精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

南充高中高2023级第四学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 命审题：童俊璋 杨秦飞） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理和等比数列的性质即可求解. 【详解】由韦达定理得，， 又为等比数列，所以， 所以， 故选：A. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心在直线上即可求解. 【详解】的圆心为， 故在直线上，故，解得， 故选：C 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，首项为，由题意和等差数列的前项公式列出方程组，求出和，再求出. 【详解】设等差数列的公差为，首项为, 因为， 所以，解得， 所以. 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标写出抛物线方程，再求出坐标，进而得直线方程. 【详解】由题设，得，则，故抛物线， 将代入，得，得，∴ ∴, 所以直线的方程为，即. 故选：B. 6. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的定义可得. 【详解】由题意可得 . 故选：D 7. 记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心距与半径的关系可得两圆相离，再由题意与圆的相关知识即可求得. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点为圆上的动点，所以， 所以的最大值为. 故选：A. 8. 已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得出，，  由双曲线的定义可得出、，在中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】令，由，得，，   由双曲线定义，， 在中，， 由余弦定理可得， 得，整理得， 解得，所以，，． 在由余弦定理， 得， 整理得，则． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式计算，逐一判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为， 由，得，即，故A正确； 又，故B正确； 当，是单调递增数列，， 所以当时，当时，所以或最小； 当，是单调递减数列，， 所以当时，当时，所以或最大，故C错误； 又，因为,所以，故D错误. 故选：AB. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面.故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为梯形，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解选项A；联立 ,再根据对称性得，即可求解选项B；设点，则，所以，根据二次函数单调性和最值求解选项C；开口向上的抛物线上一点，求得到直线的距离，求出，则阴影部分的面积，即可求解选项D. 【详解】对A，根据题意，开口向右的抛物线的方程为，焦点为， 所以开口向上的抛物线的焦点为，则对应的抛物线方程为，A错误； 对B，联立，解得或，所以, 根据对称性可知，, 所以,B正确； 对C， 如图，直线与开口向右、向上的抛物线在第一象限的交点为， 因为关于直线对称，所以设点，则， 因为，所以， 所以， 因为二次函数在单调递减，单调递增， 且， 所以时，有最大值，最大值为，C正确； 对D，由于对称性，每个象限的花瓣形状相同， 故可以先求部分面积的近似值， 如图， 取开口向上的抛物线上一点， 则点到直线的距离等于， 所以， 所以阴影部分的面积，D正确； 故选:BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足在处导数为__________. 【答案】# 【解析】 【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值. 【详解】, ， ， . 故答案为：. 13. 一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为______. 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式，求得两次都取得白球的方法数除以取球两次的总方法数可得答案． 【详解】由题意得两次随机取两球有种取法， 其中两次都取到白球的取法有2种， 故两次都取到白球的概率为， 故答案为：． 14. 若数列满足，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】变形给定的递推公式可得等差数列，设出公差并表示出通项公式，再利用裂项相消法求和求解. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为的等差数列，设公差为，，， 于是，， 由，得，解得，因此， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率. 【答案】（1）0.24 （2）0.936 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式即可. （2）利用对立事件概率和为1进行转化. 【小问1详解】 设李明第二次答题通过面试为事件A. 【小问2详解】 设李明最终通过面试为事件B. . 16. 已知函数. （1）若，求； （2）若在处的切线与直线垂直，求a. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案. （2）根据斜率的关系列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由题意知，，即， 所以，所以或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接与交于点，连接， 底面为菱形，点为的中点， 点为的中点， 又平面，平面， 又平面，平面平面. （2）； （3） 不存在，理由如下： 因为点在线段上，设， 由可得， 则，则，则， 由题意，若直线与平面所成夹角为， 则， 整理得，解出 又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点． 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质证得，再利用线面垂直证得面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； （3）利用向量法结合空间向量的线性运算表示出线面角，求出的系数不符合题意，即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，且底面为菱形，两两垂直. 以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 底面为菱形，且，则为等边三角形， ，， 分别为的中点，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则， 底面为菱形，， 平面平面，且平面平面平面， 平面， 为平面的一个法向量， 设二面角大小为， 则． 所以二面角的大小为； 【小问3详解】 略 18. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 【答案】（1）证明： 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用的关系结合等差数列的定义可得； （2）①先由等差数列的性质求出的通项，再由错位相减法求和可得； ②先分离参数，然后构造数列，利用单调性法求出其最大值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， 所以则对任意的恒成立， 令； 所以， 则当时，为递增数列，； 当时，； 当时，为递减数列，. 当或6时，，故． 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤1：用圆规作一个圆：，设圆心为，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点为两条折痕的交点，且过点的两条折痕与椭圆相切与、两点，为坐标原点，、分别表示直线与直线的斜率． （1）求的值； （2）若； ①求点轨迹方程； ②的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出椭圆方程，设出一条切线方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0建立方程，进而求出直线的方程即可求得斜率积. （2）①按过点的切线斜率存在与否分类讨论，在斜率存在时设出切线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合（1）的结论求出轨迹方程；②将（1）中直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示建立函数关系，进而求出范围. 【小问1详解】 如图，设为椭圆上一点，依题意，， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，虚半轴长， 椭圆方程为，设， 两条切线的斜率存在，设其中一条的斜率为，直线方程为， 由消去有， 由， 整理得，由在椭圆上，得， ， 于是方程有两个相等的实根，即， 又，整理有， 同理点也满足方程， 因此直线方程为，即，而， 所以的值为. 【小问2详解】 ①当两条切线中有一条斜率不存在时，即两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时， 当两条切线的斜率存在，且设其中一条的斜率为，交点为， 则过的切线方程为， 由消去有． ， 整理得，，是关于的一元二次方程的两个根， 则，由，得， 即，点也在圆上， 所以动点的轨迹方程为. ②由（1）知，直线方程为：， 由消去有， 于是，又，且， 则， 且满足，即，， 又，因此， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2023级第四学期第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分 命审题：童俊璋 杨秦飞） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 7 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 3 8. 已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 10. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C. 三棱锥的体积为4 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数满足在处导数为__________. 13. 一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次都取到白球的概率为______. 14. 若数列满足，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率. 16. 已知函数. （1）若，求； （2）若在处的切线与直线垂直，求a. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知数列的前项和为． （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）． 步骤1：用圆规作一个圆：，设圆心为，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．且折痕均与椭圆相切，设点为两条折痕的交点，且过点的两条折痕与椭圆相切与、两点，为坐标原点，、分别表示直线与直线的斜率． （1）求的值； （2）若； ①求点轨迹方程； ②的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $