培优专题01 三角函数、三角恒等变换与解三角形（6大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

培优专题01 三角函数与解三角形 题型1 三角恒等变换与三角函数 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（24-25高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值 2．（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知 (1)化简； (2)若，求的值： (3)若为第三象限角，且，求的值. 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·天津宁河·一模）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)设． （i）求边的值； （ii）求 2．（2024·天津和平·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角B的大小； (2)求b的值； (3)求的值． 题型三：利用正弦定理求三角形外接圆 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·陕西西安·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 2．（2024·河南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)记的面积为，其外接圆的面积为，求. 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数: 步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 补充技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1．（22-23天津南开·）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 2．（22-23天津南开）已知的内角的对边分别是，，，且，． (1)求角A； (2)求周长的取值范围． 题型五：解三角形中面积最值问题 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1．（21-22天津南开）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 2．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，，求b； (2)若，求的面积S的最大值. 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 . 1.利用高线的性质: . 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 . 2.利用中线的性质: . ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 . 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 . 3.利用角平分线的性质: . ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 . 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC . 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. . 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌‌ 1．（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 2．（2024·全国·模拟预测）在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题01 三角函数与解三角形 题型1 三角恒等变换与三角函数 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1．（24-25高一上·天津·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【详解】（1） 的最小正周期为π； 令，则， 的单增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来得到图象， 得到的图象，， 当则， 当即时，单调递增 当即时，单调递减， 又， 在的值域为. 2．（23-24高一上·天津东丽·阶段练习）已知 (1)化简； (2)若，求的值： (3)若为第三象限角，且，求的值. 【详解】（1） . （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 题型二：正余弦定理解三角形的边与角 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 1．（2025·天津宁河·一模）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)设． （i）求边的值； （ii）求 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 所以， 即， 所以， 因为，，所以， 又，所以. （2）（i）由余弦定理，得，即， 即，解得. （ii）由正弦定理得， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以. 2．（2024·天津和平·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角B的大小； (2)求b的值； (3)求的值． 【详解】（1）因为，由正弦定理有， 因为,所以，所以，即， 由于,所以，故，解得； （2）因为， 所以由余弦定理，即，解得； （3）由正弦定理有，有， 因为，所以为锐角，故， 又， 则， ． 题型三：利用正弦定理求三角形外接圆 正弦定理与外接圆半径的关系可通过构造三角形外接圆并利用圆周角定理进行推导‌ 其核心推导过程为：在任意三角形△ABC的外接圆中，作直径AD并连接DB，通过圆周角定理和三角函数关系，最终得出a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。‌ ‌构造辅助图形‌：以△ABC的外接圆圆心O为中心，作直径AD并连接DB。此时△ABD为直角三角形（直径所对的圆周角为直角），且∠D与∠C对应同一段弧AB，因此∠D = ∠C；‌ ‌建立三角函数关系‌：在Rt△ABD中，sinD = AB/AD = c/(2R)，而∠D = ∠C，故sinC = c/(2R)，整理得c/sinC = 2R； ‌推广至各边角‌：同理可证a/sinA = 2R、b/sinB = 2R，从而得到正弦定理的一般形式a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。‌ 1．（2025·陕西西安·二模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求外接圆的半径； (3)若，求的面积. 【详解】（1）因为， 可设，则， 所以； （2）由（1）知，，，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，所以, 所以外接圆的半径为； （3）因为，由（1）知，，则， 所以. 2．（2024·河南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)记的面积为，其外接圆的面积为，求. 【详解】（1）由余弦定理可得， 即，解得， 由余弦定理可得. （2）由正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 因为，所以， 所以，， 所以. 题型四：解三角形中边长或周长最值范围 1.余弦定理结合不等式:首先，利用余弦定理构造方程，然后通过基本不等式(如均值不等式)求解。例如，余弦定理公式为 C=a+b-2abcos C。结合三角形三边关系 a+b>c,b+c> a，a+c> b，可以进一步推导周长的取值范围。 2.正弦定理结合三角函数: 步骤:利用正弦定理将边长转化为角度的正弦值，然后利用正弦函数的值域求解。正弦定理公式为=。=通过将边长表示为角度的正弦函数，可以利用正弦函数的值域来求解周长的取值范围。 补充技巧: 均值不等式:在求解过程中，均值不等式 a+b≥2ab是常用的不等式工具，可以帮助简化计算和推导。 极限思想:在处理边界情况时，极限思想可以帮助理解周长取值的极限情况，例如当一边无限接近0时，周长可以无限接近但无法达到某个特定值‌ 1．（22-23天津南开·）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知， （ⅰ）若的面积为，求的周长； （ⅱ）求周长的取值范围． 【详解】（1）由题意及正弦定理可得， 整理可得：， 即， 在三角形中，可得， 即，解得. （2）（ⅰ），可得， 由余弦定理可得， 又，则，解得， 所以三角形的周长为. （ⅱ）, 又，则，当且仅当时取等号， 解得，而，所以， 所以三角形的周长为. 2．（22-23天津南开）已知的内角的对边分别是，，，且，． (1)求角A； (2)求周长的取值范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理，可得， 则周长 ， 因为，则，可得， 所以周长 即周长的取值范围为. 题型五：解三角形中面积最值问题 方法一:余弦定理+基本不等式a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取=) 方法二:正弦定理→边化角→化同角的三角函数→辅助角公式‌ 1．（21-22天津南开）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 【详解】（1）解：由及正弦定理得 所以 ∴，∴ ∵，∴ （2）解：设由得 . 解得，即角平分线的长度为 （3）解：设外接圆半径为R，由 ，即，即，∴ 所以的面积 ∵，∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴， ∴ 2．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)若，，求b； (2)若，求的面积S的最大值. 【详解】（1）∵，由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，所以B为锐角，所以， ，所以， 故， 又，所以. （2）因为， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以. 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时取等号， 所以S的最大值是. 题型六：三角形的角平分线、中线、垂线 . 1.利用高线的性质: . 在直角三角形中，高线就是直角边，可以直接利用勾股定理计算边长。在非直角三角形中，高线常用于计算面积和利用直角三角形的性质进行计算。 . 2.利用中线的性质: . ·中线将三角形分为面积相等的两个小三角形，常用于通过已知条件求出未知边的长度。 . 三条中线交于一点(重心)，可以利用重心性质简化计算。 . 3.利用角平分线的性质: . ·角平分线上的点到角的两边的距离相等，常用于证明两线段相等或构造全等三角形。在等腰三角形中，角平分线、中线和高线重合，可以利用这一性质简化计算。 . 1.利用高线计算面积:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过高线计算面积:S=absinC . 2.利用中线求边长:在△ABC中，若已知两边长和夹角，可以通过中线求第三边长:c2=a2+b2-2abcos C. . 3.利用角平分线证明全等:在△ABC和ADEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，且AB = DE则可以通过角平分线的性质证明△ABC≌ADEF‌‌ 1．（2024·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 【详解】（1）方法一：由余弦定理得 ， 所以（当且仅当时取等号）． 又因为， 所以． 故的最大值为. 方法二：由知，点A在的优弧上运动（如图所示）． 显然，当点A在的中垂线上时，即点位于点处时，边上的高最大． 此时△为等腰三角形， 又，故△为正三角形， 根据得．故的最大值为. （2）方法一：因为， 所以， 所以， 即． 由正弦定理得， 结合（1）可得，所以， 所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为是边上的中线，所以， 所以． 方法二：同方法一可得． 又因为，所以△是以角为直角的直角三角形． 由于平分是边的中线，且 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 方法三：由得， 则． 又因为，所以． 由是角平分线知， 在中易得， 又因为，所以， 所以． 2．（2024·全国·模拟预测）在中，已知． (1)求． (2)若，的平分线交于点，求． 【详解】（1）解：因为， 又， 所以．又，所以，所以． 因为，所以． （2）解：设，则． 由余弦定理，得，故． 由角平分线的性质及三角形的面积公式，知，故． 在中，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以，即． 又，所以为锐角，故． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$