培优专题03 数列（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

培优专题03 数列 题型1：运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 此类题型考察等差和等比数列的通项公式和前n项和的公式比较多： 等差数列、等比数列的基本公式（） （1）等差数列的通项公式： （2）等差数列的通项公式： （3）等差数列的求和公式： 等比数列求和公式： 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 2.（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 题型二：运用an与Sn的关系求数列通项公式、求前n项和 1.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． 2.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用＝求出. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　 1.（24-25高三上·天津滨海阶段练习）已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； (3)设，若，求的取值范围． 题型三：运用累加法、累乘法、构造法求数列通项公式、求前n项和 1.形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 2.形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 3.常见几种构造数列的形式： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an＋c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列{} 1．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中. (1)若，，求； (2)若，，求数列的前n项和； (3)若，证明：. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 3.（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 题型四：裂项相消求和、错位相减求和 1.常见的几种裂项相消的形式 2．如果数列{}是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，常采用错位相减法． 3．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“－q”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式＝n.　 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知是公比为的等比数列．对于给定的（，，⋯），设是首项为，公差为的等差数列，记的第项为．若，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和 (3)若，求使得成立的最大整数的值．（其中表示不超过的最大整数） 2.（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 3．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 题型五：分组（并项）法求和（含分奇偶） 1．若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 2．若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和． 1．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 2．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且， (1)求数列和的通项公式； (2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围； (3)设数列满足，的前n项和为，证明：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题03 数列 题型1：运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 此类题型考察等差和等比数列的通项公式和前n项和的公式比较多： 等差数列、等比数列的基本公式（） （1）等差数列的通项公式： （2）等差数列的通项公式： （3）等差数列的求和公式： 等比数列求和公式： 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 【解析】（1）设的公差为，的公比为. 由；；， 可得，解得或（舍去）， 故 . （2）等差数列前项和为 又 所以化简得 所以是以7为首项，2为公比的等比数列. （3）令 其前项和两式相减得： 2.（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【解析】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 题型二：运用an与Sn的关系求数列通项公式、求前n项和 1.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． 2.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用＝求出. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　 1.（24-25高三上·天津滨海阶段练习）已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）因为，所以， 所以，又，故数列是首项为3，公比为3的等比数列． 所以，即， 由可得当时，， 故，所以 当时，也符合要求， 故． （2）由题可得， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）设为数列的前项和，已知是公比为2的等比数列． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式以及； (3)设，若，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，数列是首项为1，公比为2的等比数列，， 则，，两式相减得， 即，因此，而， 所以是等比数列. （2）由（1）知，. （3）由（2）知，，当时，，当时，， ，若，则， 若，，， 因此数列的最大项为，由，得， 即，整理得，则，解得， 所以的取值范围是. 题型三：运用累加法、累乘法、构造法求数列通项公式、求前n项和 1.形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 2.形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 3.常见几种构造数列的形式： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an＋c} an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列{} 1．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中. (1)若，，求； (2)若，，求数列的前n项和； (3)若，证明：. 【解析】（1）由题意，当时，，因为， 所以，当时，， 两式相减，可得. 所以. （2）当时，， 因为，所以，所以， 设的前项和为，则， 两式相减得， 所以. （3）根据题意有， ， 所以 ， 则， 因为，所以： 令，则， 所以，所以，所以. 2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，.记的前项和为，且是以为首项，为公比的等比数列. (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)求的通项公式，并证明：. 【解析】（1）由是以为首项，为公比的等比数列，得， 则，而， 所以. （2）数列中，，， 当时，， ，则， 当为奇数，时，，满足上式，因此当为奇数时，； 当时，， ，则， 当为偶数，时，，满足上式，因此当为偶数时，， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 当时，， 而满足上式，因此， ， 所以. 3.（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【解析】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； （2）证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； （3）证明：由（2）得， 故 ， 所以. 题型四：裂项相消求和、错位相减求和 1. 常见的几种裂项相消的形式 2．如果数列{}是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，常采用错位相减法． 3．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“－q”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式＝n.　 1．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知是公比为的等比数列．对于给定的（，，⋯），设是首项为，公差为的等差数列，记的第项为．若，且． (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和 (3)若，求使得成立的最大整数的值．（其中表示不超过的最大整数） 【解析】（1）依题意可得， ， ， 由，且，得，解得，于是， 所以的通项公式是； （2）由题意可得， 所以， 所以 可得， 两式相减得， 令， 则有， 两式相减得 ， 所以， 所以， 所以； （3）根据题意可得， 所以 。 下证当时，， ， 因为，当时，， 所以 所以当时，， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以，满足不等式的最大正整数. 2.（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. （2）由 (1) 可知，，则， ， . （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ，令 , . 3．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 【解析】（1）由，得，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，设等差数列的公差为，则，得， 于是，， ，， ， 所以. （3）当n为奇数时，， ； 当n为偶数时，，， 设，则， 两式相减得， 因此，即， 所以. 题型五：分组（并项）法求和（含分奇偶） 1．若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． 2．若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和． 1．（2025·天津武清·一模）已知各项均为正数的数列 ，其前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式以及 ； (2)若 ，求 【解析】（1）， 则，因.则两式相减得：. 又各项均为正数，则. 又时，， 则是以1为首项，公差为2的等差数列， 则，； （2）由（1）时，， 则. 则， 当，设， 注意到 ，其中为小于的最大整数. 则当，其中时， . 则当时， . 又注意到时，. 则. 2．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ，． 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且， (1)求数列和的通项公式； (2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围； (3)设数列满足，的前n项和为，证明：． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以； 又因为， 若，可得，解得； 若，可得， 两式相减得，即； 可知数列是以首项，公比的等比数列，所以. （2）由（1）可知：， 若，即，可得， 设，原题意等价于关于n的不等式恰有4个不同的解， 令， 当时，;当时，, 可得，且，则， 所以实数的取值范围为. （3）由题意可知：，则， 则， 因为，则，即，可得， 则； 又因为，则，可得， 则； 综上所述：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$