专题(1) 二次函数对称性的应用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年九年级数学下册(华东师大版)

专题(一)　二次函数对称性的应用 数学 九年级下册 华师版 练闯考 B 2 2 3 (4，3) 4 A 5 A 6 7 8 9 D 10 B 11 12 D 13 m＋2 14 15 16 17 18 类型一　求对称点的坐标 1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是( ) A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(3，0)和(0，2)，当x＝2时，其对应的二次函数值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线y＝ax2－4ax＋3(a<0)上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为 ． 类型二　求二次函数的待定系数的值 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值为( ) A．－2 B．－1 C．－ eq \r(2) D．－ eq \f(\r(2),2) 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( ) A．0 B．－1 C．1 D．2 6．已知二次函数y＝－4x2－8ax－a2＋2a，且当－1≤x≤1时，y的最大值为5，求a的值． 解：∵y＝－4x2－8ax－a2＋2a＝－4(x＋a)2＋3a2＋2a，∴其对称轴为直线x＝－a. 当－a≤－1，即a≥1时，则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值，∴－4×(－1)2＋8a－a2＋2a＝5，解得a＝1或9；当－1＜－a＜1，即－1＜a＜1时，则当x＝－a时，y取最大值，∴3a2＋2a＝5，解得a＝1(舍去)或－ eq \f(5,3) (舍去)；当－a≥1，即a≤－1时，则当－1≤x≤1时，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y取最大值，∴－4×12－8a－a2＋2a＝5，解得a＝－3.综上所述，a的值为－3或1或9 类型三　求二次函数的表达式 7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，求它对应的函数表达式． 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(3，0)，a＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，故函数表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，与x轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的函数表达式． 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－2，8)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2.∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(－4，0)，(0，0).设抛物线表达式为y＝ax(x＋4)，把(－2，8)代入，解得a＝－2，∴抛物线表达式为y＝－2x(x＋4)，即y＝－2x2－8x 类型四　比较函数值的大小 9．已知二次函数y＝2(x－1)2＋m的图象上有三个点，坐标分别为A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1 10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)与x轴分别交于(－1，0)，(5，0)两点，当x＝1时，函数值为y1；当x＝3时，函数值为y2.下列结论正确的是( ) A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： 若A(m，y1)，B(m－1，y2)两点都在该函数的图象上，当m满足 时，y1<y2. m＞ eq \f(5,2) 类型五　巧用抛物线的对称性解其他问题 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，O是AB的中点，以O为顶点的抛物线经过C，D两点，以OA，OB为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A．2π B．π－ eq \r(2) C．π D． eq \f(π,2) 13．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－1，点C在抛物线上，且位于点A，B之间(C不与A，B重合).若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为 ．(用含m的式子表示) 14．(遵义中考)如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连结DE，DF，求DE＋DF的最小值． 解：连结AC，交对称轴于一点，当点P位于该点处时，PC＋PB最小．∵点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，∴DE＝ eq \f(1,2) PC，DF＝ eq \f(1,2) PB，∴DE＋DF＝ eq \f(1,2) PC＋ eq \f(1,2) PB＝ eq \f(1,2) PC＋ eq \f(1,2) PA＝ eq \f(1,2) AC.令y＝x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)，∴OA＝3.当x＝0时，y＝x2＋2x－3＝－3，故CO＝3，∴AC＝ eq \r(OA2＋OC2) ＝3 eq \r(2) ，故DE＋DF的最小值为 eq \f(3\r(2),2) 15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求直线BC的函数表达式； (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围． 解：(1)易得C(0，3)，A(1，0)，B(3，0).设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,3k＋b＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝3，)) ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3 (2)由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，－1).∵y1＝y2，∴x1＋x2＝4.令y＝－1，而y＝－x＋3，∴x＝4.∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8 $$