重难点04 相似三角形模型及其综合题综合训练（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

重难点04 相似三角形模型 中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为五类： 一、“A”字型 二、“8”字型 3、 子母型 4、 “K”字型 5、 旋转型 相似三角形在中考中一般不单独命题考查，而是与其他知识结合如与四边形、圆结合求边或者证明角相等，与二次函数进行结合考查动点问题。因此，需要学生自己在图中发现相似三角形并且证明，掌握常见的相似模型便于学生更快地发现相似。 考向一：“A”字型 【题型1】相似三角形——“A”字型 题目中两个三角形有公共角时可以考虑该模型 1．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为 ． 3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    9．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ． 10．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 考向二：“8”字型 【题型2】相似三角形——“8”字型 题目中两个三角形有对顶角时可以考虑该模型。 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 7．（2025·山东聊城·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧． 【探究与证明】 如图1，若点M与点A重合，与相交于点P （1）若，求的长； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 考向三：子母型 【题型3】相似三角形——子母型 题目中出现大三角形中有小三角形并且两个三角形有公共边时可以考虑该模型。 1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 4．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 5．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 6．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    考向四：“K”字型 【题型4】相似三角形——“K”字型 题目中出现一条直线上有三个相等的角时可以考虑该模型。 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 2．（2024山东一模）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 3．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 考向五：旋转型 【题型5】相似三角形——旋转型 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 3．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求AD的长． 4．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 5．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． （建议用时：90分钟） 1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 4．（2025·山东济南·一模）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是 ． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 8．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    9．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 10．（2023·山东泰安·中考真题）如图，、是两个等腰直角三角形，．    (1)当时，求； (2)求证：； (3)求证：． 11．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 12．（2025·山东济南·模拟预测）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1），在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们完善证明过程． 证明：∵四边形是矩形，则， ∴________°， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（________）， ∴， ∴， ∴_____________（请写比例式）， ∵， ∴________． 【深入探究】同学们分组进行探究，明志组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． 【拓展提升】致远组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，请你帮助致远组求出的长． 13．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)求证：； (3)已知，求的值． 14．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 15．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 16．（2024山东一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 相似三角形模型 中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为五类： 一、“A”字型 二、“8”字型 3、 子母型 4、 “K”字型 5、 旋转型 相似三角形在中考中一般不单独命题考查，而是与其他知识结合如与四边形、圆结合求边或者证明角相等，与二次函数进行结合考查动点问题。因此，需要学生自己在图中发现相似三角形并且证明，掌握常见的相似模型便于学生更快地发现相似。 考向一：“A”字型 【题型1】相似三角形——“A”字型 题目中两个三角形有公共角时可以考虑该模型 1．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【分析】由，，可得再建立方程即可． 【详解】解： ，， ， 解得：经检验符合题意 故选C 2．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，过B点的切线交的延长线于点D，E为弦的中点，，若点P为直径上的一个动点，连接，若与相似，则的长为 ． 【分析】连接，由圆周角定理和切线的性质证明，根据相似三角形的性质可求，则，由勾股定理可求直径，当P与O重合时，可证，即可求出，当时，可证，再由相似三角形的性质可求． 【详解】解：连接， 为的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， E为弦的中点， ， ， ， ， 当P与O重合时， E为弦的中点， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，③错误； 当时，， ∵， ∴, ∴，④正确 ∴正确的有①②④，共3个． 故选：C． 4．（2023·山东聊城·中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【详解】根据题意，补图如下：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴侧面展开图的面积为， 故选C． 5．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，    ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14． 6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得即是的高，再由中位线的性质求出，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B ． 7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别为对角线的三等分点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．    【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 9．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ． 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 10．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 考向二：“8”字型 【题型2】相似三角形——“8”字型 题目中两个三角形有对顶角时可以考虑该模型。 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 3．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 4．（2023·山东东营·中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∴ 由作图可得是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 5．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论； （2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径． 【详解】（1）证明：连接，    由题意可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：过点作，      ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 可得：， ∴的半径为． 6．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可； 【详解】解：由题易得：, ∴=相似三角形的对应高之比， 又， ∴， 故选：D 7．（2025·山东聊城·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，，取的中点D，以点D为直角顶点作等腰直角三角形，M在N的左侧． 【探究与证明】 如图1，若点M与点A重合，与相交于点P （1）若，求的长； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点O为的中点，点D与点O重合，连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． 请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解； （2）作交延长线于点，则，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，由相似三角形的性质即可得证； （3）作于，等腰直角三角形的性质可得，，设，则，由旋转的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，求出，证明四边形为矩形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，点M与点A重合， ∴，， ∴； （2）证明：如图，作交延长线于点，则， ， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，作于， ， ∵为等腰直角三角形，点O为的中点，点D与点O重合， ∴，， 设，则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 考向三：子母型 【题型3】相似三角形——子母型 题目中出现大三角形中有小三角形并且两个三角形有公共边时可以考虑该模型。 1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【分析】连接, 根据等腰三角形的性质得到, 根据等边三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论. 【详解】连接, ∵, ∴ ∴, ∵, ∴是等边三角形,    ∴ , ∵，, ∴, ， ∴, ∵, ， ， 即的半径为 ， 故选: . 3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出； （3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示： 四边形为矩形， ， ， ， ， 又平分， ， ， 又与互余， 与互余， ； （2）解：，与相似． 理由如下： ，， ， 又，   ， ，， ； （3）解：， ， ， ， 在矩形中对角线相互平分，图中， ①， ， ， ， 在矩形中， ②， 由①②，得（负值舍去）， ． 4．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 5．（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 6．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 考向四：“K”字型 【题型4】相似三角形——“K”字型 题目中出现一条直线上有三个相等的角时可以考虑该模型。 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 2．（2024山东一模）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 3．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 考向五：旋转型 【题型5】相似三角形——旋转型 1．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．    (1)求证：是切线； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 【分析】（1）连接OC，证明，即可得到结论； （2）连接AC，证明，从而可得，再代入求值即可； （2）连接，证明，从而可得，，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，        ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是切线； （2）连接，        ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，      ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 3．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求AD的长． 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线； （2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD． 【详解】（1）证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴ADOC， ∵AD⊥DC， ∴CO⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE， ∵OE＝6， ∴AC＝12， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°＝∠ADC， 又∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴，即， ∴AD． 4．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 迁移应用：， 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 拓展延伸：， 证明：在中，， 在中，， ， 由上一问题可知，， ， ， ． 5．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． （建议用时：90分钟） 1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵， ∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选C． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 4．（2025·山东济南·一模）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵的半径为3，则，， 在中， ，，， ， ，， ， ，即， 解得． 5．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2022·山东济宁·中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是 ． 【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵∠ACB＝90° ∴是的直径， ， tan∠CBD＝， ， 在中， ， ， ， ， 设 则， AC＝BC， ， ， 中，， ， ， , 又， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 7．（2023·山东烟台·中考真题）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长． 【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立； （2）取的中点H，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵等腰和等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：取的中点H，连接，    ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（负值已舍）， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴． 8．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 10．（2023·山东泰安·中考真题）如图，、是两个等腰直角三角形，．    (1)当时，求； (2)求证：； (3)求证：． 【分析】（1）先证明，再证明是线段的垂直平分线，即有，即是等边三角形，问题得解； （2）根据垂直可得，又根据，可得，即可证明； （3）过H点作于点K，先表示出，根据是线段的垂直平分线，可得，即可得，进而可得，则有，结合，，可得，再证明，即可证明． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、是两个等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴等腰直角中，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴； （2）在（1）中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过H点作于点K，如图，    ∵，， ∴， ∴，即是等腰， ∴， ∵，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在（1）中已证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． 12．（2025·山东济南·模拟预测）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1），在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们完善证明过程． 证明：∵四边形是矩形，则， ∴________°， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（________）， ∴， ∴， ∴_____________（请写比例式）， ∵， ∴________． 【深入探究】同学们分组进行探究，明志组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． 【拓展提升】致远组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，请你帮助致远组求出的长． 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由①可得，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点G在边上时；②当G点在边上时；③当G点在边上时． 【解答】（1）证明：∵四边形是矩形，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90；；；20； （2）解：∵在菱形中，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ ∴； （3）①当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴2， ∴， 在中，， 则 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或， ②当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点H， 在中，， ∴，， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ， ∴， 即 ， 解得：，（舍去）， 即 ； ③当G点在边上时，如图所示， 过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴G点不可能在边上， ④当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或 ． 13．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）连接，由得，根据得到，结合题意可推出，由是的直径，得，即可证明； （2）根据圆周角定理得，由角平分线的定义得，推出，即可证明； （3）连接，由得，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可推出，进而求出，由得到，根据勾股定理求出，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， . 是的直径， ， ， ， ， 与相切； （2）证明：与所对的弧相同， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：， ， ，，， ， ， 在中，， 连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， . 14．（2025·山东济南·一模）如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求线段的长． 【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论； （2）证明，求出，证明，求出． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 16．（2024山东一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 48 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $$