数学（江苏泰州卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数学·参考答案 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 C C D C B B 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7． 8． 9． 10．8 11． 12．7.3 13． 14． 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题12分） 【详解】（1）原式……………………………………4分 ．……………………………………6分 （2）去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得．……………………………………10分 检验：当时，， 故不是原方程的解，故原方程无解．……………………………………12分 18．（本题8分） 【详解】解：（1）根据第一组表格可得：， ． 故答案为：；6．……………………………………2分 （2）解：收集到的第一组数据有：． 收集到的第二组数据有：． 参与调查的总人数： （人）． 两组数据中，“双减”后报班数为3的学生人数均为6人． ∴． 故“双减”后报班个数为3的学生人数占比．……………………………………6分 （3）①将“双减”前报班个数从小到大排列，其中位于中间的第、位是报班个数为“1个”的，因此报班个数的中位数是1；“双减”后报班个数最多的为“0个”，因此“双减”后学生报班个数的众数为0．……………………………………7分 ②分析1：“双减”后参加校外学科补习班的人数明显下降； 分析2：“双减”后参加校外学科补习班的现象仍然存在，但比“双减”前明显减少； 分析3：“双减”后不报班的学生人数明显增加． （注：写出一条，且答案合理即可给分）……………………………………8分 19．（本题8分） 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是；…………………………2分 （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为．……………………………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10；……………………………………4分 （2）解：设该包装盒的容积为， ∴． ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为．……………………………………8分 21．（本题10分） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，……………………………………1分 ∵点分别是的中点， ∴，， ∴，……………………………………2分 在与中， ， ∴．……………………………………5分 （2）证明：添加：，理由如下： 由（1）可知，， ∴，，……………………………………7分 ∵，， ∴，……………………………………8分 ∴， ∴四边形是平行四边形．……………………………………9分 ∵， ∴四边形是菱形．……………………………………10分 22．（本题10分） 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴……………………………………1分 ∵， ∴ ∴是等边三角形，……………………………………3分 ∴……………………………………4分 ∴ ∴……………………………………6分 ∵， 在中，，……………………………………8分 ∴……………………………………10分 23．（本题10分） 【详解】（1）解：如图，在的延长线上取格点，使，连接， 由垂直平分线的性质可得：线段关于的对称线段为线段， 连接，交于，连接并延长交于，作直线，交于， 则直线，直线即为所求； 理由：∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；……………………………………4分 （2）解：如图，取格点，使， 且， ∴， ∴， ∴即为绕逆时针旋转的对应点， 再取格点，连接交于，满足，满足，， ∴， ∴，而， ∴，， 连接，交于， ∴， ∴．……………………………………10分 24．（本题10分） 【详解】（1）解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ；……………………………………3分 （2）解：①如图，过点作轴于点，   ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：；……………………………………6分 ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上．……………………10分 25．（本题12分） 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能；……………………………………3分 ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：；……………………………………7分 ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． ……………………………………12分 26．（本题14分） 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为；……………………………………4分 （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴．……………………………………9分 （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为．……………………………………14分 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算的结果是（   ） A． B．2 C．3 D． 2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 5．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式： ． 8．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ． 9．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 第9题 第11题 10．已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 11．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 12．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 13．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ． 15．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 16．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 第16题 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）（1）化简：． （2）解方程：． 18．（本题8分）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 整理描述 （1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 19．（本题8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 20．（本题8分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题10分）如图，在中，点G，H分别是，的中点，点E，F在对角线上，且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形（不要求证明）． 22．（本题10分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 23．（本题10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，D是上一点，先画出线段关于的对称线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转的对应点Q，再在上画点M，使． 24．（本题10分）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 25．（本题12分）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 26．（本题14分）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 8 页） 试题 第 2 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B 铅笔，并请加黑加粗。 第一部分 选择题（共 18 分） 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．计算 ( ) ( )02 3 2− − − 的结果是（ ） A． 1− B．2 C．3 D． 2 1− 2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图， 这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． 25a + 2 43 8a a= B． 3 4·a a 12a= C． ( )2 3 22 4a b a b+ = + D． 3 64− 4= − 4．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10 位同学每人 随机收集核桃树、枇杷树的树叶各 1 片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm）的数据后，计算每 片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为 2 的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶 5．如图，在 AOB 中，AO AB= ，点 B 在 x 轴上，点 C，点 D 分别为OA OB、 的中点，连接CD，点 E为CD 上任意一点，连接 AE BE、 ，反比例函数 ( 0) ky x x = < 的图象经过点 A，若 ABE 的面积为 4，则 k 的值为 （ ） A． 4− B． 8− C． 6− D． 12 第 5 题 第 6 题 6．如图，在 ABC 中， 90ACB∠ = °，设 AC x= ，BC y= ，且 x y+ 是定值，点D是 AC 上一点，点E 为 AB 中点，连接CE，将线段CE沿绕点 E 顺时针旋转90°，得到线段EF 交 AC 于点G ，若点A 关于直线DE 的 对称点恰为点F ，则下列线段长为定值的是（ ） A． AD B．CD C．CG D．DE 第二部分 非选择题（共 132 分） 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式： 3 22 12 18m m m− + = ． 8．2025 年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破 153.86 亿，将数据 153.86 亿用科学记数法表示为 ． 9．如图，将一把直尺放在正五边形 ABCDE 上，分别交 , ,AB BC AE 于点 , , ,F H G I ．则 AFG CHI∠ +∠ = ． 试题 第 3 页（共 8 页） 试题 第 4 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第 9 题 第 11 题 10．已知m ， n是一元二次方程 2 3 5 0x x− − = 的两根，则 2 2m m n− + 的值为 ． 11．如图，在 ABC 中， 45BAC∠ = °， 4AB AC= = ，以 AB 为直径作 O ，交边 AC 于点D，交边 BC 于 点 E ，则图中阴影部分的面积是 ． 12．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破 45 亿元，前七日综合票房分别是：4.9 4.8 6.2 7.3 8.1 8.4 8.6 （亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 13．如图，将Rt ACB△ 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到Rt FAE ，已知 6AC = ， 3BC = ，则 cos CAE∠ = ． 第 13 题 第 14 题 14．如图，在 ABC 中， 4AB AC= = ， 120BAC∠ = °，将 ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到 A B C′ ′ ′ ，若 点 P 为BC 上一动点，旋转后点 P 的对应点P′，则线段PP′的最小值是 ． 15．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线 2 4 4 2y tx tx t= − + − 与 x 轴交于点 M、N 两点，若该抛物线在 M、N 之间的部分与线段MN 所围成的区域（包 括边界）恰有七个整点，则 t 的取值范围是 16．如图，在正方形纸片 ABCD中， E 是 AB 边的中点，将正方形纸片沿 EC 折叠， 点 B 落在点 P 处，延长CP交 AD于点Q，连结 AP 并延长交CD于点F ．给出以下结 论：① AEP△ 为等腰三角形；②F 为CD的中点；③ : 2 : 3AP PF = ；④ 3cos 4 DCQ∠ = ．其中正确结论是 ．（填序号） 第 16 题 三、解答题（本大题共有 10 题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本题 12 分）（1）化简： ( ) ( )( )22 1 6 2x x x− + + − ． （2）解方程： 3 11 2 2 x x x − + = − − ． 18．（本题 8 分）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班 的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把 收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图 1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4 及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 整理描述 （1）根据表 1，m 的值为 ，n 的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信 息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 19．（本题 8 分）2025 春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴 的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编； D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方 试题 第 5 页（共 8 页） 试题 第 6 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 20．（本题 8 分）2024 年 9 月 10 日是我国第 40 个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加 快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高 为 cmx ． (1)若此包装盒的容积为 31500cm ，请列出关于 x 的方程，并求出 x 的值． (2)是否存在这样的 x 的值，使得此包装盒的容积为 31560cm ？若存在，请求出相应的 x 的值；若不存在， 请说明理由． 21．（本题 10 分）如图，在 ABCD 中，点 G，H 分别是 AB ，CD的中点，点 E，F 在对角线 AC 上，且 AE CF= ． (1)求证： AGE CHF≌△ △ ； (2)请添加一个条件，使四边形GFHE 是菱形（不要求证明）． 22．（本题 10 分）【研究背景】今年春晚，《秧BOT 》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次 科技与人文的璀璨碰撞．高精度3D激光雷达、深度相机、激光 SLAM 技术等先进技术，实现了实时捕捉 环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在 运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 H1爬坡(坡角 30BAF∠ = ° )能力的过程中，当机器人行走至 B 点 时，测得小腿BC 与斜坡的夹角 30CBG∠ = °，大腿CD 与小腿BC 的夹角 90BCD∠ = °， 20cmAB = ． 【数据应用】已知机器人的小腿 BC 的长度为40cm ，大腿上 D点与A 点的连线与水平面 AF 垂直．根 据上述数据，计算大腿CD 的长度(结果精确到1cm，参考数据： 3 1.73≈ ) 23．（本题 10 分）如图是由小正方形组成的7 6× 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ABC 的顶点都是 格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图 1 中，D 是 AB 上一点，先画出线段 AB 关于 AC 的对称线段 1AB ，再在 AC 上画点 E，使DE BC∥ ； (2)在图 2 中，先画点 B 绕点 A 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 AC 上画点 M，使 26sin 26 ABM∠ = ． 24．（本题 10 分）如图 1，抛物线 2 3 4y x x= − + + 和直线 1y x= + 交于 A， B 两点，过点 B 作直线BC x⊥ 轴 于点C ． (1)求 BAC∠ 的度数． (2)如图 2，点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点Q从点C 出发，以每 秒 2 个单位长度的速度沿线段CA向点 A 运动，点 P ，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也 随之停止运动，设运动时间为 t秒 ( )0t > ．以 PQ为边作矩形PQNM ，使点 N 在直线BC 上． ①当 t为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当 t为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上． 试题 第 7 页（共 8 页） 试题 第 8 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … 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面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃 ABCD进行区域划分，点 K 为BC 的中点，点 M，N 分别为 ,AB DC 上的点，且 120 , ,MKN MK KN∠ = ° 将花圃分为三个区域．已知 7m, 12mAB BC= = ，现计划在 BMK△ 和 CNK△ 中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 11 2025年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题3分，共30分） 7．____________ 8．___________9．_____________ 10．_____________11．______________ 12．___________ 1 3．____________14．____________ 15．_____________ 16．_____________ 三、（本大题共10个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （8分） (1) ________， ________； （2） （3）① ； ② 19. （8分） （1） ； （2） 20.（8分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10分） （1） （2） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 24. （10分） （1） （2）① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) （1）① ; ② ; ③ （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（14分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 第1页（共8页） 2025 年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B 铅笔，并请加黑加粗。 第一部分 选择题（共 18 分） 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．计算 ( ) ( )02 3 2− − − 的结果是（ ） A． 1− B．2 C．3 D． 2 1− 2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图， 这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． 25a + 2 43 8a a= B． 3 4·a a 12a= C． ( )2 3 22 4a b a b+ = + D． 3 64− 4= − 4．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10 位同学每人 随机收集核桃树、枇杷树的树叶各 1 片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：cm）的数据后，计算每 片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 数学试题 第2页（共8页） 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为 2 的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为9.3cm，小明断定它的宽一定为3cm D．小亮同学收集到一片长13.8cm、宽6cm的树叶，判断它是一片枇杷树叶 5．如图，在 AOB 中，AO AB= ，点 B 在 x 轴上，点 C，点 D 分别为OA OB、 的中点，连接CD，点 E 为CD 上任意一点，连接 AE BE、 ，反比例函数 ( 0) ky x x = < 的图象经过点 A，若 ABE 的面积为 4，则 k 的值为 （ ） A． 4− B． 8− C． 6− D． 12 第5题 第6题 6．如图，在 ABC 中， 90ACB∠ = °，设 AC x= ，BC y= ，且 x y+ 是定值，点D是 AC 上一点，点E 为 AB 中点，连接CE，将线段CE沿绕点 E 顺时针旋转90°，得到线段EF 交 AC 于点G ，若点A 关于直线DE 的 对称点恰为点F ，则下列线段长为定值的是（ ） A． AD B．CD C．CG D．DE 第二部分 非选择题（共 132 分） 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式： 3 22 12 18m m m− + = ． 8．2025 年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破 153.86 亿，将数据 153.86 亿用科学记数法表示为 ． 9．如图，将一把直尺放在正五边形 ABCDE 上，分别交 , ,AB BC AE 于点 , , ,F H G I ．则 AFG CHI∠ +∠ = ． 数学试题 第3页（共8页） 第9题 第11题 10．已知m ， n是一元二次方程 2 3 5 0x x− − = 的两根，则 2 2m m n− + 的值为 ． 11．如图，在 ABC 中， 45BAC∠ = °， 4AB AC= = ，以 AB 为直径作 O ，交边 AC 于点D，交边 BC 于 点 E ，则图中阴影部分的面积是 ． 12．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破 45 亿元，前七日综合票房分别是：4.9 4.8 6.2 7.3 8.1 8.4 8.6 （亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 13．如图，将Rt ACB△ 绕斜边 AB 的中点 O 旋转一定角度得到Rt FAE ，已知 6AC = ， 3BC = ，则 cos CAE∠ = ． 第13题 第14题 14．如图，在 ABC 中， 4AB AC= = ， 120BAC∠ = °，将 ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到 A B C′ ′ ′ ，若 点 P 为BC 上一动点，旋转后点 P 的对应点P′，则线段PP′的最小值是 ． 15．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线 2 4 4 2y tx tx t= − + − 与 x 轴交于点 M、N 两点，若该抛物线在 M、N 之间的部分与线段MN 所围成的区域（包 括边界）恰有七个整点，则 t 的取值范围是 16．如图，在正方形纸片 ABCD中， E 是 AB 边的中点，将正方形纸片沿 EC 折叠， 点 B 落在点 P 处，延长CP交 AD于点Q，连结 AP 并延长交CD于点F ．给出以下结 论：① AEP△ 为等腰三角形；②F 为CD的中点；③ : 2 : 3AP PF = ；④ 3cos 4 DCQ∠ = ．其中正确结论是 ．（填序号） 第16题 三、解答题（本大题共有 10 题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本题 12 分）（1）化简： ( ) ( )( )22 1 6 2x x x− + + − ． （2）解方程： 3 11 2 2 x x x − + = − − ． 18．（本题 8 分）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班 的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把 数学试题 第4页（共8页） 收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图 1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4 及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 整理描述 （1）根据表 1，m 的值为 ，n 的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信 息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 19．（本题 8 分）2025 春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴 的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编； D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方 数学试题 第5页（共8页） 法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 20．（本题 8 分）2024 年 9 月 10 日是我国第 40 个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加 快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的 高为 cmx ． (1)若此包装盒的容积为 31500cm ，请列出关于 x 的方程，并求出 x 的值． (2)是否存在这样的 x 的值，使得此包装盒的容积为 31560cm ？若存在，请求出相应的 x 的值；若不存在， 请说明理由． 21．（本题 10 分）如图，在 ABCD 中，点 G，H 分别是 AB ，CD的中点，点 E，F 在对角线 AC 上，且 AE CF= ． (1)求证： AGE CHF≌△ △ ； (2)请添加一个条件，使四边形GFHE 是菱形（不要求证明）． 22．（本题 10 分）【研究背景】今年春晚，《秧BOT 》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次 科技与人文的璀璨碰撞．