精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2024-2025学年高二下学期第一阶段考试（4月）数学试卷

鹤山一中2024-2025学年度第二学期第一阶段考试 高二数学试卷 2025.4 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可． 【详解】解：，． 故选：． 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解； 【详解】由，可得：， 所以， 又， 故选：D 3. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 4. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ） A. 62 B. 66 C. 56 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列是首项为，公比为2的等比数列， 可得，所以， 所以数列的前5项之和为. 故选：D. 5. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程. 【详解】依题意，， 因为， 所以，所以切线方程为， 即， 故选：D. 6. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比, 所以，解得. 故选：A. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数小于解不等式可求出函数的单调减区间. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 由，得， 因为，所以解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B 8. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知数列满足，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 10. 利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象．在以下四个组合中，可使得函数在R上单调递增的有（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的导函数恒为正，计算各个选项满足即可判断. 【详解】因为， 所以， 当且时，，则在R上单调递增， 对于A：，符合题意； 对于B：，不合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：，不合题意； 故选：AC． 11. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】因为数列为递增的等比数列，由题干中的两个条件即可求得首项和公比，进而求出，判断A错误；再利用等差数列的判定方法即可求出即是等差数列，最后利用等比数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】因为，，又数列是递增的， 所以，所以公比，，所以，所以， 得，，，，故A错误； 由于，所以数列是等差数列，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题（每题5分共15分） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___． 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，令，解方程作答. 【详解】依题意，对两边求导得：， 当时，，解得， 所以. 故答案为：－1 13. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片82块，往下每一层多铺2块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片____________块. 【答案】1900 【解析】 【分析】运用等差数列求和公式计算即可. 【详解】瓦片块数可以看作首项为82，公差2的等差数列，则 . 故答案为：1900. 14. 若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是___. 【答案】. 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由函数在其定义域上单调递增，可得在定义域内恒成立，从而可得答案. 【详解】解：函数的定义域为， ， 因为函数在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立， 则恒成立， 令， 因为，所以，当是取得最大值， 所以. 故答案为：. 四､解答题（共77分） 15. 已知数列是等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】（1）； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比是q，首项是. 由，可得. 由，可得，所以， 所以； 【小问2详解】 证明：因为， 所以 . 又，所以. 16. 如图，在直三棱柱中，，且，E为的中点，为线段上一点，设. （1）当时，求证： 平面. （2）当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形可得，即可完成证明； （2）以点C为原点，分别以所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得平面与平面所成二面角的余弦值关于的表达式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，F为的中点， 取的中点G，连接， 则，且， 在直三棱柱中，，所以. 因为， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，以点C为原点，分别以所在的轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则 则 设平面的法向量为， 则，可取， 同理可求出平面的法向量为， 当平面与平面所成二面角的余弦值为时， ， 又因为，所以解得. 17. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式； （2）利用错位相减法求和即可求． 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由可得 ， 两式相减可得，即， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以 （2）由（1）， ， 则， 两式相减得 ， 所以． 【点睛】方法点睛： 由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力. 18. 已知双曲线的离心率是，实轴长是8. （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可. 【小问1详解】 依题意得， 解得所以双曲线C的方程是. 【小问2详解】 证明：设，，，直线l的方程为. 将直线方程代入双曲线方程，化简整理得， ， 则，. 要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足 即解得. 由，得，故， 所以. 又， 所以点D的纵坐标为定值. 【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2024-2025学年度第二学期第一阶段考试 高二数学试卷 2025.4 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 3. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（ ） A. 62 B. 66 C. 56 D. 46 5. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数的单调递减区间为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 8. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知数列满足，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象．在以下四个组合中，可使得函数在R上单调递增的有（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 11. 在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. D. 三､填空题（每题5分共15分） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___． 13. 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片82块，往下每一层多铺2块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片____________块. 14. 若函数在其定义域上单调递增，则实数a的取值范围是___. 四､解答题（共77分） 15. 已知数列是等比数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 16. 如图，在直三棱柱中，，且，E为的中点，为线段上一点，设. （1）当时，求证： 平面. （2）当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的值. 17. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知双曲线的离心率是，实轴长是8. （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $