发运动到点所需时间为， ①如图，当时，过点作于点，则， ∴， ∴； ②如图，当时，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴，即点到直线的最短距离为， 由题意得：， ∴， 综上，，． （2）解：在直角坐标系中画出，的函数图象如下： 函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 当时，联立， 解得或（舍去）， 所以当时，两个函数的交点的横坐标为， 结合函数图象可知，当时，． 49．（24-25八年级下上·全国·假期作业）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点． (1)求的值； (2)以线段为对角线作正方形（如图③），点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1) (2)结论：的值不发生改变，，证明见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）连结，易证，故，，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作轴，垂足为点F，则， ∴, ∵， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴设， ∵四边形是平行四边形，且， ∴是向右平行一个单位，再向下平移2个单位所得， ∴， ∵点D，C在的图象上， ∴， 解得，， ∴； （2）解：结论：的值不发生改变，理由如下： 如图，连， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形中，，而， 所以，， ∵四边形内角和为， ∴． ∴， ∴． 50．（23-24八年级下上·重庆江北·期末）如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、勾股定理、三线合一等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由三线合一得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点E在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，同理可得当点E在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出的性质即可； （3）求出时两函数的交点横坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，于点D， ∴， ∴， ∴，即； 如图，点E在上时，过点D作于H，则， ∵， ∴， ∴； 同理：可得当点P在上时，． 综上所述，． （2）解：列表如下： x … 1 2 … … x … 1 6 … 0 … x … 1 2 … 6 3 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立：解得：或， ∴当时，与交点的横坐标为或， ∴由函数图象可得：当时，函数时x的取值范围为：． 压轴满分题十一、反比例函数存在性问题 51．（23-24八年级下上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象相交于、两点，轴于点，点的坐标为，连接、． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到的横坐标为，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出，即可求解； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，，结合，，得到，，进而得出，，根据“的面积与的面积相等”列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：轴于点， 的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ， 将代入反比例函数中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在， 联立， 解得：或， ，， ，， ，， ，， 的面积与的面积相等， ， 解得：或， 在反比例函数的图象上存在点，使得的面积与的面积相等，点的坐标为或． 52．（24-25八年级下·四川简阳·阶段练习）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为 (3)存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为 【分析】（）由一次函数解析式可得，即得，得到，进而可得，即可求证； （）设点的坐标为，可得，即得，同理可得，得到，即可求证； （）由点为线段的中点得，进而可得，得到，即得到，代入反比例函数解析式可得，即可求解． 【详解】（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为； （3）解：存在，理由如下： 当点为线段的中点时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴直线的解析式为， 即存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 53．（23-24八年级下上·山西长治·期末）如图，直线为常数，且）与双曲线相交于，两点，作轴于点，轴于点． (1)求直线和该双曲线的表达式； (2)在线段上是否存在一点，使的面积等于7？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)存在； (3)或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数、反比例函数与几何图形面积的综合，图象法求不等式的解集，掌握一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）把点，代入反比例函数解析式解得，，则反比例函数解析式为，所以，代入一次函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得，则，，所以，设，则，，根据，列式求解即可； （3）根据图象交点求不等式的解集． 【详解】（1）解：直线为常数，且）与双曲线相交于，两点， 把点，代入反比例函数解析式得， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为 （2）解：已知，轴于点，轴于点， ∴， ∴，， ∴， 如图所示， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得，， ∴线段上存在一点，使的面积等于7，点； （3）解：已知， ∴当或时，． 54．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点，在反比例函数的图象上．的延长线交轴于点，的延长线交轴于点，连接． (1)求的度数及点的坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）如图，作于M，于， 于，证明，，可得，，，继而证明四边形是正方形，可得，则可求得，再设，由在上，利用待定系数法求得m的值即可得； （2）设，，则，，可得，推出，可得，由，可得，继而根据，可得，由此可确定出的取值范围，继而根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于，于，于． ， ，， ， ，， 同理可证：， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可以假设， 在上， ， ， ， ； （2）解：设，，则，， ， ， ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， （当时取等号）， 的面积的最大值为． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，综合性较强，有一定的难度，利用参数构建方程和不等式解决问题是解题的关键． 55．（23-24八年级下上·四川遂宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接． (1)如图1，设A点坐标为，若，，且． ①求k的值； ②若的面积为，求点B的坐标； (2)如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；② (2)存在，3 【分析】（1）①依题意，得，再解n的值，即可作答； ②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可； （2）连接，易证E是中点，进而可表示出点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标即可得解． 本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数的解析式，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴A点坐标为， ∴； ②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N， 设点B的坐标为， ∵反比例函数图象上有A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 整理可得：， 解得（负值舍去）， ∴点B的坐标为． （2）解：连接， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴ ∴E为中点， ∴为的中位线 ∴， ∵D点坐标为， ∴A点坐标为， 则， ∴反比例函数表达式为， 设点B的坐标为， ∴点C的坐标为， ∵A点坐标为，E为中点， ∴， ∴点E的坐标为， ∵点B在点A右侧， ∴， ∴， ∴点E始终在直线的下方， ∴a的最小值为3． 压轴满分题十二、一次函数与反比例函数的交点问题 56．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，x的取值范围． (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或． (3) 【分析】本题考查了反比例和一次函数解析式的求法，反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是先根据题意求出各个解析式． （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据一次函数和反比例函数的交点横坐标以及图象的位置关系即可得到答案； （3）令一次函数表达式中求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点． 将、代入中， 得：，解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴由图象可知，时，x的取值范围为或． （3）令中，则， ∴点C的坐标为， ∴． 57．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）已知反比例函数． (1)若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； (2)如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）把这两个函数解析式联立，化简可得，反比例函数的图象与直线只有一个公共点，可得，即可求得值； （2）将向右平移3个单位长度，得曲线，画出图象，观察图象借助网格求解出面积即可． 【详解】（1）解：由题意得 得． 反比例函数的图象与直线只有一个公共点， ， 解得． （2）解：如图所示，为所求： 平移至处所扫过的面积：． 58．（2025·山西晋城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）利用函数图象即可得解； （3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 ∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或， 解得：或，即或， 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：， 解得：，即， 综上所述，点的坐标为或或． 59．（2025·四川内江·二模）如图，已知点的坐标为．将线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段． (1)点的坐标为_____，点的坐标_____．（均用含的式子表示） (2)若点，同时落在反比例函数的图象上． ①求及的值； ②设所在直线解析式为，根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)①，；②或 【分析】本题考查坐标的平移，求反比例解析式，一次函数和反比例函数交点问题等． （1）根据题意利用平移性质可得对应坐标； （2）将点，均代入反比例解析式即可求出本题答案； （3）先将，求出，后观察图象即可得到． 【详解】（1）解：根据题意可得点的对应点为，的对应点为， ∵，线段向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段， ∴， ∵的坐标为， ∴，即：， 故答案为：，； （2）解：①∵点，同时落在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴，； ②∵所在直线解析式为，， ∴，， ∴的解集：或． 60．（23-24八年级下上·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 压轴满分题十三、平行四边形性质和判定的应用 61．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． (1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则； （2）根据平行线的性质得出，，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 62．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， .， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 63．（23-24八年级下·四川资阳·阶段练习）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12． (1)如图1，AD＝____； (2)如图2，①求证：△DEF为等边三角形； ②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长____． 【答案】(1)4 (2)①见解析；② 【分析】（1）过D作DG⊥AB于G，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）①作辅助线，构建等边三角形AEH，先证明四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，得对边相等，再证明△AEH是等边三角形，由SAS证明△DHE≌△FCE，可得DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，所以△DEF是等边三角形； ②过E作EM⊥AB于M，先得AC＝2，BC＝CD＝1，证明∠ECD＝30°+60°＝90°，根据勾股定理可得EF的长． 