专题10.1 二元一次方程（组）（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题10.1 二元一次方程（组）（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 【要点提示】二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【知识点2】二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 【要点提示】 （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 【知识点3】二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 【要点提示】组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 【知识点4】二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【要点提示】 （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程 【题型1】二元一次方程的定义..................................................2 【题型2】二元一次方程的解....................................................2 【考点二】二元一次方程组 【题型3】二元一次方程组的判断................................................3 【题型4】二元一次方程组解的判断..............................................3 【题型5】已知二元一次方程组的解求参数........................................4 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考............................................................4 【题型7】拓展延伸............................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】二元一次方程 【题型1】二元一次方程的定义 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 【题型2】二元一次方程的解 【例2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． （1）用含的代数式表示的值； （2）求右下角的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【考点二】二元一次方程组 【题型3】二元一次方程组的判断 【例3】（16-17七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 【题型4】二元一次方程组解的判断 【例4】10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ （1）哪几对是方程的解？ （2）哪几对是方程的解？ （3）哪几对是方程组的解？ 【变式1】（2020·广东揭阳·一模）若方程组的解是，则b＝ ． 【变式2】（19-20七年级下·河南南阳·期中）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【题型5】已知二元一次方程组的解求参数 【例5】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 【变式1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型6】链接中考 【例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（2021·四川广安·中考真题）若、满足，则代数式的值为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． （1）当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某果农现采摘了32千克的脐橙，准备将采摘的脐橙用大箱子和小箱子分装销售，其中每个大箱子装4千克脐橙，每个小箱子装3千克脐橙，且要求大、小箱子都要装满．问最多需要多少个箱子？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 二元一次方程（组）（4大知识点3大考点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程． 【要点提示】二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 【知识点2】二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 【要点提示】 （1）二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如： （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 【知识点3】二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 【要点提示】组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数.例如 也是二元一次方程组. 【知识点4】二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【要点提示】 （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式． （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个． 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程 【题型1】二元一次方程的定义..................................................2 【题型2】二元一次方程的解....................................................3 【考点二】二元一次方程组 【题型3】二元一次方程组的判断................................................5 【题型4】二元一次方程组解的判断..............................................6 【题型5】已知二元一次方程组的解求参数........................................8 【考点三】链接中考与拓展延伸 【题型6】直通中考...........................................................10 【题型7】拓展延伸...........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】二元一次方程 【题型1】二元一次方程的定义 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的方程是二元一次方程． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程，准确理解概念得出所需的方程和不等式是求解的关键． （1）根据题意得到，，，，进而求解即可； （2）首先原方程可化为，然后将代入求解即可． 解：（1）由题意，得，，， ，． （2）由（1）知，，则原方程可化为． 当时，， 解得． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，即可得到答案． 解：根据二元一次方程的定义可得：， 解得． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·湖南湘西·阶段练习）如果，那么用含y的代数式表示x，则 ． 【答案】 【分析】把y看做已知数求出x即可． 解：由题意可得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型2】二元一次方程的解 【例2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在趣味数学拓展课中，小红在的方格中填入了一些表示数的代数式，使得每一行、每一列以及对角线上的个代数式的和都相等． （1）用含的代数式表示的值； （2）求右下角的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． （1）根据最后一行的三个数之和等于最后一列的三个数之和，即可得出等式，整理后即可得结果； （2）由（1）得，结合，即可求解． 解：（1）解：由题意得：， ； （2）由（1）得， ， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点二】二元一次方程组 【题型3】二元一次方程组的判断 【例3】（16-17七年级下·四川宜宾·阶段练习）已知方程组是二元一次方程组，求m的值． 【答案】m=5 解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0， 解得：m=5． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程，注意：整个方程组里只能含有2个未知数．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； C、是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； D、中最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）已知方程组 ，则的值是 ． 【答案】34 【分析】把代入计算即可． 解：∵， ∴ ， 故答案为：34． 【点拨】本题考查了二元一次方程组，整体代入法求代数式的值，运用|整体思想是解答本题的关键． 【题型4】二元一次方程组解的判断 【例4】10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知下列四对数值：①②③④ （1）哪几对是方程的解？ （2）哪几对是方程的解？ （3）哪几对是方程组的解？ 【答案】（1）②④是方程的解；（2）③④是方程的解；（3）④是方程组的解． 【分析】本题考查二元一次方程的解和二元一次方程组的解，方程（组）的解是满足方程（组）的未知数的值，掌握该知识点是解题的关键． （1）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （2）把各对数值依次代入进行验证，能够使方程成立的未知数的值即为方程的解； （3）两方程的公共解即为方程组的解，据此即可解答题目. 解：（1）解：将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 故②④是方程的解． （2）解：将代入，不成立； 将代入，不成立； 将代入，成立； 将代入，成立； ③④是方程的解． （3）解：由（1）（2），可知，④是两个方程公共解 所以④是方程组的解． 【变式1】（2020·广东揭阳·一模）若方程组的解是，则b＝ ． 【答案】-3 【分析】把代入方程组得：，解方程组即可． 解：把代入方程组得： ， 解得：， 故答案为：﹣3． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解集本题的关键是运用代入法求解． 【变式2】（19-20七年级下·河南南阳·期中）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 解：， ②﹣①得：2x＝10， 解得：x＝5， 把x＝5代入①得：y＝2， 则方程组的解为． 故选：A． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法以及二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．本题还可以利用代入法求解． 【题型5】已知二元一次方程组的解求参数 【例5】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用，解题的关键是将已知的解代入方程组中相应方程求解未知量． 先将已知的值代入含x，y的方程求出的值，再将x，y的值代入另一个方程求出被遮住的数． 解：将代入方程得：， 解得：， 将代入方程中， ， 所以． 【变式1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 解：把代入得到， ∴， 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可． 解：将代入， 可得：，， 解得：， 将代入， 可得：， 解得：， 当，时，． 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型6】链接中考 【例1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故选：B． 【例2】（2021·四川广安·中考真题）若、满足，则代数式的值为 ． 【答案】-6 【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可． 解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 【点拨】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（21-22七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． （1）当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； （2）若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 【答案】（1）；（2）①a=b；② 【分析】（1）直接将，代入二元一次方程中解关于y的方程即可； （2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得； ②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题． 解：（1）解：当，时，原方程为：， ∴； （2）①关系是a =b，理由： 把代入二元一次方程得 ， ， ， ， ∴； ②由①知道， ∴原方程可化为：， ∴ ∵该方程组的解与与的取值无关，. ∴． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解的定义、完全平方公式的应用，“有解必代”是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某果农现采摘了32千克的脐橙，准备将采摘的脐橙用大箱子和小箱子分装销售，其中每个大箱子装4千克脐橙，每个小箱子装3千克脐橙，且要求大、小箱子都要装满．问最多需要多少个箱子？ 【答案】最多需要10个箱子 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题．熟练掌握脐橙总千克数和每个大箱子装千克数与大箱数，每个小箱子装千克数与小箱数的关系，列方程，赋值解二元一次方程，是解题的关键． 设用x个大箱，y个小箱，利用每个大箱装4千克脐橙，每个小箱装3千克脐橙，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 解：设用x个大箱，y个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故最多需要10个箱子． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$