高精度3D激光雷达、深度相机、激光 SLAM 技术等先进技术，实现了实时捕捉 环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在 运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 H1爬坡(坡角 30BAF∠ = ° )能力的过程中，当机器人行走至 B 点 时，测得小腿BC 与斜坡的夹角 30CBG∠ = °，大腿CD 与小腿BC 的夹角 90BCD∠ = °， 20cmAB = ． 【数据应用】已知机器人的小腿 BC 的长度为40cm ，大腿上 D点与A 点的连线与水平面 AF 垂直．根 据上述数据，计算大腿CD 的长度(结果精确到1cm，参考数据： 3 1.73≈ ) 数学试题 第6页（共8页） 23．（本题 10 分）如图是由小正方形组成的7 6× 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ABC 的顶点都是 格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图 1 中，D 是 AB 上一点，先画出线段 AB 关于 AC 的对称线段 1AB ，再在 AC 上画点 E，使DE BC∥ ； (2)在图 2 中，先画点 B 绕点 A 逆时针旋转90°的对应点 Q，再在 AC 上画点 M，使 26sin 26 ABM∠ = ． 24．（本题 10 分）如图 1，抛物线 2 3 4y x x= − + + 和直线 1y x= + 交于 A，B 两点，过点 B 作直线BC x⊥ 轴 于点C ． (1)求 BAC∠ 的度数． (2)如图 2，点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AB 向点 B 运动，点Q从点C 出发，以每 秒 2 个单位长度的速度沿线段CA向点 A 运动，点 P ，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也 随之停止运动，设运动时间为 t秒 ( )0t > ．以 PQ为边作矩形PQNM ，使点 N 在直线BC 上． ①当 t为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当 t为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上． 数学试题 第7页（共8页） 25．（本题 12 分）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当 2CD AB< 时（如图 1），线段CD __________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当 2CD AB= 时，必然存在线段CD的中点 E 与点 B 重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图 2）．此时， ADC∠ 的度数是__________． ③当 2CD AB> 时，线段CD __________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图 3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数 ( 0) ky x x = > 的图象，第一象限的角平分线交图象于点 A，弯道内侧的顶点 B 在射线OA上，弯道内侧的两边分别与 x 轴、y 轴平行， 2mOA = ， 4mAB = ．用矩 形 PQMN 模拟汽车，发现当 PQ的中点 E 与点 B 重合，且PQ AB⊥ 时，矩形 PQMN 恰好不能通过该弯道．若 mPQ b= ， 2mPN = ，要使矩形PQMN 能通过该弯道，求 b 的最大整数值．（参考数据： 2 1.4≈ ， 3 1.7≈ ） 数学试题 第8页（共8页） 26．（本题 14 分）【问题提出】 （1）如图①，已知点 A 是直线 l 外一点，点 B，C 均在直线 l 上，AD l⊥ 于点 D 且 4, 45AD BAC= ∠ = °．求 BC 的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形 ABCD中， 45 , 90 , 2A B D CB CD∠ = ° ∠ = ∠ = ° = = ，点 E，F 分别为 ,AB AD上的点， 且CE CF⊥ ，求四边形 AECF 面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃 ABCD进行区域划分，点 K 为BC 的中点，点 M，N 分别为 ,AB DC 上的点，且 120 , ,MKN MK KN∠ = ° 将花圃分为三个区域．已知 7m, 12mAB BC= = ，现计划在 BMK△ 和 CNK△ 中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 2025年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算的结果是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【知识点】零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先求零指数幂，再进行减法运算即可． 【详解】解：； 故选C． 2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案． 【详解】 解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为 故选：． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、合并同类项、求一个数的立方根 【分析】本题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式的计算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A. ，原运算错误； B. ，原运算错误； C. ，原运算错误； D. ，运算正确． 故选：D． 4．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【知识点】求一组数据的平均数、求某事件的频率 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为3.1，故选项正确，不符合题意； C. 核桃树叶的长宽比大约为3.1，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，反比例函数中k的几何意义， 根据三角形中位线的性质得，可知和的高之比为，可得，再连接，可知，则，然后结合图像所在象限得出答案． 【详解】解：∵点C，点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，. ∴， ∴和的高之比为． ∵， ∴． 连接， ∵点D分别是的中点，， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 6．如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，根据直角三角形的性质得出，设，则，求出，得出，求出，得出，求出，，得出，求出，，，从而求出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，，在上取点H，使，连接，过点E作于点K，如图所示： ∵在中，，点为中点， ∴， ∴， 根据旋转可知：，， ∴和为等腰三角形，， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴、均不是定值， ∴， ∴为定值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴不是定值， 综上分析可知，为定值， 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 8．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为 的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：153.86亿=153 8600 0000=， 故答案为：． 9．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，平行线的性质，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 根据正多边形的内角和定理及性质可得每个内角的度数为，如图所示，过点作，由两直线平行同位角相等得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴每个内角的度数为， ∴， 如图所示，过点作， ∵将一把直尺放在正五边形上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 10．已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的根，先将带入方程得到，再根据根于系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，即，， ， 故答案为：． 11．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出，过点作于点，求得，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 12．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 【答案】7.3 【知识点】求中位数 【分析】本题考查中位数，将一组数据排序后，位于中间一位或中间两位的平均数为这组数据的中位数，据此进行求解即可． 【详解】解：将数据排序后，中间一个数据为7.3， ∴中位数为7.3； 故答案为：7.3． 13．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，作，再说明点A，E，C，B，F共圆，进而得出，，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可得，再根据面积相等求出，结合题意说明四边形是矩形求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，作，分别交于点M，H， ∵， ∴点A，E，C，B，F共圆， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 由题意，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键． 14．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 15．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．画出图象，数形结合是解题的关键． 由题意知，，顶点坐标为，对称轴是直线．则该抛物线开口向上，点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内．然后作图象，代入点坐标，求值，根据t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大，确定取值范围即可． 【详解】解：由题意知，， ∴顶点坐标为，对称轴是直线， ∵抛物线与x轴交于点M、N两点， ∴该抛物线开口向上， ∴点，，必在该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）内． ①当该抛物线经过点和时，如图1． 将代入得，， 解得， ∴此时抛物线解析式为． 当时，， 解得，， ∴x轴上的点，，符合题意． ∴当时，恰好有 ，，，、，，，共7个整点符合题意． ∵t的值越大，抛物线的开口越小，t的值越小，抛物线的开口越大， ∴． ②当该抛物线经过点和点时，如图2． 此时x轴上的点 ，，符合题意． 将代入得，， 解得． ∴此时抛物线解析式为． 当时，． ∴符合题意． 当时，得． ∴符合题意． 综上可知：当时，点，，，，，，，，，都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴不符合题． ∴． 综上所述，当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点， 故答案为：． 16．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】解直角三角形的相关计算、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）（1）化简：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）原方程无解． 【知识点】解分式方程、运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】（1）根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项； （2）先去分母，解整式方程，再检验即可． 【详解】（1）原式 ． （2）去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 故不是原方程的解，故原方程无解． 18．（本题8分）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 整理描述 （1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 【答案】（1）300，6； （2）“双减”后报班数为3个的学生人数占比； （3）①1，0； ②该市城区学生“双减”后报班的人数大幅度下降，“双减”取得了显著成效．（答案不唯一，合理即可） 【知识点】求众数、求中位数、统计与预测、统计表 【分析】本题考查了中位数、众数、统计表等，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键． （1）将统计表中“双减”前的数据相加可得m的值，然后用m减去“双减”后其它已知数据可得到n． （2）用“双减”后报班数为3的学生人数除以总人数即可得到所占的百分比． （3）①将报班个数的人数从小到大排列，再查询第、位的个数是几即可；统计“双减”后学生报班个数最多的即可． ②根据“双减”前后报班个数变化情况作出客观的分析和结论即可． 【详解】解：（1）根据第一组表格可得：， ． 故答案为：；6． （2）解：收集到的第一组数据有：． 收集到的第二组数据有：． 参与调查的总人数： （人）． 两组数据中，“双减”后报班数为3的学生人数均为6人． ∴． 故“双减”后报班个数为3的学生人数占比． （3）①将“双减”前报班个数从小到大排列，其中位于中间的第、位是报班个数为“1个”的，因此报班个数的中位数是1；“双减”后报班个数最多的为“0个”，因此“双减”后学生报班个数的众数为0． ②分析1：“双减”后参加校外学科补习班的人数明显下降； 分析2：“双减”后参加校外学科补习班的现象仍然存在，但比“双减”前明显减少； 分析3：“双减”后不报班的学生人数明显增加． （注：写出一条，且答案合理即可给分） 19．