数学（江苏镇江卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1. 2. 3.7 4. 5. 6.4 7. 3 8. 10 9. 10. 2 11. 12. ② 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13 14 15 16 17 18 D D A A A C 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题8分） 【详解】（1）解： ；………………………………4分 （2）解： ………………………………6分 ………………………………7分 ．………………………………8分 20．（本题10分） 【详解】解：（1） ①②，得， 解得，………………………………3分 把代入①，得， 原方程的解为．………………………………5分 （2） 解不等式①，得，………………………………7分 解不等式②，得，………………………………9分 原不等式组无解．………………………………10分 21．（本题6分） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；………………………………4分 （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴．………………………………6分 22．（本题6分） 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：；………………………………2分 （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为．………………………………6分 23．（本题6分） 【详解】（1）解：《一荤一素》调查得分为“分”所占的百分比为：， ∴； 《你好，李焕英》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为：， ∴； 《一荤一素》调查得分出现次数最多的是分，因此众数是， ∴；………………………………2分 （2）解：《你好，李焕英》，理由：《你好，李焕英》调查得分的平均数、中位数、众数均比《一荤一素》高；………………………………4分 （3）解： 答：估计所打分数中满分的个数为人．………………………………6分 24．（本题6分） 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为半径， 与相切；………………………………3分 （2）解：设半径为，则， ，， ， 在中，，， ，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， 半径为，则， 在中，，，， ．………………………………6分 25．（本题6分） 【详解】（1）在中，当时，， ∴点A的坐标为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，点B的坐标为；………………………………2分 （2）存在点，使， 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为………………………………3分 ∵ ∴到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为， 当时，直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵， ∴………………………………4分 当点在上方时，将向左平移个单位时，则过点 ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或………………………………6分 26．（本题8分） 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，． 设，则． 在中，，，， ∴．………………………………2分 在中，，，， ∴． ∵， ∴，解得．………………………………5分 ∴．………………………………6分 ∴．………………………………7分 答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为．………………………………6分 27．（本题11分） 【详解】（1）根据题意，二次函数中，，，， ∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数与反比例函数图象的交点为，， 即二次函数的“共赢点”是，；………………………………3分 （2）∵二次函数与x轴的交点为M，N， ∴令，则， ∴交点M，N的横坐标满足，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”， ∴由得， ∴， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，， 纵坐标，， ∴， ， ∴ ，………………………………5分 ∵， ∴， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点M，N， ∴， ∴， ∴；………………………………7分 （3）∵，， ∴，，，， ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，， ∴，是方程，即的两个根， ∴，， ∵ ， ∵， ∴， 即．………………………………11分 28．（本题11分） 【详解】（1）证明：如图，作交延长线于点，连接， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 点是的中点，即， ，， ， ，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ．………………………………4分 （2）解：①方法一： 如图，作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求；………………………………8分 ②方法二： 如图，在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 且， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求．………………………………11分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考第二次模拟考试（镇江卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 ( 一、 填空题（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分） 1. _________________ 2 ． _________________ 3. _________________ 4. _________________ 5. _ ________________ 6. _________________ 7. _________________ 8. _ ________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ ) (请用2B铅笔填涂) ( 二、 选择题（本大题共 6 个小题，每小题3分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、 解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 9 ． （ 8 分） （1） （2） 20 . （ 10 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 . （ 6 分） （1） （2） 2 2. （ 6 分） （1） ； （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 .（ 6 分） （1） ; ; ; （2） （3） 2 4 .（ 6 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25.（6分） （1） （2） 26.（8分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 27.（11分） （1） （2） （3） 28. （11分） （1） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) （2） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 8 页） 试题 第 2 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题 2 分，共 24 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 2 的相反数是 ． 2．若代数式 2025x − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ． 3．已知一组数据 7，5， x，9，10 的平均数是 7，则这组数据的中位数为 ． 4．化简 2 2 3 3a b a b − − 的结果是 ． 5．如图，在矩形 ABCD中，E 在边BC 上，F 为CE中点， AEB CDF∠ = ∠ ， 10AC = ， 7AE = ，则线段DF 的长为 ． 第 5 题 第 6 题 6．已知菱形 ABCD，点E F G H， ， ， 分别为边 AB BC CD DA， ， ， 的中点，若四边形EFGH 的面积为 2， 则菱形 ABCD的面积为 ． 7．如图，A 是函数 ( )1 0y x x = − < 的图象上一点，过点 A 作 AB x∥ 轴， AB 交函数 ( )0ky x x = > 的图象于点 B，点 C 在 x 轴上，若 ABC 的面积是 2，则 k 的值是 ． 第 7 题 第 8 题 第 9 题 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为 100 分）的 折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ． 9．如图，已知五边形 ABCDE 为正五边形，以点 A 为圆心，以 AC 的长为半径画弧，分别交 AB ， AE 的延 长线于点 F，G，连接CG ，DG ，则 CGD∠ = ． 10．关于 x 的方程 2 1 1 x a x + = + 无解，则a的值是 ． 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹 O 相切于点C D， ，且 AC BD= ， 连接左右两个绳柄 A B， ， AB 经过圆心O，分别交 O 于点 ,M N ，经测量 4OM AM= = ，则图中阴影部分 的面积为 ． 第 11 题 12．已知抛物线 2y ax bx c= + + （a b c， ， 是常数）经过点 ( )1,2 ，其对称轴为 1 2 x = ，且当 1 2 x = − 时，对应 的函数值 0y < ．下列结论： ① 0abc > ； ②关于 x 的方程 2 0ax bx c+ + = 的正实数根在 1 和 3 2 之间； ③若抛物线经过点 ( )1, m− 和 ( )2, n ，则点 ( ),m n 在直线 1 5 2 y x= − − 的下方； ④ ( )1 11,P t y− 和 ( )2 21,P t y+ 在该二次函数的图象上，则仅当实数 3 4 t > 时， 1 2.y y> 其中正确的结论是 ．（填序号） 二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．国际学术期刊《自然》在 2024 年 5 月 30 日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队 突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线 粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学 记数法表示为（ ） A． 91.8 10−× B． 100.18 10−× C． 1018 10−× D． 101.8 10−× 14．下列运算正确的是（ ） A．2 3 6a a a⋅ = B． ( )2 22 4a a− = − C． ( )2 2ab ab− = − D． ( )( ) 21 1 1a a a+ − = − 试题 第 3 页（共 8 页） 试题 第 4 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体 育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校 2000名初三 学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学 生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图， 其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本 总人数的36%，则下列说法正确的是（ ） A．锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C．锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图 形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被 称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（ ） A． B． C． D． 17．如图 1，四边形 ABCD为菱形，动点 P ，Q同时从A 点出发，点 P 以每秒 1 个单位长度沿线段 AD向终 点 D运动；点Q沿线段 A B C D− − − 向终点D运动，当点 P 运动至终点时，另一点Q也恰好到达终点．设 运动时间为 x 秒， APQ△ 的面积为 y 个平方单位，图 2 为 y 关于 x 的函数关系图象．下面四个结论中： ①菱形 ABCD的边长为 6；②点Q的运动速度为每秒 3 个单位长度；③当2 5x≤ ≤ 时，5 10y≤ ≤ ；④曲线 FG 段的函数解析式为 2 5 15 4 2 y x x= − + ，结论正确的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 第 17 题 第 18 题 18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点O为圆心，OB 为半径作 O ， AQ切 O 于点 P ，并交DE 于点Q，若 12 3cmAQ = ，则该圆的半径为（ ）cm． A．2 6 B．3 2 3+ C．3 6+ D．3 3 三、解答题（本大题共有 10 题，共 78 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 19．（8 分）计算 (1) 2025 31 27 tan60 2 3− + − °+ − ． (2)化简： 23 4 41 1 1 x xx x x + + + − ÷ − −  ． 20．（10 分）（1）解方程组 4 2 5 x y x y − =  + = （2）解不等式组： ( )1 3 3 5 2 x x xx  − > −   + ≥ 21．（6 分）如图， ABC 中，AD BC⊥ ，垂足为 D，BE AC⊥ ，垂足为 E，AD与 BE 相交于点 F，BF AC= ． (1)求证： ADC BDF≌  ； (2)若 2DF = ， 3AF = ， 求BC 的长 22．（6 分）有 4 张分别印有电影哪吒 2 主要人物图案的卡片，A 哪吒、B 敖丙、C 申公豹、D 太乙真人， 现将这 4 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片， 记录后不放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 试题 第 5 页（共 8 页） 试题 第 6 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 23．（6 分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品， 其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的 评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了 20 名学生对这两部作品分别进行打分（满分 10 分），并进行 整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽 取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表． 平均数 众数 中位数 《你好，李焕英》 8.2 9 b 《一荤一素》 7.9 c 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中 a，b，c 的值； (2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级 1100 名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？ 24．（6 分）如图， AB 是 O 的直径，点C 、E 在 O 上， 2CAB EAB∠ = ∠ ，点F 在线段 AB 的延长线上， 且 AFE ABC∠ = ∠ ． (1)求证：EF 与 O 相切； (2)若 2BF = ， 4sin 5 AFE∠ = ，求 AC 的长． 25．（6 分）如图，二次函数 ( )22 1y x= + − 的图象与 y 轴交于点A ，与 x 轴交于点 B ，C ． (1)求点 , ,A B C 的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点 P ，使 PAB ABCS S=  ：若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 26．（8 分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之 责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周 末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点A 处观察点C 的仰角为37°．观察员在点A 处竖直向上升起一架无 人机，当无人机到达离地面 40m 的点 B 处时，测得钟楼顶端点D的俯角为35°， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，C D， 两点的水平距离 4m=CE ， 14mDE = ．请根据上述 数据，计算太原钟楼的顶端 D到地面的距离．（结果精确到1m；参考数据：sin37 0.60° ≈ ，cos37 0.80° ≈ ， tan37 0.75° ≈ ， sin 35 0.57° ≈ ，cos35 0.82° ≈ ， tan 35 0.70° ≈ ） 试题 第 7 页（共 8 页） 试题 第 8 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 27．（11 分）我们称关于 x 的二次函数 2y px qx k= + + 为一次函数 y px q= + 和反比例函数 ky x = − 的“共同体” 函数．一次函数 y px q= + 和反比例函数 ky x = − 的交点称为二次函数 2y px qx k= + + 的“共赢点”． (1)二次函数 2 3 4y x x= − − 是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数 2y ax bx c= + + 与 x 轴的交点为 M，N，有 A，B 两个“共赢点”，且 3AB MN= ，求 a 的值； (3)若一次函数 2y ax b= + 和反比例函数 cy x = − 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 1x ， 2x ，其中实 数 a b c> > ， 0a b c+ + = ．令 1 2 1 1L x x = − ，求 L 的取值范围． 28．（11 分） 小珺对下面的三角形进行探究： 如图 1 所示， ABC 中， 45ABC∠ = °， A∠ 外角的正切值为 2，取BC 中点 D 与线段CA上一点 E，满足 EBA C  ． (1)小珺说：“ EBD∠ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完 EBD∠ 的正切值后，小珺神奇地发现：tan sin 30EBD∠ = °．小珺进一步提出问题：如何利用 ABC 与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与60°角的正弦值相等呢？请在图 2 中用两种方法作 出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 2025年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的相反数是 ． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 3．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 4．化简的结果是 ． 5．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ． 第5题 第6题 6．已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ． 7．如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 第7题 第8题 第9题 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ． 9．如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 10．关于的方程无解，则的值是 ． 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 第11题 12．已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时， 其中正确的结论是 ．（填序号） 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 14．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 17．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 第17题 第18题 18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算 (1)． (2)化简：． 20．（10分）（1）解方程组 （2）解不等式组： 21．（6分）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 22．（6分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 23．（6分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表． 平均数 众数 中位数 《你好，李焕英》 8.2 9 《一荤一素》 7.9 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中a，b，c的值； (2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？ 24．（6分）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 25．（6分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．   (1)求点的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（8分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 27．（11分）我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 28．（11分） 小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 数学试题 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 第1页（共6页） 2025 年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题 2 分，共 24 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 2 的相反数是 ． 2．若代数式 2025x − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ． 3．已知一组数据 7，5， x ，9，10 的平均数是 7，则这组数据的中位数为 ． 4．化简 2 2 3 3a b a b − − 的结果是 ． 5．如图，在矩形 ABCD中，E 在边BC 上，F 为CE中点， AEB CDF∠ = ∠ ， 10AC = ， 7AE = ，则线段 DF 的长为 ． 第 5 题 第 6 题 6．已知菱形 ABCD，点 E F G H， ， ， 分别为边 AB BC CD DA， ， ， 的中点，若四边形 EFGH 的面积为 2， 则菱形 ABCD的面积为 ． 7．如图，A 是函数 ( )1 0y x x = − < 的图象上一点，过点 A 作 AB x∥ 轴，AB 交函数 ( )0ky x x = > 的图象于点 B，点 C 在 x 轴上，若 ABC 的面积是 2，则 k 的值是 ． 第 7 题 第 8 题 第 9 题 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为 100 分） 的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ． 9．如图，已知五边形 ABCDE 为正五边形，以点 A 为圆心，以 AC 的长为半径画弧，分别交 AB ， AE 的延 长线于点 F，G，连接CG ，DG ，则 CGD∠ = ． 10．关于 x 的方程 2 1 1 x a x + = + 无解，则a的值是 ． 数学试题 第2页（共6页） 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 ACDB分别与空竹 O 相切于点C D， ，且 AC BD= ， 连接左右两个绳柄 A B， ， AB 经过圆心O，分别交 O 于点 ,M N ，经测量 4OM AM= = ，则图中阴影部分 的面积为 ． 第 11 题 12．已知抛物线 2y ax bx c= + + （a b c， ， 是常数）经过点 ( )1,2 ，其对称轴为 1 2 x = ，且当 1 2 x = − 时，对应 的函数值 0y < ．下列结论： ① 0abc > ； ②关于 x 的方程 2 0ax bx c+ + = 的正实数根在 1 和 3 2 之间； ③若抛物线经过点 ( )1,m− 和 ( )2, n ，则点 ( ),m n 在直线 1 5 2 y x= − − 的下方； ④ ( )1 11,P t y− 和 ( )2 21,P t y+ 在该二次函数的图象上，则仅当实数 3 4 t > 时， 1 2.y y> 其中正确的结论是 ．（填序号） 二、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．国际学术期刊《自然》在 2024 年 5 月 30 日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队 突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线 粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学 记数法表示为（ ） A． 91.8 10−× B． 100.18 10−× C． 1018 10−× D． 101.8 10−× 14．下列运算正确的是（ ） A．2 3 6a a a⋅ = B． ( )2 22 4a a− = − C． ( )2 2ab ab− = − D． ( )( ) 21 1 1a a a+ − = − 15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体 育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校 2000名初三学 生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的 锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中 一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数 的36%，则下列说法正确的是（ ） 数学试题 第3页（共6页） A．锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C．锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图 形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被 称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（ ） A． B． C． D． 17．如图 1，四边形 ABCD为菱形，动点 P ，Q同时从A 点出发，点 P 以每秒 1 个单位长度沿线段 AD向终 点 D运动；点Q沿线段 A B C D− − − 向终点D运动，当点 P 运动至终点时，另一点Q也恰好到达终点．设 运动时间为 x 秒， APQ△ 的面积为 y 个平方单位，图 2 为 y 关于 x 的函数关系图象．下面四个结论中： ①菱形 ABCD的边长为 6；②点Q的运动速度为每秒 3 个单位长度；③当2 5x≤ ≤ 时，5 10y≤ ≤ ；④曲 线 FG 段的函数解析式为 2 5 15 4 2 y x x= − + ，结论正确的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 第 17 题 第 18 题 18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点O为圆心，OB 为半径作 O ， AQ切 O 于点 P ，并交DE 于点Q，若 12 3cmAQ = ，则该圆的半径为（ ）cm． A．2 6 B．3 2 3+ C．3 6+ D．3 3 三、解答题（本大题共有 10 题，共 78 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 19．（8 分）计算 (1) 2025 31 27 tan60 2 3− + − °+ − ． (2)化简： 23 4 41 1 1 x xx x x + + + − ÷ − −  ． 数学试题 第4页（共6页） 20．（10 分）（1）解方程组 4 2 5 x y x y − =  + = （2）解不等式组： ( )1 3 3 5 2 x x xx  − > −   + ≥ 21．（6 分）如图， ABC 中，AD BC⊥ ，垂足为 D，BE AC⊥ ，垂足为 E，AD与 BE 相交于点 F，BF AC= ． (1)求证： ADC BDF≌  ； (2)若 2DF = ， 3AF = ， 求BC 的长 22．（6 分）有 4 张分别印有电影哪吒 2 主要人物图案的卡片，A 哪吒、B 敖丙、C 申公豹、D 太乙真人， 现将这 4 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片， 记录后不放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 23．（6 分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品， 其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的 评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了 20 名学生对这两部作品分别进行打分（满分 10 分），并进 行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽 取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表． 平均数 众数 中位数 《你好，李焕英》 8.2 9 b 《一荤一素》 7.9 c 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中 a，b，c 的值； (2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级 1100 名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？ 数学试题 第5页（共6页） 24．（6 分）如图， AB 是 O 的直径，点C 、E 在 O 上， 2CAB EAB∠ = ∠ ，点F 在线段 AB 的延长线上， 且 AFE ABC∠ = ∠ ． (1)求证：EF 与 O 相切； (2)若 2BF = ， 4sin 5 AFE∠ = ，求 AC 的长． 25．（6 分）如图，二次函数 ( )22 1y x= + − 的图象与 y 轴交于点A ，与 x轴交于点 B ，C ． (1)求点 , ,A B C 的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点 P ，使 PAB ABCS S=  ：若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 26．（8 分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之 责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而 成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点A 处观察点C 的仰角为37°．观察员在点A 处竖直向上升起一架无 人机，当无人机到达离地面 40m 的点 B 处时，测得钟楼顶端点D的俯角为35°， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，C D， 两点的水平距离 4m=CE ， 14mDE = ．请根据上述 数据，计算太原钟楼的顶端 D到地面的距离．（结果精确到1m；参考数据：sin37 0.60° ≈ ，cos37 0.80° ≈ ， tan37 0.75° ≈ ， sin 35 0.57° ≈ ，cos35 0.82° ≈ ， tan 35 0.70° ≈ ） 数学试题 第6页（共6页） 27．（11 分）我们称关于 x 的二次函数 2y px qx k= + + 为一次函数 y px q= + 和反比例函数 ky x = − 的“共同 体”函数．一次函数 y px q= + 和反比例函数 ky x = − 的交点称为二次函数 2y px qx k= + + 的“共赢点”． (1)二次函数 2 3 4y x x= − − 是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数 2y ax bx c= + + 与 x 轴的交点为 M，N，有 A，B 两个“共赢点”，且 3AB MN= ，求 a 的值； (3)若一次函数 2y ax b= + 和反比例函数 cy x = − 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 1x ， 2x ，其中实 数 a b c> > ， 0a b c+ + = ．令 1 2 1 1L x x = − ，求 L 的取值范围． 28．（11 分） 小珺对下面的三角形进行探究： 如图 1 所示， ABC 中， 45ABC∠ = °， A∠ 外角的正切值为 2，取BC 中点 D 与线段CA上一点 E，满足 EBA C  ． (1)小珺说：“ EBD∠ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完 EBD∠ 的正切值后，小珺神奇地发现：tan sin 30EBD∠ = °．小珺进一步提出问题：如何利用 ABC 与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与60°角的正弦值相等呢？请在图 2 中用两种方法作 出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 2025年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的相反数是 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 3．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 【答案】7 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题主要考查了平均数与中位数，熟记相关定义和公式是解题的关键． 先利用平均数为7解出x的值，然后根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：∵数据7，5，，9，10的平均数是7， ∴，解得：， 把这些从小到大排列为：4，5，7，9，10， 则这组数据的中位数是：7． 故答案为7． 4．化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】此题主要考查分式化简，约分至最简形式是解题的关键．此题涉及的知识点是分式的化简，根据约分要求进行计算可得结果． 【详解】解：． 故答案为：． 5．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，延长到点G，使，连接，，利用线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理得出，，证明，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：延长到点G，使，连接， ∵矩形， ∴， 即， ∴， ∵为中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接交于，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 7．如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 【答案】3 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，， 根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值． 【详解】解：设点A的坐标为∶，， ∵轴， ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∵点C在x轴上，轴， ∴边上的高为∶， ∵的面积是2， 即， 化简得：， 解得：， 故答案为：3． 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ． 【答案】10 【知识点】折线统计图、求方差 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故答案为10． 9．如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 则与是上弧所对的圆心角和圆周角， ∴，， ∵五边形为正五边形， ， 在等腰，， ∴； 同理：， ， ∴； 故答案为：． 10．关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，先求出方程的解，再根据方程无解可知分式方程的分母为，求出的值，再代入方程的解计算即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点为切点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时， 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】② 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键，①根据对称轴得出，将代入表达式求出，再根据当时，对应的函数值得出，进而判断；②根据对称轴为，且当时，对应的函数值判断即可；③根据点和关于对称轴对称进行判断即可；④利用在该二次函数的图象上，且，得出时，进而判断． 【详解】解：①对称轴为， ， ， 将代入，得， ， 时，， ， ，故①错误，不合题意； ②对称轴为，且当时，对应的函数值，， 时，对应的函数值， 抛物线是常数与x轴的另一个交点在和之间， 关于x的方程的正实数根在1和之间，故②正确，符合题意； ③抛物线经过点和，且， 点和关于对称轴对称， ， 点在直线轴上， 当点在第一象限时，点在直线的上方，故③错误，不合题意； ④和在该二次函数的图象上，且， 时，，故④错误，不合题意． 故答案为：②． 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 14．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 【答案】A 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查了用样本估计总体，求平均数、求中位数等知识点，掌握以上知识是解答本题的关键． 算出抽查总人数，再算出锻炼时长为小时的学生人数即可判断A；算出样本中学生锻炼时长总数再除以样本总人数即可判断B，根据条形统计图找出第位和第位的学生锻炼时长，加起来再除以求出中位数即可判断C，求出样本中学生锻炼时长为小时的学生人数所占百分比再乘以即可判断D． 【详解】解：A、（人），所以锻炼时长为小时的学生人数为（人），即锻炼时长为小时是这个样本的众数，故A选项符合题意； B、（小时），故B选项不符合题意； C、由条形统计图知第位和第位的学生锻炼时长为小时、小时，故中位数为（小时），故C选项不符合题意； D、（人），多于名，故D选项不符合题意； 故选：A． 16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查几何体的俯视图．根据题意观察图形即可得到本题答案． 【详解】 解：∵图③“阳马”的俯视图是， 故选：A． 17．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数)、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确． 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故①正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 设曲线段的函数解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴，故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，从函数图象获取信息，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：是的切线， ， 设该圆的半径为， ， ， ，， ， ， 过作于，过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， ， 解得， 该圆的半径为， 故选：C． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题8分）计算 (1)． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式的加减乘除混合运算． （1）根据立方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题10分）（1）解方程组 （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）无解 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自求解基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法进行求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ①②，得， 解得， 把代入①，得， 原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解． 21．（本题6分）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴． 22．（本题6分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，根据概率公式求解概率，熟练掌握概率公式为解题关键． （1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为申公豹的的概率为， 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为2， 所以抽取的两次结果为哪吒和申公豹的的概率为． 23．（本题6分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表． 平均数 众数 中位数 《你好，李焕英》 8.2 9 《一荤一素》 7.9 8    根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中a，b，c的值； (2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？ 【答案】(1) (2)《你好，李焕英》，理由见解析 (3) 【知识点】借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】（1）根据《一荤一素》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定的值；根据中位数、众数的意义可求出的值； （2）通过平均数、中位数、众数的比较即可求解； （3）求出《你好，李焕英》满分人数所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：《一荤一素》调查得分为“分”所占的百分比为：， ∴； 《你好，李焕英》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为：， ∴； 《一荤一素》调查得分出现次数最多的是分，因此众数是， ∴； （2）解：《你好，李焕英》，理由：《你好，李焕英》调查得分的平均数、中位数、众数均比《一荤一素》高； （3）解： 答：估计所打分数中满分的个数为人． 【点睛】本题考查了统计中的扇形统计图、各统计数据的意义及求解．旨在考查学生的数据处理能力． 24．（本题6分）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，得到，即可证明； （2）设半径为，则，在中，，则，即，解得，而半径为，则，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为半径， 与相切； （2）解：设半径为，则， ，， ， 在中，，， ，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， 半径为，则， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25．（本题6分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．    (1)求点的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或 【知识点】一次函数与几何综合、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移问题，求三角形的面积，分类讨论是解题的关键. （1）在解析式中，由，求得的对应值可得点的坐标；由，求得对应的的值可得点、的坐标； （2）根据可得到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，分类讨论得出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）在中，当时，， ∴点A的坐标为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，点B的坐标为； （2）存在点，使， 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为， 当时，直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵， ∴ 当点在上方时，将向左平移个单位时，则过点 ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或 26．（本题8分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】太原钟楼的顶端到地面的距离约为 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质，过点作于点，延长交于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即可得到答案，熟练掌握三角函数测高题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，． 设，则． 在中，，，， ∴． 在中，，，， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为． 27．（本题11分）我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 【答案】(1)二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， (2) (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解； （2）对于二次函数，令，则，得到交点M，N的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，由，即可求出a的值； （3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而，根据二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围． 【详解】（1）根据题意，二次函数中，，，， ∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数， 解方程组得，， 经检验，，都是方程组的解， ∴一次函数与反比例函数图象的交点为，， 即二次函数的“共赢点”是，； （2）∵二次函数与x轴的交点为M，N， ∴令，则， ∴交点M，N的横坐标满足，， ∴， ∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A，B两个“共赢点”， ∴由得， ∴， ∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足，， 纵坐标，， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵二次函数与x轴有两个交点M，N， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，，，， ∴， ∵一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，， ∴，是方程，即的两个根， ∴，， ∵ ， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 28．（本题11分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）作交延长线于点，连接，在和中利用正切的定义得到和，得出点是的中点，通过证明得到，，得到，进而推出，得到，利用正切的定义求出，最后证明即可求解； （2）①方法一：作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接，利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，结合，分析可知即为所求；②方法二：在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接，利用等腰直角三角形的性质与判定得到，利用利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，分析可知即为所求． 【详解】（1）证明：如图，作交延长线于点，连接， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 点是的中点，即， ，， ， ，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ． （2）解：①方法一： 如图，作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求； ②方法二： 如图，在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 且， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数学·答题卡 (请用 2B 铅笔填涂) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分） 1._________________ 2．_________________ 3._________________ 4._________________ 5._________________ 6._________________ 7._________________ 8._________________ 9._________________ 10._________________ 11._________________ 12._________________ 二、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 78 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8 分） （1） （2） 20. （10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （6 分） （1） （2） 22.（6 分） （1） ； （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（6 分） （1） ; ; ; （2） （3） 24.（6 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（6 分） （1） （2） 26.（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（11 分） （1） （2） （3） 28. （11 分） （1） （2） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（镇江卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1．的相反数是 ． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 3．已知一组数据7，5，，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ． 4．化简的结果是 ． 5．如图，在矩形中，在边上，为中点，，，，则线段的长为 ． 第5题 第6题 6．已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ． 7．如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 第7题 第8题 第9题 8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ． 9．如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 10．关于的方程无解，则的值是 ． 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ． 第11题 12．已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于x的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时， 其中正确的结论是 ．（填序号） 二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 14．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（    ） A． B． C． D． 17．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 第17题 第18题 18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算 (1)． (2)化简：． 20．（10分）（1）解方程组 （2）解不等式组： 21．（6分）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 22．（6分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片，A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率； (1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______； (2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由） 23．（6分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品，其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表． 平均数 众数 中位数 《你好，李焕英》 8.2 9 《一荤一素》 7.9 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述图表中a，b，c的值； (2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？ 24．（6分）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 25．（6分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．   (1)求点的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（8分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 27．（11分）我们称关于x的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”． (1)二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”； (2)已知二次函数与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且，求a的值； (3)若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L的取值范围． 28．（11分） 小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$