数学（江苏盐城卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键．将每一个数算出比较大小即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意； B． ，故运算错误，不符合题意； C． ，故运算错误，不符合题意； D． ，运算正确，符合题意． 故选：D． 4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】将原数表示成形式为的形式（其中，n为整数）即可解答． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式（其中，n为整数），正确确定a、n的值是解答本题的关键． 5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 【答案】A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答，注意正方体的空间图形，从相对面入手． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “做”与“己”是相对面， “最”与“的”是相对面， “自”与“好”是相对面； 故选：A． 6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、实数的大小比较、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 【答案】A 【知识点】求中位数、求一组数据的平均数、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了用样本估计总体，求平均数、求中位数等知识点，掌握以上知识是解答本题的关键． 算出抽查总人数，再算出锻炼时长为小时的学生人数即可判断A；算出样本中学生锻炼时长总数再除以样本总人数即可判断B，根据条形统计图找出第位和第位的学生锻炼时长，加起来再除以求出中位数即可判断C，求出样本中学生锻炼时长为小时的学生人数所占百分比再乘以即可判断D． 【详解】解：A、（人），所以锻炼时长为小时的学生人数为（人），即锻炼时长为小时是这个样本的众数，故A选项符合题意； B、（小时），故B选项不符合题意； C、由条形统计图知第位和第位的学生锻炼时长为小时、小时，故中位数为（小时），故C选项不符合题意； D、（人），多于名，故D选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为： 10．化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的约分，将分子，分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．如图，四边形是菱形，，，于点H，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．掌握菱形的性质是解本题的关键． 先根据菱形的性质得，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 12．如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 【答案】56 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接，由为直径，得到，，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 13．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出，过点作于点，求得，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有 个． 【答案】24 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有个牧童，根据杏的总数不变列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共有个牧童， 由题意得：, 解得：， ∴共有个牧童， 故答案为： ． 15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】38.5 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，则， ，， ， ， 在中，， ． 点A到的距离约为38.5． 故答案为：38.5 16．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形，证明，则，得到，当取最小值时，最小，过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小，得到，连接，过点作于点K，求出,证明是等腰直角三角形，得到的面积,即可得到答案． 【详解】解：过点C作，使，连接，如图，则为等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 当取最小值时，最小， 过点H作，由于垂线段最短，点D和点重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 连接，过点作于点K， ∴， ∴，， ∴, ∵是等腰直角三角形， ∴的面积, 即取最小值时，的面积是， 故答案为： 三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 18．（本题6分）已知，满足方程组，求代数式的值． 【答案】7 【知识点】加减消元法、整式的混合运算 【分析】利用加减消元法解方程组，求得与的值，再把与的值代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，整式的化简求值．掌握解二元一次方程组的方法和整式的混合运算法则是解题的关键． 19．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键．先把分式的分子、分母因式分解，约掉公因式变为，再同分母分式相加化简整理，最后把代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解：原式 ； 把，代入上式得， 上式． 20．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1)，随机 (2)恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查树状图法求概率． （1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 掌握树状图法求概率，是解题的关键． 【详解】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； （2）画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 21．（本题8分）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取． (1)求证：； (2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形不能成为矩形，理由见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、利用平行四边形的性质证明、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】 （1）由，可知，证明，则； （2）若四边形为矩形，则，由作图可知，平分，则，与矛盾，即四边形不能成为矩形． 【详解】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 解：四边形不能成为矩形，理由如下： 若四边形为矩形，则， 由作图可知，平分， ∴，与矛盾， ∴四边形不能成为矩形． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识．熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质是解题的关键． 22．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 23．（本题10分）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了切线的性质定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，做出正确辅助线，熟练利用角度的转换得到是解题的关键． （1）连接，利用切线的性质可得，再根据角度的转换即可得到； （2）根据勾股定理求得的长，再利用垂径定理得到，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 24．