培优专题04 平面解析几何（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

培优专题04 平面解析几何 题型1 圆锥曲线中的参数范围与最值问题 圆锥曲线的取范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1、（23-24高二上·天津·阶段练习）设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限.若，求的值. 2．（24-25高二上·天津南开·期末）已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 题型二：圆锥曲线中的定值定点问题 圆锥曲线的定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 圆锥曲线的定值问题 （1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 2．（24-25高三上·天津河北·期末）已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤： 1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。 1．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 2．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 题型四：圆锥曲线中的向量问题 1、 通过向量关系转化为直线平行、垂直关系，转化为斜率或者韦达定理进行求解。 2、 依据向量关系得出线段比值关系或长度之间的关系进行求解。 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆（）的右顶点为A，下顶点为B，椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），点P满足（O为坐标原点），直线与以P为圆心的圆相切于点Q，且Q为中点，求直线斜率. 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）设椭圆：的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，当时，求的值.（为坐标原点） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题04 平面解析几何 题型1 圆锥曲线中的参数范围与最值问题 圆锥曲线的取范围问题 1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。 1、（23-24高二上·天津·阶段练习）设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限.若，求的值. 【解析】（1）由题意知椭圆方程为椭圆，设焦距为2c， 则，则， 由于，由得， 解得， 故椭圆方程为； （2）设，则，    由于，故直线AB的方程为， 即， 联立，解得，则； 联立，解得，则， 由于，故，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 即. 2．（24-25高二上·天津南开·期末）已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 【解析】（1）由直线将的面积分为两部分， 得，所以， 从而.① 由为椭圆上的点，得，② 由①②解得， 故椭圆的方程为； （2）设， 由，得 由，得，且， ， 由为的中点，且，得， 即，化简得， 代入（1）中有，，可得， 令， 有. 由函数单调递增， 故当时，为的最小值. 题型二：圆锥曲线中的定值定点问题 圆锥曲线的定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 圆锥曲线的定值问题 （1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两个不同点，点为椭圆上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点. 【解析】（1）由题意得圆方程为：圆心为， 即，∴. 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，∴，解得：， ，则. 椭圆方程为. （2）， 设， 则直线的方程为. 令，得点的横坐标.所以点 同理，点. 由得. 则. 所以 又，所以. 解得，此时， 所以直线经过定点. 2．（24-25高三上·天津河北·期末）已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【解析】（1）根据题意，，代入椭圆方程得， 得，所以，再根据，可得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）据题意，直线的斜率存在，且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，整理可得，所以或. 所以点的坐标为， 联立和， 整理可得，所以或. 所以点的坐标为. 显然，是圆的直径，故，所以直线的方程为. 用代替，得点的坐标为，即. 直线的斜率， 直线的斜率. 所以，为定值，得证. 题型三：圆锥曲线中的定直线问题 解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤： 1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。 1．（2025·天津·一模）椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【解析】（1）由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵  ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由  得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 2．（2025·天津·一模）已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意；    当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意；    当直线的斜率存在且不为时，设：，    由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 题型四：圆锥曲线中的向量问题 1、 通过向量关系转化为直线平行、垂直关系，转化为斜率或者韦达定理进行求解。 2、 依据向量关系得出线段比值关系或长度之间的关系进行求解。 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆（）的右顶点为A，下顶点为B，椭圆的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），点P满足（O为坐标原点），直线与以P为圆心的圆相切于点Q，且Q为中点，求直线斜率. 【解析】（1）由题意得， 又，且 解得，，， 所以椭圆的方程为； （2）因为椭圆的右顶点为A，下顶点为B，所以，， 因为点M在椭圆上（M异于椭圆的顶点），所以直线的斜率存在且不为零，如下图所示： 设直线为， 联立，整理得， 因为，所以， 因为Q为中点，所以， 所以，所以， 因为，，所以. 因为直线与以P为圆心的圆相切于点Q， 所以，即， 整理得，解得或， 所以直线斜率为2或. 2．（24-25高二上·天津·阶段练习）设椭圆：的离心率，过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，当时，求的值.（为坐标原点） 【解析】（1）由题意可知，，解得：，，， 所以椭圆的方程为； （2）联立，得， 设，， ，， 因为，即， 所以， ，，得. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$