（本题8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种，根据概率公式计算即可； （2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有种， 小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是； （2）解：列表如下， A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种， 两人恰好选中同一幅图的概率为． 20．（本题8分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)x的值为10 (2)不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为，理由见解析． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用．根据长方体的容积公式列出等式是解题关键． （1）由题意可求出该包装盒的长为，再根据求长方体容积的公式即可可列出关于x的一元二次方程，最后解出x的值即可； （2）设该包装盒的容积为，结合（1）即可得出y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知该包装盒的长为，宽为，高为， ∵此包装盒的容积为， ∴， 解得：， ∴x的值为10； （2）解：设该包装盒的容积为， ∴． ∵， ∴当时，此包装盒的容积最大，最大容积为， ∴不存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为． 21．（本题10分）如图，在中，点G，H分别是，的中点，点E，F在对角线上，且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形（不要求证明）． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据中点的性质可得，根据全等三角形的判定方法“边角边”即可求证； （2）由（1）可知，可得，，运用平角的计算可得，可得四边形是平行四边形，再进一步即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴． （2）证明：添加：，理由如下： 由（1）可知，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 22．（本题10分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据已知条件得出延长交于点，进而解，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵， 在中，， ∴ 23．（本题10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，D是上一点，先画出线段关于的对称线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转的对应点Q，再在上画点M，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】无刻度直尺作图、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图，在的延长线上取格点，使，连接，由垂直平分线的性质可得：线段关于的对称线段为线段，连接，交于，连接并延长交于，作直线，交于，则直线，直线即为所求； （2）如图，取格点，使，且，可得，可得即为绕逆时针旋转的对应点，再取格点，连接交于，满足，满足，，连接，交于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，在的延长线上取格点，使，连接， 由垂直平分线的性质可得：线段关于的对称线段为线段， 连接，交于，连接并延长交于，作直线，交于， 则直线，直线即为所求； 理由：∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，取格点，使， 且， ∴， ∴， ∴即为绕逆时针旋转的对应点， 再取格点，连接交于，满足，满足，， ∴， ∴，而， ∴，， 连接，交于， ∴， ∴． 24．（本题10分）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2)①当时，矩形的面积最小： ；②、或2. 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数的性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可． 【详解】（1）解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； （2）解：①如图，过点作轴于点，   ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：； ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 25．（本题12分）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）①能，②，③不能；（2）6 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； ②过点作，交于点，证明，即可求得，即可解答； ③利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）过点作轴于点，求得点坐标，即可求得反比例函数解析式，过点作轴于点，即可求得直线的解析式，列方程，求得的坐标，即可求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）①如图，当时，线段恰好不能通过直角弯道， 当时，线段能通过直角弯道， 故答案为：能； ②如图，过点作，交于点， ， ， 线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道， ， ， ， ， 由题意可得， ， 当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况， ， ， 故答案为：； ③根据①可得，当时，线段不能通过直角弯道， 故答案为：不能； 解：（2）如图，过点作轴于点， 第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入，可得， 解得， 反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点， 则， ， ， 根据（1）中可得与轴的夹角为， 故可设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 经检验，是原方程的解， , ， ， 要使矩形能通过该弯道，b的最大整数值为． 26．（本题14分）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【知识点】根据矩形的性质求线段长、求特殊三角形外接圆的半径、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题； （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 7．____________ 8．___________9．_____________ 10．