（本题10分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得； （2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得； （3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得． （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或． （3）解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为． 25．（本题10分）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）的长为或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明，结合已知条件即可证明； ②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，根据已知条件得出，，可证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解； ②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过 点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解； ③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在；当点在边上时，过点作交的延长线于点，再由勾股定理求的长即可． 【详解】解：（1）①四边形是矩形，则， °， ， ， ， ， ； ②由①可得， ． ， ， ， （2）在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， 平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， 解得：或， 即或， ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则， 四边形是平行四边形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ∴，， ， ， ， ，， ，， ， 即 ， ， 即 ， 解得： ，（舍去）， 即 ； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 点不可能在边上， ④当点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为或或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 26．（本题12分）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1）；（2）不能覆盖着火点，理由见解析；（3）点D的横坐标为． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将代入得， 整理得， ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 27．（本题14分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）作交延长线于点，连接，在和中利用正切的定义得到和，得出点是的中点，通过证明得到，，得到，进而推出，得到，利用正切的定义求出，最后证明即可求解； （2）①方法一：作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接，利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，结合，分析可知即为所求；②方法二：在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接，利用等腰直角三角形的性质与判定得到，利用利用等边三角形的性质和三角函数的知识得到，分析可知即为所求． 【详解】（1）证明：如图，作交延长线于点，连接， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 点是的中点，即， ，， ， ，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ． （2）解：①方法一： 如图，作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求； ②方法二： 如图，在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 且， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相似三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，利用尺规正确作图是解题的关键．本题属于几何的复杂作图题，有一定难度，适合有能力解决几何难题的学生． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B A B D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12．56 13． 14．24 15．38.5 16． 三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分） 【详解】解：原式 ……………………………………4分 ．…………………………………6分 18．（本题6分） 【详解】解：由得：， 解得：，…………………………………1分 将代入得：， 解得：，…………………………………2分 ，…………………………………5分 当，时， 原式．…………………………………6分 19．（本题8分） 【详解】解：原式 …………………………………4分 …………………………………5分 ；…………………………………6分 把，代入上式得， 上式．…………………………………8分 20．（本题8分） 【详解】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机；…………………………………3分 （2）画出树状图如图： …………………………………6分 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴．…………………………………8分 21．（本题8分） 【详解】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；…………………………………4分 （2） 解：四边形不能成为矩形，理由如下： 若四边形为矩形，则， 由作图可知，平分， ∴，与矛盾， ∴四边形不能成为矩形．…………………………………8分 22．（本题10分） 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为；…………………………………3分 （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为；…………………………………6分 （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为．…………………………………10分 23．（本题10分） 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ；…………………………………4分 （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ．…………………………………10分 24．（本题10分） 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得．…………………………………2分 （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或．…………………………………5分 （3）解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为．…………………………………10分 25．（本题10分） 【详解】解：（1）①四边形是矩形，则， °， ， ， ， ， ；…………………………………2分 ②由①可得， ． ， ， ，…………………………………3分 （2）在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；…………………………………5分 （3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， 平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则，， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， 解得：或， 即或，…………………………………7分 ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则， 四边形是平行四边形， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ∴，， ， ， ， ，， ，， ， 即 ， ， 即 ， 解得： ，（舍去）， 即 ；…………………………………8分 ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 点不可能在边上，…………………………………9分 ④当点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为或或 ．…………………………………10分 26．（本题12分） 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即；…………………………3分 （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点，…………………………………4分 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和，………………………5分 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，…………………………………6分 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； …………………………………7分 （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即，…………………………………8分 ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为，…………………………………9分 将代入得， 整理得，…………………………………10分 ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为．…………………………………12分 27．（本题14分） 【详解】（1）证明：如图，作交延长线于点，连接， ， ， 在中，， ，…………………………………1分 在中，， ， ， 点是的中点，即，…………………………………2分 ，， ，…………………………………3分 ，， ， 又， ， ， 在中，， ， ，…………………………………4分 ， ， ， ，即， ．…………………………………6分 （2）解：①方法一： 如图，作于点，以为边作等边，在延长线上截取点使得，延长和交于点，连接， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求；…………………………………10分 ②方法二： 如图，在上取一点使得，过点作且，以为边作等边，延长和交于点，在延长线上截取点使得，连接， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 且， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 等边， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图所示，即为所求．…………………………………14分 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题3分，共24分） 9．____________10．___________ 11．____________12．_____________ 13．___________ 1 4．____________15．____________ 16．_____________ 三、（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （6分） 19. （8分） 20.（8分） （1） 、 （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） （1） （2） 22.（10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） （1） （2） 24. （10分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) （1）① ② ； （2） （3） 26.(12分) （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．____________10．___________ 11．____________12．_____________ 13．___________ 1 4．____________15．____________ 16．_____________ 三、（本大题共 11 个小题，共 102 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 18. （6 分） 19. （8 分） 20.（8 分） （1） 、 （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8 分） （1） （2） 22.（10 分） （1） （2） （3） 23. （10 分） （1） （2） 24. （10 分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12 分) （1）① ② ； （2） （3） 26.(12 分) （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.（14 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 8 页） 试题 第 2 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025 年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B 铅笔，并请加黑加粗。 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个有理数中，最小的数是（ ） A． 4− B． 1 2 − C．0 D． ( )20251− 2．2025 年 2 月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我” 为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下 4 幅设计 方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． ( )32 62 6a a= B． ( )2 22 4a a− = − C． 8 4 2a a a÷ = D． 18 8 2− = 4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为 67500 吨，数 据 67500 用科学记数法表示为（ ） A． 36.75 10 B． 46.75 10× C． 567.5 10× D． 467.5 10× 5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字 是“己”时，下面的字是（ ） A．做 B．最 C．好 D．己 第 5 题 第 6 题 6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中 90C DBE∠ = ∠ = °， 45A∠ = °， 30E∠ = °．若 AB DE∥ ，则 CBD∠ 的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．若 22024 2023 2024a = − × ， 22025 4 2024b = − × ， 2024 2022c = × ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a b c< < B．a c b< < C．b c a< < D． c b a< < 8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手 段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时 长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时 的学生人数占样本总人数的36%，则下列说法正确的是（ ） A．锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C．锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若代数式 2025x − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ． 10．化简 2 4 4 2 4 x x x − + − 的结果是 ． 11．如图，四边形 ABCD是菱形， 8AC = ， 6DB = ，DH AB⊥ 于点 H，则DH = ． 第 11 题 第 12 题 试题 第 3 页（共 8 页） 试题 第 4 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 12．如图，以 ABC 的边BC 为直径的 O 分别交 AB 、 AC 于点D、E ，连接OD、OE ．若 62A∠ = °，则 DOE∠ = °． 13．如图，在 ABC 中， 45BAC∠ = °， 4AB AC= = ，以 AB 为直径作 O ，交边 AC 于点D，交边 BC 于 点 E ，则图中阴影部分的面积是 ． 第 13 题 第 15 题 14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个 剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若 3 人一 组，每组 5 个杏，则多 10 个杏．若 4 人一组，每组 8 个杏，则多 2 个杏．有多少个牧童，多少个杏？则 该问题中的牧童有 个． 15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 88A∠ = °， 42C∠ = °， 50AB = ，则点 A 到BC 的距离为 （结果精确到 0.1）（参考数据：sin 40 0.64° ≈ ，cos 40 0.77° ≈ ， tan 40 0.84° ≈ ） 16．如图，点 D 是Rt ABC△ 的斜边 AC 上一点， 且 90ABC∠ = °， 30 2 2，∠ = ° =A BC ，以BD为斜边作 等腰Rt BDE△ ，使 E，C 在BD同侧， 连接CE，当CE取最小值时， BDE 的面积是 ． 第 16 题 三、解答题（本大题共有 11 题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本题 6 分）计算： ( ) 1 2 13 3 2 2sin60 2 −  − − − − + °    ．． 18．（本题 6 分）已知 x， y 满足方程组 2 2 1 x y x y − = −  + = − ① ② ，求代数式 ( ) ( )( )2 2 2x y x y x y− − − + 的值． 19．（本题 8 分）先化简，再求值： 2 2 1 1 2 1 x x x x x − − − − + ，其中 3 1x = + ． 20．（本题 8 分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗； B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填 “随机”或“不可能”或“必然”）？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同， 且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表 的方法进行说明． 21．（本题 8 分）如图，在 ABCD 中，以点 A 为圆心， AM 的长为半径作弧，交 AB AD， 于点 M，N，分 别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长，交 BC 于点 E，在DA 上截取DF BE= ． (1)求证： AE CF= ； (2)四边形 AECF 能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由． 22．（本题 10 分）已知反比例函数 ( )0ky x x = > 的图象与正比例函数 ( )3 0y x x= ≥ 的图象交于点 ( )2,A a ， 点 B 是线段OA上（不与点 A 重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当 0x > 时，直接写出不等式 3 k x x ≥ 的解集； (3)如图，将点 A 绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 E，当点 E 恰好落在 ( )0ky x x = > 的图象上时，求点 E 的坐标． 试题 第 5 页（共 8 页） 试题 第 6 页（共 8 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 23．（本题 10 分）如图，AB 是 O 的直径，直线 l 与 O 相切于点 C，连接 AC ，OE BC⊥ 于 E，OE 的延 长线交直线 l 于点 D． (1)试判断 ABC∠ 和 EDC∠ 的大小关系，并说明理由； (2)若 O 的半径为 2， 1AC = ，求DC 的长． 24．（本题 10 分）如图，抛物线 2y x mx= + 与直线 y x b= − + 相交于点 ( )2,0A 和点 B． (1)求 m 和 b 的值； (2)求点 B 的坐标，并结合图象写出不等式 2x mx x b+ > − + 的解集； (3)点 M 是直线 AB 上的一个动点，将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N，若线段MN 与抛物线有两个公 共点，请你画图观察，直接写出点M 的横坐标 Mx 的取值范围． 25．（本题 10 分）（1）如图 1，在矩形 ABCD中，E 为 AD边上一点，连接 BE ，若BE BC= ，过C 作CF BE⊥ 交 BE 于点F ， ①求证： ABE FCB≌△ △ ； ②若 20ABCDS =矩形 时，则BE CF⋅ = ____． （2）如图 2，在菱形 ABCD中， 1cos 3 A = ，过C 作CE AB⊥ 交 AB 的延长线于点E ，过E 作EF AD⊥ 交 AD 于点F ，若 24ABCDS =菱形 时，求EF BC⋅ 的值． （3）如图 3，在平行四边形 ABCD中， 60A∠ = °， 6AB = ， 5AD = ，点E 在CD上，且 2CE = ，点F 为BC 上一点，连接EF ，过 E 作EG EF⊥ 交平行四边形 ABCD的边于点G ，若 7 3EF EG⋅ = 时，请直接写出 AG 的长． 26．（本题 12 分）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1 秒钟充电 1 公里”．如图 1，是一个新能源超级 充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图 2 是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB 是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似 地看作抛物线的一部分．以点 O 为原点，表示地面的直线为 x 轴，OA所在的直线为 y 轴，建立如图 2 所 示的平面直角坐标系．已知 2.5mOA = ，点 B 为 AB 所在抛物线的最高点，其坐标为 ( )4,3.5 ． （1）求 AB 所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图 2，点 C 是 AB 上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm 的干粉灭火器装置，点 D 为干粉喷射 点．已知干粉喷射点 D 距离地面3m 时，对地面的保护半径为2m．对空间的保护截面可近似地看作顶点为 D 的抛物线与 x 轴组成的封闭区域．安装点 C 可根据需要在 AB 所在抛物线上滑动，从 D 点喷出的干粉形 成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点 D 距地面的高度恰好为3m 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点 ( )1,1 ？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为 ( )0,1.09 ，请直接写出点 D 的横坐标． 27．（本题 14 分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图 1 所示， ABC 中， 45ABC∠ = °， A∠ 外角的正切值为 2，取BC 中点 D与线段CA上一点 E，满足 EBA C  ． (1)小珺说：“ EBD∠ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完 EBD∠ 的正切值后，小珺神奇地发现：tan sin 30EBD∠ = °．小珺进一步提出问题：如何利用 ABC 与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与60°角的正弦值相等呢？请在图 2 中用两种方法作 出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 第5题 第6题 6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 10．化简的结果是 ． 11．如图，四边形是菱形，，，于点H，则 ． 第11题 第12题 12．如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 13．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 第13题 第15题 14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有 个． 15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 16．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 第16题 三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）已知，满足方程组，求代数式的值． 19．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 21．（本题8分）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取． (1)求证：； (2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由． 22．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 23．（本题10分）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 24．（本题10分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 25．（本题10分）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 26．（本题12分）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 27．（本题14分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D． 2．2025年2月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我”为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下4 幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，数据67500用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字是“己”时，下面的字是（   ） A．做 B．最 C．好 D．己 第5题 第6题 6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为小时的学生人数占样本总人数的，则下列说法正确的是（    ） A．锻炼时长为小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为小时 C．锻炼时长为小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为小时的学生少于名 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 10．化简的结果是 ． 11．如图，四边形是菱形，，，于点H，则 ． 第11题 第12题 12．如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 13．如图，在中，，，以为直径作，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积是 ． 第13题 第15题 14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有 个． 15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为 （结果精确到0.1）（参考数据：，，） 16．如图，点D是的斜边上一点， 且， ，以为斜边作等腰，使E，C在同侧， 连接，当取最小值时，的面积是 ． 第16题 三、解答题（本大题共有11题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）已知，满足方程组，求代数式的值． 19．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题8分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）； (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 21．（本题8分）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点E，在上截取． (1)求证：； (2)四边形能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由． 22．（本题10分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 23．（本题10分）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 24．（本题10分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 25．（本题10分）（1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点， ①求证：； ②若时，则____． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 26．（本题12分）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 27．（本题14分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图1所示，中，，外角的正切值为2，取中点D与线段上一点E，满足． (1)小珺说：“的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完的正切值后，小珺神奇地发现：．小珺进一步提出问题：如何利用与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与角的正弦值相等呢？请在图2中用两种方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明． 数学试题 第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 第1页（共6页） 2025 年中考第二次模拟考试（盐城卷） 数 学 试 题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 3．作图必须用 2B 铅笔，并请加黑加粗。 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个有理数中，最小的数是（ ） A． 4− B． 1 2 − C．0 D． ( )20251− 2．2025 年 2 月，第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨市顺利举行，德强中学开展了以“冰雪同梦、超越自我” 为主题的徽章设计比赛，其中很多设计方案既体现了季节和运动特征，又体现了对称之美．以下 4 幅设计 方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． ( )32 62 6a a= B． ( )2 22 4a a− = − C． 8 4 2a a a÷ = D． 18 8 2− = 4．中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为 67500 吨，数 据 67500 用科学记数法表示为（ ） A． 36.75 10 B． 46.75 10× C． 567.5 10× D． 467.5 10× 5．做最好的自己！将这六个字写在如图的一个盒子的展开图上，然后将它折成正方体盒子，当上面的字 是“己”时，下面的字是（ ） A．做 B．最 C．好 D．己 第5题 第6题 数学试题 第2页（共6页） 6．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中 90C DBE∠ = ∠ = °， 45A∠ = °， 30E∠ = °．若 AB DE∥ ，则 CBD∠ 的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．若 22024 2023 2024a = − × ， 22025 4 2024b = − × ， 2024 2022c = × ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a b c< < B．a c b< < C．b c a< < D． c b a< < 8．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手 段”．现从某校2000名初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的锻炼时 长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为1小时 的学生人数占样本总人数的36%，则下列说法正确的是（ ） A．锻炼时长为1.5小时是这个样本的众数 B．该样本中学生平均每天锻炼时长为1小时 C．锻炼时长为1小时是这个样本的中位数 D．该校锻炼用时为2小时的学生少于200名 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若代数式 2025x − 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ． 10．化简 2 4 4 2 4 x x x − + − 的结果是 ． 11．如图，四边形 ABCD是菱形， 8AC = ， 6DB = ， DH AB⊥ 于点 H，则DH = ． 第11题 第12题 12．如图，以 ABC 的边BC 为直径的 O 分别交 AB 、 AC 于点D、E ，连接OD、OE ．若 62A∠ = °，则 DOE∠ = °． 13．如图，在 ABC 中， 45BAC∠ = °， 4AB AC= = ，以 AB 为直径作 O ，交边 AC 于点D，交边 BC 于 点 E ，则图中阴影部分的面积是 ． 数学试题 第3页（共6页） 第13题 第15题 14．明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两 个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若 3 人一组，每组 5 个杏，则多 10 个杏．若 4 人一组，每组 8 个杏，则多 2 个杏．有多少个牧童，多少个杏？ 则该问题中的牧童有 个． 15．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 88A∠ = °， 42C∠ = °， 50AB = ，则点 A 到BC 的距离为 （结果精确到 0.1）（参考数据：sin 40 0.64° ≈ ，cos 40 0.77° ≈ ， tan 40 0.84° ≈ ） 16．如图，点 D 是Rt ABC△ 的斜边 AC 上一点， 且 90ABC∠ = °， 30 2 2，∠ = ° =A BC ，以BD为斜边作 等腰Rt BDE△ ，使 E，C 在BD同侧， 连接CE，当CE取最小值时， BDE 的面积是 ． 第16题 三、解答题（本大题共有 11 题，共 102 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本题 6 分）计算： ( ) 1 2 13 3 2 2sin60 2 −  − − − − + °    ．． 18．（本题 6 分）已知 x， y 满足方程组 2 2 1 x y x y − = −  + = − ① ② ，求代数式 ( ) ( )( )2 2 2x y x y x y− − − + 的值． 19．（本题 8 分）先化简，再求值： 2 2 1 1 2 1 x x x x x − − − − + ，其中 3 1x = + ． 数学试题 第4页（共6页） 20．（本题 8 分）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗； B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． (1)小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填 “随机”或“不可能”或“必然”）？ (2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同， 且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表 的方法进行说明． 21．（本题 8 分）如图，在 ABCD 中，以点 A 为圆心， AM 的长为半径作弧，交 AB AD， 于点 M，N，分 别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长，交 BC 于点 E，在DA 上截取DF BE= ． (1)求证： AE CF= ； (2)四边形 AECF 能否为矩形？若能，请添加一个条件；若不能，请说明理由． 22．（本题 10 分）已知反比例函数 ( )0ky x x = > 的图象与正比例函数 ( )3 0y x x= ≥ 的图象交于点 ( )2,A a ， 点 B 是线段OA上（不与点 A 重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当 0x > 时，直接写出不等式 3 k x x ≥ 的解集； (3)如图，将点 A 绕点 B 顺时针旋转 90°得到点 E，当点 E 恰好落在 ( )0ky x x = > 的图象上时，求点 E 的坐标． 数学试题 第5页（共6页） 23．（本题 10 分）如图， AB 是 O 的直径，直线 l 与 O 相切于点 C，连接 AC ，OE BC⊥ 于 E，OE 的 延长线交直线 l 于点 D． (1)试判断 ABC∠ 和 EDC∠ 的大小关系，并说明理由； (2)若 O 的半径为 2， 1AC = ，求DC 的长． 24．（本题 10 分）如图，抛物线 2y x mx= + 与直线 y x b= − + 相交于点 ( )2,0A 和点 B． (1)求 m 和 b 的值； (2)求点 B 的坐标，并结合图象写出不等式 2x mx x b+ > − + 的解集； (3)点 M 是直线 AB 上的一个动点，将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N，若线段MN 与抛物线有两个公 共点，请你画图观察，直接写出点M 的横坐标 Mx 的取值范围． 25．（本题 10 分）（1）如图 1，在矩形 ABCD中，E 为 AD边上一点，连接 BE ，若BE BC= ，过C 作CF BE⊥ 交 BE 于点F ， ①求证： ABE FCB≌△ △ ； ②若 20ABCDS =矩形 时，则BE CF⋅ = ____． （2）如图 2，在菱形 ABCD中， 1cos 3 A = ，过C 作CE AB⊥ 交 AB 的延长线于点E ，过E 作 EF AD⊥ 交 AD 于点F ，若 24ABCDS =菱形 时，求EF BC⋅ 的值． （3）如图 3，在平行四边形 ABCD中， 60A∠ = °， 6AB = ， 5AD = ，点E 在CD上，且 2CE = ，点 F 为BC 上一点，连接EF ，过E 作EG EF⊥ 交平行四边形 ABCD的边于点G ，若 7 3EF EG⋅ = 时，请直接写出 AG 的长． 数学试题 第6页（共6页） 26．（本题 12 分）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1 秒钟充电 1 公里”．如图 1，是一个新能源超级 充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图 2 是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB 是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似 地看作抛物线的一部分．以点 O 为原点，表示地面的直线为 x 轴，OA所在的直线为 y 轴，建立如图 2 所 示的平面直角坐标系．已知 2.5mOA = ，点 B 为 AB 所在抛物线的最高点，其坐标为 ( )4,3.5 ． （1）求 AB 所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图 2，点 C 是 AB 上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm 的干粉灭火器装置，点 D为干粉喷射 点．已知干粉喷射点 D 距离地面3m 时，对地面的保护半径为2m．对空间的保护截面可近似地看作顶点为 D 的抛物线与 x 轴组成的封闭区域．安装点 C 可根据需要在 AB 所在抛物线上滑动，从 D 点喷出的干粉形 成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点 D 距地面的高度恰好为3m 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点 ( )1,1 ？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为 ( )0,1.09 ，请直接写出点 D 的横坐标． 27．（本题 14 分）小珺对下面的三角形进行探究： 如图 1 所示， ABC 中， 45ABC∠ = °， A∠ 外角的正切值为 2，取BC 中点 D与线段CA上一点 E，满足 EBA C  ． (1)小珺说：“ EBD∠ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想； (2)探究完 EBD∠ 的正切值后，小珺神奇地发现：tan sin 30EBD∠ = °．小珺进一步提出问题：如何利用 ABC 与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与60°角的正弦值相等呢？请在图 2 中用两种方法作 出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明．