清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（青岛版）

清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．根据不等式的概念判定即可． 【详解】解：③没有不等号，不是不等式，④是等式， 则不等式有①，②；⑤，一共有3个， 故选：B． 【变式1-1】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有C符合题意． 故选：C． 【变式1-2】已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的识别，根据不等式的定义，进行判断即可．熟练掌握不等式的定义，是解题的关键． 【详解】解：①是等式，不是不等式； ②是不等式； ③是代数式，不是不等式； ④是不等式； ⑤是不等式； 故选B． 【变式1-3】据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：， ，，，，故A、C、D选项错误， B选项正确， 故选：B． 【变式2-1】若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题． 【详解】解：A、由两边同时加上8，可得，正确，不符合题意； B、由两边同时乘以4，可得，正确，不符合题意； C、由两边同时除以7，可得，正确，不符合题意； D、由两边同时乘以再加上1，可得，原写法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】若，则下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2-3】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边同时加上(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，对选项进行判断即可． 【详解】解：∵， A．若，则，此选项错误，不符合题意； B．，此选项错误，不符合题意； C．若，则，此选项错误，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【考点题型三】不等式的解题（） 【例3】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 【变式3-1】如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集为，可得方程，再解方程即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，解一元一次方程，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式3-2】下列各数是不等式的解的是（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据不等式解的定义判断即可． 【详解】解：2是不等式x<3的解．故选：A． 【点睛】此题考查了不等式的解集，弄清不等式解的定义是解本题的关键． 【变式3-3】如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】根据，判定区域即可． 【详解】因为， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键． 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义进行分析即可，熟知一元一次不等式的定义解题的关键． 【详解】解：A、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； B、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； C、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； D、是一元一次不等式，故选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据不等号两边都是整式，含有一个未知数且未知数的最高次数为1的不等式是一元一次不等式直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 含有2次，不符合题意， 是一元一次不等式，符合题意， 不是整式不等式，不符合题意， 含有2次，不符合题意， 故选：B． 【变式4-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； C、是一元一次不等式，本选项符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，在数轴上表示见解析 (2)，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． （1）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可； （2）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在数轴上表示其解集，如图： （2）解：， ， ， ， ， ， 在数轴上表示其解集，如图： 【变式5-1】解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 把解集表示在数轴上如下图所示， 【变式5-2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式：， 解：去分母，得， 去括号得，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得，∴这个不等式的解集在数轴上的表示如下所示： 【变式5-3】解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，再根据不等式的性质把的系数化为即可； （2）先去分母，去括号，再移项合并同类项，再根据不等式的性质把的系数化为即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型六】一元一次不等式解实际问题（） 【例6】为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】最多可以购买支钢笔 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，列出不等式是关键． 根据题意，设购买了支钢笔，则圆规的数量为个，由此列式得，解不等式即可求解． 【详解】解：购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个， ∴设购买了支钢笔， ∴圆规的数量为个， 已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元，购买奖品的总价不超过305元， ∴， 解得，， ∴最多可以购买支钢笔． 【变式6-1】某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． (1)求甲种树苗每棵多少元？ (2)若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 【答案】(1)元 (2)棵 【分析】（）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元， 由题意得，， 解得， 答：甲种树苗每棵元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得，， 解得， 答：至少要购买甲种树苗棵． 【变式6-2】为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【答案】(1)每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元 (2)5辆 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式； （1）设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售B型车m辆，则销售A型车辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元； （2）解：设销售B型车m辆，则销售A型车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为5． 答：B型车至少销售5辆． 【变式6-3】某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用400元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用880元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批恤衫每件的进价是多少元？ (2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的5件恤衫按六折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后销售额不低于2800元（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)40元 (2)100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，根据第二次所购数量是第一批购进量的2倍，再建立分式方程求解即可； （2）求解两批一共进了：件，设每件恤衫的标价至少是元，根据两批恤衫全部售完后销售额不低于2800元，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，则： ，解得：， 经检验是方程的解， 答：该商场购进第一批恤衫每件的进价是40元； （2）解：两批一共进了：（件）， 设每件恤衫的标价至少是元，根据题意可得：， 解得：， 答：每件恤衫的标价至少是100元． 【考点题型七】解解一元一次不等式组（） 【例7】解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组或不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键。 （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为；， 数轴表示如下所示： 【变式7-1】解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得：． 解不等式②，得：． 原不等式组的解集是：． 将解集在数轴上表示如下： 【变式7-2】解不等式（组）． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； ∴不等式的解集． （2）解：， 由①得：， ∴， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 【变式7-3】解不等式组，并用数轴找解集：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．利用运算法则运算求解即可． 【详解】解： 由①可得： ； 由②可得： ； ∴在数轴上表示为： ∴原不等式的解集为 【考点题型八】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例8】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 【变式8-1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 【变式8-2】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的整数解共有3个， ，整数解为，0，1， 则的取值范围是． 故选：A． 【变式8-3】若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 【考点题型九】不等式组与方程组的结合问题（） 【例9】已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解方程组和一元一次不等式组，能根据题意求出方程组的解、准确求解不等式组的解集是解题的关键． （1）先求出方程组的解，根据x的值为非负数和y的值为正数得出，求出m的范围即可； （2）根据， ，求出，再根据，得出，最后求出即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 的值为非负数，的值为正数， ， 解得：， 即的取值范围是：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式9-1】已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式9-2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式9-3】已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 【考点题型十】一元一次不等式组的实际应用（） 【例10】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【答案】(1)营业厅购进型号手机部，型号手机部 (2)有三种购进方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式组． （1）根据题意和表中的数据，设出未知数，列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意设出未知数，列出关于两种型号手机数量的关系式，并根据利润列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： ， 解方程组，得 ∴营业厅购进型号手机部，型号手机部． （2）解：设营业厅购进型号手机部，型号手机部，根据题意，得： 解不等式组得 ∴可取整数10,11,12 即有三种购买方案： 方案一：购买型号手机部，型号手机部 方案二：购买型号手机部，型号手机部 方案三：购买型号手机部，型号手机部 ∴有三种购买方案． 【变式10-1】为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【答案】(1)，，； (2)该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元 (3)这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式． （1）利用数量总价单价填表即可； （2）根据花费14000元订购《朝花夕拾》的数量比花费7000元订购《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出订购《西游记》的单价，再将其代入中，即可求出订购《朝花夕拾》的单价； （3）设这个班订购本《朝花夕拾》，则订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各订购方案，再求出各订购方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该校初二年级购买《西游记》的单价为元，则购买《红楼梦》的单价为元， 购买《西游记》的数量为本，购买《红楼梦》的数量为本， 故答案为：，，； （2）解：据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：该校初二年级购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元； （3）解：设这个班订购本《红楼梦》，则订购《西游记》本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为3，4，5，6， 这个班共有4种订购方案， 方案1：订购3本《红楼梦》，7本《西游记》，所需总费用为（元； 方案2：订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，所需总费用为（元； 方案3：订购5本《红楼梦》，5本《西游记》，所需总费用为（元； 方案4：订购6本《红楼梦》，4本《西游记》，所需总费用为（元． ， 按照这些方案订购最低总费用为112元． 答：这个班订购这两种书籍有4种方案，按照这些方案订购最低总费用为112元． 【变式10-2】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． (1)求饰品每件的进价分别为多少元？ (2)该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元 (2)共有4种方案，方案一：购买饰品个，购买饰品个；方案二：购买饰品个，购买饰品个；方案三：购买饰品个，购买饰品个；方案四：购买饰品个，购买饰品个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意列出分式方程解方程，并检验，即可求解； （2）设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意列出一元一次不等式组，求得整数解,即可求解． 【详解】（1）解：设饰品每件的进价为元，则饰品每件的进价为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意； ∴饰品每件的进价为（元） 答：饰品每件的进价为元，饰品每件的进价为元； （2）解：设购买饰品个，则购买饰品个，根据题意得， 解得： ∵为正整数， ∴ ∴共有4种方案， 方案一：购买饰品个，购买饰品个； 方案二：购买饰品个，购买饰品个； 方案三：购买饰品个，购买饰品个； 方案四：购买饰品个，购买饰品个． 【变式10-3】在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 【变式10-4】“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （10个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】下列式子中：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D．1 【变式2-3】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】不等式的解题（） 【例3】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如果关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列各数是不等式的解的是（  ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【考点题型四】一元一次不等式的定义（） 【例4】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型五】求一元一次不等式的解集（） 【例5】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【变式5-1】解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【变式5-2】解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式5-3】解下列不等式 (1) (2) 【考点题型六】一元一次不等式解实际问题（） 【例6】为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？ 【变式6-1】某校准备用绿植美化校园，每棵甲种树苗比乙种树苗便宜元，买棵甲种树苗的费用恰好可以买棵乙种树苗． (1)求甲种树苗每棵多少元？ (2)若准备购买甲、乙两种树苗共棵，且总费用不超过元，则至少要购买甲种树苗多少棵？ 【变式6-2】为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价； (2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？ 【变式6-3】某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用400元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用880元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批恤衫每件的进价是多少元？ (2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的5件恤衫按六折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后销售额不低于2800元（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 【考点题型七】解解一元一次不等式组（） 【例7】解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【变式7-1】解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式7-2】解不等式（组）． (1) (2)． 【变式7-3】解不等式组，并用数轴找解集：． 【考点题型八】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例8】若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【考点题型九】不等式组与方程组的结合问题（） 【例9】已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． (1)求m的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围． 【变式9-1】已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式9-3】已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【考点题型十】一元一次不等式组的实际应用（） 【例10】5时代的到来，将给人类生活带来巨大改变，现有，两种型号的5手机，进价和售价如表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进，两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进，两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进，两种型号手机共30部，其中型手机的数量不多于型手机数量的2倍，且两种手机总利润不低于13800元，问有几种购进方案？ 【变式10-1】为培养学生的阅读能力，某校初二年级购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，花费分别是14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．设购买《西游记》的单价为元． (1)根据题意，用含的式子填写下表： 单价（元） 数量（本） 总费用（元） 《西游记》 7000 《红楼梦》 14000 (2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的《红楼梦》和《西游记》的单价各为多少元？ (3)该校初二年级某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《红楼梦》订购数量不低于3本，且两种书总费用不超过124元，这个班订购这两种书籍有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？ 【变式10-2】为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进两种文创饰品对游客销售．已知种的单价比种单价的倍少元，用元购买种的数量与用元购买种数量相等． (1)求饰品每件的进价分别为多少元？ (2)该商铺计划共购进个两种文创饰品，购买总费用不超过元，且种文创饰品的购买数量不少于种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【变式10-3】在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【变式10-4】“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$