_____________11．______________ 12．___________ 1 3．____________14．____________ 15．_____________ 16．_____________ 三、（本大题共 10 个小题，共 102 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 18 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 18. （8 分） (1) ________， ________； （2） （3）① ； ② 19. （8 分） （1） ； （2） 20.（8 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10 分） （1） （2） 22.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10 分） 24. （10 分） （1） （2）① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12 分) （1）① ; ② ; ③ （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（14 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第二次模拟考试（泰州卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算的结果是（   ） A． B．2 C．3 D． 2．“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 5．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，在中，，设，，且是定值，点是上一点，点为中点，连接，将线段沿绕点顺时针旋转，得到线段交于点，若点关于直线的对称点恰为点，则下列线段长为定值的是（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式： ． 8．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ． 9．如图，将一把直尺放在正五边形上，分别交于点．则 ． 第9题 第11题 10．已知，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 11．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 12．电影《哪吒之魔童闹海》上映七天票房破45亿元，前七日综合票房分别是：4.9  4.8  6.2  7.3  8.1  8.4  8.6（亿元），那么这组数据的中位数是 亿元． 13．如图，将绕斜边的中点O旋转一定角度得到，已知，，则 ． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是 ． 15．若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．若抛物线与x轴交于点M、N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则t的取值范围是 16．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 第16题 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）（1）化简：． （2）解方程：． 18．（本题8分）实施“双减”政策后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“双减”前后参加校外学科补习班的情况进行了一次随机问卷调查（以下将参加校外学科补习班简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表和统计图1． “双减”前后报班情况统计表（第一组） 0 1 2 3 4及以上 合计 “双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 255 15 24 n 0 m “双减”前后报班情况统计图（ 第二组） 整理描述 （1）根据表1，m 的值为 ，n的值为 ． 分析处理 （2）请你汇总统计表和图 1 中的数据，求出“双减”后报班数为 3 的学生人数所占的百分比． （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图 2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为 ，“双减”后学生报班个数的众数为 ． ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括） 19．（本题8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率． 20．（本题8分）2024年9月10日是我国第40个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师定制了水杯，下图是定制的水杯包装盒的表面展开图，设包装盒的高为． (1)若此包装盒的容积为，请列出关于x的方程，并求出x的值． (2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 21．（本题10分）如图，在中，点G，H分别是，的中点，点E，F在对角线上，且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形（不要求证明）． 22．（本题10分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 23．（本题10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，D是上一点，先画出线段关于的对称线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转的对应点Q，再在上画点M，使． 24．（本题10分）如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 25．（本题12分）【问题探究】 下面是某品牌新能源车辆的车机智驾系统关于弯道对通行车辆长度的限制的研究． （1）用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． ②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是__________． ③当时，线段__________（填“能”或“不能”）通过直角弯道． 【问题解决】 （2）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点A，弯道内侧的顶点B在射线上，弯道内侧的两边分别与x轴、y轴平行，，．用矩形模拟汽车，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，要使矩形能通过该弯道，求b的最大整数值．（参考数据：，） 26．（本题14分）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 数学试题 第2页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$