湖南省长沙市长郡集团2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷

九年级期中检测试卷 数 学 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，是负数的是（ ） A． B． C． D． 2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占，将用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3．某小组8名学生的中考体育分数（单位：分）如下：39，40，40，42，42，42，43，44，则该组数据的众数、中位数分别为（ ） A．40，42 B．42，43 C．42，42 D．42，41 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点．若，则（ ） A．21° B．42° C．48° D．96° 7．如图，在△ABC中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，长沙市某中学针对九年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的倍，但每千克面粉价格提高了元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． （第6题图） （第7题图） （第9题图） （第10题图） 9．如图，在等边三角形OAB中，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（ ） A． B． C． D． 10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④．其中不一定正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：_________． 12．计算_________． 13．如图，直线l分别与直线a，b相交，a//b，若，则∠2的度数为_________． （第13题图） （第14题图） （第15题图） 14．如图所示，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积为_________． 15．如图，抛物线的顶点为，与y轴交于点．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点，点A的对应点为A'，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_________． 16．甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将隔壁班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”；乙说：“不是我打破的”；丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是_________打破的． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（6分）在学习了特殊平行四边形的判定后，数学兴趣小组进行了进一步的思考，在任意三角形中满足什么样的条件构造的四边形，可以判定为菱形呢？他们发现，三角形某个角的角平分线与对边交于一点，该角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与该角的两边所在直线交于两点，该角的顶点以及三个交点所构成的四边形是菱形，可利用证明三角形的全等得到此结论．根据他们的想法与思路，及（1）中的作图完成（2）中的填空： （1）如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D．用尺规作BD的垂直平分线，分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接DE，DG； （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形BGDE是菱形． 证明：∵BD平分∠ABC， ∴， 又∵EG垂直平分BD， ∴， ∴， ∴， 又∵EG垂直平分BD， ∴①________，， ∴△DEF≌②________， ∴， ∴四边形BGDE是菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是③_______． 20．（8分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是________人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有________人； （2）补全条形统计图； （3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 21．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若，，求⊙O的半径． 22．（9分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23．（9分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，，AF//DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若，，，求BC的长． 24．（10分）已知抛物线． （1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A'恰好在x轴上，求的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B，过点B的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当a≠4时，请用合适的式子表示（用含a的式子表示）． 25．（10分）如图1，在的网格中，⊙T的半径为1．若将∠MPN绕点Q旋转可以得到⊙T的圆心角∠M'P'N'（P'与点T重合），则我们称∠MPN是⊙T的以点Q为中心的“郡角”． （1）如图1，∠EDF，∠LKJ，∠HGI的顶点D，K，G都在格点上．在∠EDF，∠LKJ，∠HGI中，⊙T的以点Q为中心的“郡角”是________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若，若∠ACD是⊙M的以点A为中心的“郡角”，P为上的一个动点，CQ平分∠PCD交AP于点Q．当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求出AQ的值；若改变，请说明理由； （3）如图3所示，P为上的一个点，T是直径AB延长线的一点，DP经过圆心M，且．连接BC交直径DP于点F，点在直线AB上，若∠QDP是⊙M的以点Q为中心的“郡角”，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级期中检测试卷 数学参考答案 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.) 6 10 C 答 案 D D C C A A D 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 15.12 16.乙 三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每题6分,第20.21题每题8分,第22、23题每题9分,第24、25题每题 10分,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.【解.式...2...)............................................................................2分 -6一3十2 一5. ...................................................................................................................... 6分 17-14二0 . 18.【解析】 2(G十3)>x十4 ②. 由①得7.x14. 则<2. 由②得2x十6r十4. 则-2, 故原不等式组的解集为一2<x2 ....................................................................................5分 在数轴上表示其解集如下: -5-4-3-2-10123 45 19.【解析】①DF; ..................................................................................................................... 2分 ③正.方.....................................................................分... 20.【解析】(1)本次调查的总人数为18一36%一50(人). 故答案为,50,120: ........................................................................................................... 2分 (2)喜欢篇球的人数为:50×24%-12(人). 喜欢羽毛球的人数为:50-18-12-10-4-6(人). 补全条形统计图如下: ,人数 22)寸 1 ............................................................................... .5分 足球:篮球 排球羽毛球兵乓球项目 (3)画树状图如下: 共有12种等可能的结果数,其中抽取两人恰好是甲和乙的结果数为2, .甲乙两位同学同时被抽中的概率为:22一 1 九年级数学参考答案(C)一1 21.【解析】(1)证明:连接OC. .是O的切线, .OC/. .AD11. '.OC/AD. '. CAD-ACO-CAB, .AB是O的直径..ADC= ACB=90* .△ABCoACD: .............................. (2)·AC-5,CD=4.ADC=90*. 'AD-AC-CD-3. :△ABC△ACD. _ ·:AB25 ) .......................................................................................8分 22.【解析】(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为工 由题意得:32(1+x)②-50. 解得;t-0.25-25%,x=-2.25(不符合题意,舍去). 答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%; .............................................分 (2)设购买的这种健身器材的套数为套。 ·240000-1600-150(套),100+1600-1000 . -250(套),250×1000240000. ..100m250. 由题意得:mn(1600-m-100×40)-240000. 10 整理得:n-500n+60000-0. 解得;m一200,m。一300(不符合题意,舍去) 10 答:购买的这种健身器材的套数为200套 ..................................................................................9分 23.【解析】(1)证明:.E是AB的中点, ..AE-BE. “.DF-BF. '.EF是△ABD的中位线. .EF/AD. 即CF/AD. .AF/CD. '四边形AFCD为乎行四边形:............ (2)解法一:由(1)知,EF是八ABD的中位线。 .AD-2EF-2. “. EFB-90*,tan /FEB-3. ·BF-3EF-3. CFB-90 ,.四边形AFCD为乎行四边形, ..CF-AD-2. .BC三...........................................................分.. 九年级数学参考答案(C)-2 解法二:由(1)知,EF是△ABD的中位线, ..AD-2EF-2. . EFB=90{},$tan FEB=3 ..BF-3EF-3. .DF-FB, .DF-BF-3. .AD/CE. ' ADF= /FFB-90{ ..AF=AD+DF=13. .四边形AFCD为平行四边形, ..CD-AF-13 * DF=BF.CE BD. .B........................................................................................................9分 -2为-1. 24.【解析】(1)抛物线的对称轴为直线:1一一 2d 根据翻折可知点A的纵坐标为一8,即点A的坐标为(1,一8). 将点A的坐标代入抛物线表达式得:a-2a-4一-8. 解得:a-4. 即抛物线.对.为直线...............................................................................................3分 (2)在(1)中a-4. (4*-8x-4(r0或x2). '.图象“W”的解析式为y- 1-4r*+8x-4(0x<2); 设直线BD的解析式为y-x-4. 当bx-4-4*-8x-4时, 解得x-0(舍去)或-8十. 4) '点C的横坐标为) 8) 4: 当kr-4--4r+8r-4时, 解得x一0(含去)或,-8-k. .点P的横坐标为8- 4: 解得x-0(舍去)或二 83 _. .点D的横坐标为8+3 4) 如图1,作PM/x轴,过点C作CM |PM交PM于点M. 作CN/x轴,过点D作DN|CN交CN于点N 8+38十 由各点横坐标可得:PM一 4 2: .PM-CN .PM/x轴,CN/x轴. .'.PM/CN ../DCN-/CPM 图1 .. DN |CN,CM I PM. .CMP- DNC-90* 九年级数学参考答案(C)一3 ..CPMDCN(ASA) .PC-CD. ②当a>0且a-4时,图象“G”的解析式为y=ar*-2ax-4(a 0且a-4). 8十h 当kr-4-arx*-2ax-4(a>0且a-4)时,解得:x-0(含去),r-2a+k. .点D的横坐标为2a十k 当0a4时,如图2,作PQ/x轴,过点C作CQx轴交PQ于点Q,过 点D作DT |x轴交PQ于点T 4 (4十a) 4 : CQIPQ.DTIPT. .CQ/DT. ./CPQo/DPT .PC PQ 则pDPT(4+a)4+d 2a ........................................分 1将2 1 当a4时,如图3,作PQ/x轴,过点C作CQ x轴交PQ于点Q,过点D 作DT |:轴交PQ于点T. 2a+k8-h 由各点的横坐标可知PQ一 4 4 ) (4ta) .CQ PQ.DT PT. ..CQ/DT, .△CPQo△DPT PC PQ #则P(4+a)4+a 2a 4a 图3 综上所述:pD4十 PC_2. ............................................................................................ 10分 25.【解析】(1)/EDE. (2)AQ不随P的位置变化,AQ-AC-2 连接AC,MC. ”' ACD是M的以点A为中心的“郡角”,A(一1,0) ..AC-AM-MC. '八AMC是等边三角形 .直径ABCD. ·AC-AD,AM-2AO-AC-2. ..ACD-/P. 又:CQ平分OCP. .PCQ-OCQ. . ACD+OCQ-PCQ+P 九年级数学参考答案(C)一4 即:ACQ-AQC, 'A......................................................................................................6分 (3)QDP是M的以点Q为中心的“郡角”, .QM-QD. .OD+QO-QD. .Q25. .'.OM-QM-QO-3. 设半径DM-r. -OM-OD. 解得:-5. . DM-OM.MT. 过点F作FGOB于点G. 解法一:设MG-a,则BG-MB-MG-5-a. △MOD)△MGF. .0. 又''FG/OC. ) # .$FB-FG+BG-一(20)+(40)}-20 .BF+Br-20510 113 .................................................................................... .0分 解法二:由OM-3得M(3,0),D(0,-4),C(0,4),B(8,0). _ 联立 0-0 .BF-、FG+BG一、(2)+(10#-20. .BF+BT-20/510 113 九年级数学参考答案(C)一5