【详解】（1）解：过D作DG⊥AB于G，如图1所示： ∵AD＝BD，∠ADB＝120°， ∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6， ∴AD＝2GD， ∵AD2＝GD2+AG2， ∴4CD2＝GD2+62， ∴GD＝2， ∴AD＝4， 故答案为：4． （2）解：①延长FC交AD于H，连接HE，如图2所示： ∵CF＝FB， ∴∠FCB＝∠FBC， ∵∠CFB＝120°， ∴∠FCB＝∠FBC＝30°， 同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBC， ∴， 同理：， ∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形， ∴EC＝AH，BF＝HD， ∵AE＝EC， ∴AE＝AH， ∵∠HAE＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°， ∴∠DHE＝120°， ∴∠DHE＝∠FCE． ∵DH＝BF＝FC， ∴△DHE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC， ∴∠DEF＝∠CEH＝60°， ∴△DEF是等边三角形； ②过E作EM⊥AB于M，如图3所示： ∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∵∠DBA＝30°， ∴∠CDB＝∠DBC＝30°， ∴CD＝BC＝AC， ∵AB＝12， ∵AC＝8，BC＝CD＝4， ∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠ECD＝30°+60°＝90°， ∵AE＝CE， ∴CM＝AC＝4， ∵∠ACE＝30°， ∴CE＝， Rt△DEC中，DE＝＝＝， 由①知：△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中30度角的性质等知识点；熟练掌握30度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题难度适中． 64．（23-24八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 65．（23-24八年级下上·四川眉山·期中）和都是等腰直角三角形，．    （1）如图，点在线段上，点在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系：________； （2）如图，将图中的绕点逆时针旋转，旋转角为（），请判断并证明线段与线段的数量关系； （3）将图中的绕点逆时针旋转，旋转角为（），若，在旋转的过程中，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）角α的度数是45°或225°或315°． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，根据旋转的性质可得，根据全等三角形的判定定理可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，， 在与中 ， ∴， ∴； （3）如图， ∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴①当C点旋转于位置时， ②当C点旋转于位置时， ③当C点旋转于位置时， ∴角α的度数是45°或225°或315°， 故答案为：45°或225°或315． 【点睛】题目主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质是解题关键． 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解． 【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴方程的解是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，结合单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，即可得出答案． 【详解】解：设采购x个篮球，可得方程为； 设标价都为每个y元，可得方程为； 故选项A符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级下上·山西长治·期末）在五边形中，，，，是边的中点，点由点出发，按的顺序运动．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以求出各段的函数解析式．根据已知条件，可以分别求出各段对应的函数解析式，从而可以得到各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：由已知可得， 当点从到的过程中，； 当点从到的过程中，； 点从到的过程中，． 故选：A． 4．（23-24八年级下上·四川简阳·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下上·四川眉山·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．过点作轴，根据平行四边形的性质可证，所以可得，因为点在第四象限，所以可得，可得方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 四边形是平行四边形， ，，轴， ， 在和中， ， ， 设点的坐标为， 则， 点在第四象限， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， ， 解得：． 故选：A ． 6．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解分式方程，新定义，理解新定义，掌握解分式方程的方法是解题的关键．根据新定义得出：，然后再根据解分式方程的方法，先转变为整式方程，解整式方程求出的值，最后检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知直线与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，两条直线的交点坐标即为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解．因此先把点代入直线解析式中，求得m的值，即点P的坐标，从而可得方程组的解． 【详解】解：把代入得， 解得：， ∴直线与交于点， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·福建厦门·期末）（1）计算： ． （2）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 【答案】 2024 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及探究数字变化规律的方法及单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则，正确运算是解决问题的关键． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，再进行加法运算即可． （2）观察上面两个式子可以知道，先进行整式运算，再把所得结果中x、y、z的指数依次排列，就可以得到密码． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， ∴他输入的密码是2024． 故答案为：2024． 9．（2025·山西晋城·一模）视力表是眼科常用的检查工具，通常让患者辨认视力表上的视标，可以评估患者的视力水平，其中视力值是该行字母的宽度值的反比例函数．已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示．若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是 ． 宽度值 70 28 14 3.5 视力值 0.1 0.25 0.5 2.0 【答案】0.4 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 先求出反比例函数的解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意设， 当时， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：0.4． 10．（23-24八年级下上·四川乐山·期末）如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为 ．． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，平行四边形的性质，根据反比例函数的性质可得，结合平行四边形与平移的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点，点的横坐标为4， ∴， ∵四边形是平行四边形，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 故答案为：12． 11．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关运算顺序和运算法则． （1）先将负整数指数幂，0次幂，绝对值化简，再进行计算即可； （2）先根据幂的运算法则，将各项化简，再合并同类项即可； （3）根据平方差公式和单项式乘多项式，将括号去掉，再合并同类项即可； （4）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（2025·山西晋中·一模）“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，在采购时发现，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元． (1)求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元． (2)若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个? 【答案】(1)采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元 (2)该经销商至少采购“手办摆件”34个 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式解应用题，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键． （1）设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元，由题意列分式方程求解即可得到答案； （2）设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个，由题意列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设采购“手办摆件”的单价为元，则采购“卡通徽章”的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：采购“手办摆件”的单价为50元，采购“卡通徽章”的单价为65元； （2）解：设采购“手办摆件”个，则采购“卡通徽章”个， 根据题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为34， 答：该经销商至少采购“手办摆件”34个． 13．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题： (1)甲车经过 秒追上乙车， ． (2)设相遇后两车之间的距离为，求与x的函数关系式． (3)两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 【答案】(1)3，8 (2) (3)1秒或5秒 【分析】本题考查一次函数实际应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程等． （1）根据图2可知甲车经过3秒追上乙车，再根据题意列式即可得到的值； （2）设与x的函数关系式为，再将和代入即可求出； （3）先设相遇前两车之间的距离与x的函数关系式，待定系数法求出，再分两种情况列式求出一元一次方程的根即为本题答案． 【详解】（1）由图2可知：甲车经过3秒追上乙车， ∴， 故答案为：3，8； （2）解：设相遇后两车之间的距离与x的函数关系式为， 把和代入中得： ，解得：， ∴， （3）解：设与x的函数关系式为， 把和代入中得： ，解得：， ∴； ①当时，，即：， ②当时，，即：， 综上：两遥控车出发后1秒或5秒，它们之间的距离为4米． 14．（23-24八年级下上·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． (1)如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； (2)如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 【答案】(1)①4  ②1，3 (2)；理由见解析 【分析】（1）①根据点坐标为求出的值即可； ②过点作轴于点， 证明，得出，，根据点D的坐标得出，求出，即可得出答案； （2）过点作轴于点， 根据解析（1）得出，求出， 根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 解得， 的值为1，3； （2）解：当时，， 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，用m，n表达出点C，D的坐标是解题的关键． 15．（2025·广西桂林·模拟预测）【情境】中考尺规作图的专题复习课上，老师让同学们按要求作图： 在中，作的角平分线. 小南说：“这简单！我学过用尺规作图作角平分线的方法，我来试试。” 小宁说：“我还有别的方法可以实现作的角平分线！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分.” (1)按照小南的方法，在图中用尺规作的平分线； (2)小宁按照自己的方法作出了的角平分线，如图2所示，请你判断小宁的做法是否正确？若正确，请说明理由. 【答案】(1)见解析； (2)正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角的平分线、平行四边形的性质、圆的基本性质． 根据尺规作图作一个角的平分线作图即可； 根据小宁作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 作射线，射线即为的平分线； （2）解：小宁的作法正确， 理由如下： 以为圆心，为半径作弧， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， 小宁的作法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$