精品解析：山西省吕梁市孝义市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期八年级阶段性检测一 数学 注意事项： 1、本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意．本大题共有10小题，每小题3分．共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 2. 的三边分别为、、，其对角分别为、、．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．根据三角形内角和定理判断A、D即可；根据勾股定理的逆定理判断B、C即可． 【详解】解：A、， ， ， ， ，即是直角三角形，故本选项错误； B、， 是直角三角形，故本选项错误； C、， ， 是直角三角形，故本选项错误； D、，， ，，， 不是直角三角形，故本选项正确； 故选：D 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A. ∵不是同类二次根式，故不正确； B. ∵ ，故正确； C. ∵ ，故不正确； D. ∵，故不正确； 故选B. 4. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( ) A. 1 B. 2.41 C. D. 1＋ 【答案】D 【解析】 【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度． 【详解】应用勾股定理得，正方形的对角线的长度==， 以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+． 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径． 5. 在中，的值可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：对角相等；根据此性质，，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 从四个选项来看，只有选项A符合题意； 故选：A． 6. 如图，□ABCD中，AC＝3cm，BD＝5cm，则边AD的长可以是( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根三角形的三关求出AD范围即可判断. 详解：设AC与BD相交于O， 在□ABCD 中，AO=AC=×3=1.5(cm)，OD=BD=×5=2.5(cm)， 由三角形的三边关系得，OD-AO<AD<OA+OD, ∴2.5-1.5<AD<2.5+1.5, ∴1<AD<4, ∴AD的长可以是2cm或3cm， 故选A 点睛：本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7. 如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A. 秦九韶 B. 祖冲之 C. 赵爽 D. 杨辉 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于勾股定理的历史知识：赵爽弦图；根据赵爽的弦图可以用于证明勾股定理即可求解． 【详解】解：赵爽的弦图可以用于证明勾股定理； 故选：C． 8. 如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标；由平行四边形的性质得，，从而可得点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴，； ∵点的坐标是， ∴点B的横坐标为，纵坐标为4， 即点B的坐标为； 故选：C． 9. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDF=∠DBC，由三角形的外角性质求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 由折叠可得∠ADB=∠BDF， ∴∠DBC=∠BDF， 又∠DFC=40°， ∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°， 又∵∠ABD=48°， ∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°， ∴∠E=∠A=112°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 第II卷非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12. 计算：的结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，把二次根式的除法转化成乘法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13. 要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________. 【答案】两条对角线分别平分的四边形是平行四边形 【解析】 【详解】解：根据题意得出OA=OC，OB=OD， 所以利用两条对角线分别平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形， 故答案为：两条对角线分别平分的四边形是平行四边形． 14. 如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为__________. 【答案】18米 【解析】 【详解】如图，由题意知BC=5,AB=12, ∴AC= ∴树原高13+5=18米. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 15. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 求出，得到等腰三角形，由角的直角三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】解：（1）原式＝2﹣﹣+3 ＝5﹣； （2）原式＝4﹣5﹣（3﹣4 +4） ＝﹣1﹣7+4 ＝4﹣8． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法将转化为ab(a+b)，再代入数值解答． 【详解】解：∵a=，b= ∴ab==2 a+b== ∴a2b+ab2 =ab(a+b) =2 =． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及提公因式进行因式分解、平方差公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 小明在学习中发现了一个“有趣”的现象： ② ③ ④ 上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)； 写出该步的正确结果． 【答案】（1）②；（2） 【解析】 【分析】（1）②中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可知这一步错误； （2）根据二次根式的性质求解可得． 【详解】（1）②； （2）． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握二次根式的非负性和二次根式的性质与运算法则． 19. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】（1） 解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）路线更短 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 20. 阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【答案】【探索新知】 【初步运用】（1）；（2）12；（3）24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，掌握勾股定理内容是解题的关键． 1、【探索新知】利用“大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积”，列式即可求解； 2、【初步运用】 （1）分别表示出大正方形面积与小正方形面积，即可求解； （2）利用边长为c的正方形面积减去两个直角三角形面积，即可求解； （3）设，则，由题意得，则，由勾股定理建立方程即可求得，从而得，即可求得面积． 【详解】解：【探索新知】 由题意，大正方形面积为，小正方形面积为，四个直角三角形的面积为， ∴； 故答案为：； 【初步运用】 （1）大正方形面积为， 小正方形面积为， 则， 故答案为：； （2），一个直角三角形的面积为， 则空白部分面积为：； 故答案为：12； （3）设，则， 由题意得， ∴， 即； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故风车状图案的面积为． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 22. 综合实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证：． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接．这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，……． 证明：…… 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是___________．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.方程思想 （2）证明四边形是平行四边形的依据是___________． 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如下辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为 （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 【答案】（1）B； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）证明：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴，，， ∴； ∵E点是的中点， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； 同理得：， ∴，， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∴； ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据材料中的分析知，体现的数学思想是转化思想，从而可完成求解； （2）由分析知，证明四边形是平行四边形，则，，结合D点为中点，得，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形； （3）根据“智慧小组”添加的辅助线，则有，再分别证明，则有，，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】解：（1）材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想； 故答案为：B． （2）证明四边形是平行四边形的依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级阶段性检测一 数学 注意事项： 1、本试卷共6页，满分100分．考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意．本大题共有10小题，每小题3分．共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 的三边分别为、、，其对角分别为、、．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( ) A. 1 B. 2.41 C. D. 1＋ 5. 在中，的值可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 6. 如图，□ABCD中，AC＝3cm，BD＝5cm，则边AD的长可以是( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 7. 如图，这个图案是我国汉代一位著名的数学家在注解《周髀算经》时给出的，利用此图可以证明勾股定理．这位数学家是（　　） A. 秦九韶 B. 祖冲之 C. 赵爽 D. 杨辉 8. 如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　 A. B. C. D. 10. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2025 B. 2024 C. 22023 D. 第II卷非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 12. 计算：的结果为______． 13. 要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________. 14. 如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为__________. 15. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若，则___________． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，求的值． 18. 小明在学习中发现了一个“有趣”的现象： ② ③ ④ 上面的推导过程中，从第_______ 步开始出现错误(填序号)； 写出该步的正确结果． 19. 某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短． 20. 阅读与思考 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考；不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：___________（用含字母、、式子表示），化简证得勾股定理：． 【初步运用】 （1）如图1，若，则小正方形面积:大正方形面积___________． （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，，此时空白部分的面积为___________． （3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 22. 综合实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢？ 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证：． 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接．这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，……． 证明：…… 问题解决： （1）上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是___________．（填入选项前的字母代号即可） A．数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.方程思想 （2）证明四边形是平行四边形的依据是___________． 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如下辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为 （3）请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $