培优专题05 函数导数（5大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

培优专题05 函数导数 题型1 利用导数研究函数的单调性 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1．（2019高三·全国·专题练习）已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 2．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 题型2 利用导数研究函数的极值 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．（2024·海南·模拟预测）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； (2)若，求函数的极值. 2．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数． (1)若，求在处的切线方程． (2)当时，证明：有两个不同的极值点． (3)讨论的单调性． 题型3 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的最大值为1，求的值； (3)在（2）的条件下证明 2．（24-25高三上·天津西青·期中）设函数在处取得极值. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值. 题型4 利用导数求恒成立和能成立问题 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）已知函数其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及极值； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 题型5 利用导数研究函数的零点 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 1．（22-23高二下·山东潍坊·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项; (3)证明: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题05 函数导数 题型1 利用导数研究函数的单调性 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1．（2019高三·全国·专题练习）已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【详解】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 2．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得 题型2 利用导数研究函数的极值 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．（2024·海南·模拟预测）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； (2)若，求函数的极值. 【详解】（1）函数，求导得，则， 依题意，，所以. （2）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 2．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知函数． (1)若，求在处的切线方程． (2)当时，证明：有两个不同的极值点． (3)讨论的单调性． 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为， 整理得. （2）由题设，则， 由函数定义域为，则当时，当或时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 显然有两个不同的极值点，分别为和，得证. （3）由题设，且， 当时，，故当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得，由得或， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，即在上单调递减； 当时，由得，由得或， 所以在上单调递减，在上单调递增. 题型3 利用导数研究函数的最值 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的最大值为1，求的值； (3)在（2）的条件下证明 【详解】（1）由题意， ，切线方程为； （2）， 故当 时，，当 时，， 所以函数 在 上单调递增，函数在上单调递减; 所以在处取到最大值，即，所以 . （3）欲证，即证明， 令 ， 则 ，令，则， 所以函数为增函数，又， 所以存在使得，所以， 由得，，设 ，则 ， 所以为增函数，所以，， 所以， 即，即 . 2．（24-25高三上·天津西青·期中）设函数在处取得极值. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最值. 【详解】（1）由题设，且，， 所以，故， 此时，故在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极值，满足题设， 综上，. （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 所以，在区间中，在上递增，在上递减， 由，，，， 综上，函数的最大值为3，最小值为. 题型4 利用导数求恒成立和能成立问题 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 2．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）已知函数其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及极值； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 所以的递增区间为，递减区间为，在处取得极大值，无极小值. （3）由（2）知，当时，函数取得最大值， 由对任意，不等式恒成立，得，即，解得或， 所以的取值范围为 题型5 利用导数研究函数的零点 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 1．（22-23高二下·山东潍坊·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项; (3)证明: 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； （2）因为函数有两个零点,而单调函数至多只有一个零点，根据（1）可知. ， 所以曲线在和处的切线分别是： . 联立两条切线解得：. 要证小于和的等差中项，即证，整理得： 由题意得 即证   令，即证. 令. 所以在单调递减，所以 所以得证，故小于和的等差中项得证. （3）由（1）知当时，所以，即  . 即当时，，将不等式累加后，得到： ， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围. 【详解】（1）因为 则，即，所以，经检验符合题意 （2），则. 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图像有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点， 因此，实数的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$