第1章 直角三角形的边角关系 综合评价（word练习）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)

第一章综合评价 (时间：120分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC＝( A ) A．2 B．3 C．4 D．18 2．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 m，其铅直高度上升了15 m．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是( A ) A． B． C． D． 　　 3．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝100 m，∠B＝30°，则B，C两地之间的距离为( A ) A．100 m B．50 m C．50 m D． m 4．在锐角△ABC中，＋(cos B－)2＝0，则∠C的度数是( A ) A．75° B．60° C．45° D．105° 5．△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于点D，下列选项中错误的是( C ) A．sin α＝cos α B．tan C＝2 C．sin β＝cos β D．tan α＝1 6．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上一点，且BD＝BA，则tan ∠DAC的值为( A ) A．2＋ B．2 C．3＋ D．3 　　 7．如图，在距离铁轨200 m的B处观察由北京开往贵阳的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10 s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A ) A．20(＋1) m/s B．20(－1) m/s C．200 m/s D．300 m/s 8．如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面的鱼线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 m，则鱼竿转过的角度是( B ) A．60° B．15° C．45° D．90° 9．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α－cos α＝( D ) A． B．－ C． D．－ 　　 10．如图，AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，BC上，若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则( B ) A．∠AEB＋22°＝∠DEF B．1＋tan ∠ADB＝ C．2BC＝5CF D．4cos ∠AGB＝ 二、填空题(每小题4分，共24分) 11．如图，旗杆高AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16 m，则tan C＝____． 12．已知α是锐角，tan α＝2cos 30°，那么α＝__60°__． 13．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是____． 　　 14．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos ∠AEF的值是____． 15．如图①是手机放在手机支架上，其侧面示意图如图②所示，AB，CO是长度不变的活动片，一端A固定在OA上，另一端B可在OC上变动位置．若将AB变到AB′的位置，则OC旋转一定角度到达OC′的位置．已知OA＝8 cm，AB⊥OC，∠BOA＝60°，sin ∠B′AO＝，则点B′到OA的距离为____cm. 16．如图，一副三角形纸片拼在一起，O为AD的中点，AB＝a，将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__a__． 三、解答题(共56分) 17．(6分)计算：－2sin 45°＋tan 30°. 解：原式＝2 18．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长．(结果保留根号) 解：在Rt△ACD中，∠C＝90°，AC＝，∠ADC＝60°，∴AD＝＝＝2，∴CD＝1.∵BD＝2AD，∴BD＝4，BC＝BD＋CD＝5，∴AB＝＝＝2，∴△ABC的周长为AB＋BC＋CA＝2＋＋5 19．(8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母成功完成既定的海上实验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 解：由题意，得∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，∴在Rt△ACD中，CD＝AC·cos ∠ACD≈27.2(海里)，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan ∠BCD≈20.4(海里).∴还需航行的距离BD的长为20.4海里 20．(8分)如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A，B的距离，飞机在距海洋平面垂直高度为100 m的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500 m，在点D处测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A，B的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73，≈1.41) 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFE为矩形，∴AB＝EF，AE＝BF.由题意可知，AE＝BF＝100 m，CD＝500 m，在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100，∴CE＝＝(m).在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100，∴DF＝BF＝100 (m)，∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝500＋100－≈542.3(m)，即岛屿两端A，B的距离约为542.3 m 21．(8分)如图，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D. (1)求∠COD的大小； (2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tan α＝，OD＝12 m．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车) 解：(1)∵AO⊥OP，∴∠POD＝90°.∵∠POQ＝30°，∴∠DOQ＝∠POD－∠POQ＝90°－30°＝60°.∵OC⊥OQ，∴∠COQ＝90°，∴∠COD＝∠COQ－∠DOQ＝90°－60°＝30°，即∠COD的大小为30° (2)∵BC∥OQ，∴∠BCO＝180°－∠COQ＝90°，在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12 m，∴CD＝OD＝6(m)，∴OC＝＝＝6(m).∵tan α＝tan ∠OBC＝＝，∴BC＝＝6÷＝30(m)，∴BD＝BC－CD＝30－6＝24(m)，即轿车至少行驶24 m才能发现点A处的货车 22．(8分)某数学学习小组遇到这样一个问题：已知α，β都是锐角，且tan α＝，tan β＝，求α＋β的度数．该数学学习小组最后是这样解决问题的：如图①，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBD＝β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC. (1)如图①，求α＋β的度数； (2)请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝3，tan β＝时，在图②的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α－β，并求∠MON的度数． 　 解：(1)∵BC2＝32＋52＝34，AB2＝42＋12＝17，AC2＝42＋12＝17，∴BC2＝AB2＋AC2＝2AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴α＋β＝∠ABC＝45° (2)如答图所示的∠MON即为求作，连接MN，∵OM2＝32＋12＝10，ON2＝22＋12＝5，MN2＝22＋12＝5，∴OM2＝ON2＋MN2＝2ON2，∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM＝90°，∴α－β＝∠MON＝45° 23．(12分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°，已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30 m. (1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1 m) (2)已知坝高24 m，坝长100 m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52) 解：(1)MN＝20 m (2)过点D作DG⊥AB于点G，则DG＝24(m).∵AD的坡度为1∶0.25，DH的坡度为1∶1.75，∴AG＝6 m，GH＝42 m，∴AH＝GH－GA＝36(m)，∴S△ADH＝AH·DG＝432(m2)，∴需要填筑土石方为432×100＝43 200(m3).设施工队原计划平均每天填筑土石方x m3，则10x＋(－20－10)·2x＝43 200，解得x＝864，∴施工队原计划平均每天填筑土石方864 m3 学科网（北京）股份有限公司 $$