猜押01 北京高考数学1～6题（选择题）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（北京专用）

猜押01 北京高考数学1~6题（选择题） 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 集合的运算 2022/1 全集与集合的补集运算 结合不等式解集，数轴或韦恩图应用，侧重基础运算。 低 2023/1 简单集合的交集运算 直接通过列举法或不等式解集求交集。 低 2024/1 区间表示的集合并集运算 结合数轴求两个区间的并集，基础运算。 低 2025年预测：继续考查交集 / 并集 / 补集 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 复数 2022/2 复数的模长计算 给定方程求复数模，结合代数运算。 低 2023/2 共轭复数的几何意义 根据复平面内点的坐标求共轭复数，直接考查定义。 低 2024/2 复数的代数运算 涉及复数的乘法或除法，基础运算。 低 2025年预测：复数的运算或几何意义 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 平面向量 2023/3 向量的模长与数量积 结合平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示、求模长 低 2024/5 向量模长与常用逻辑用语 判断 “模相等” 与 “向量共线” 的逻辑关系，涉及充要条件。 中 2025年预测：向量的运算或应用 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 二项式定理 2023/5 展开式中的系数 利用通项公式求特定项系数，基础计算。 低 2024/4 展开式中的系数 利用通项公式求特定项系数，基础计算。 低 2025年预测：特定项系数或常数项 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 解析几何 2022/3 （直线与圆） 直线作为圆的对称轴求参数 利用圆心在直线上的条件求参数，几何性质应用。 低 2023/6 （抛物线） 焦点与点到直线距离 结合抛物线定义和几何性质，代数运算求解。 低 2024/3 （直线与圆） 圆心到直线的距离 直接公式应用，基础计算。 低 2025年预测：以直线与圆及圆锥曲线为载体的基础题 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 函数基础 2022/4 函数的性质 指数幂的化简、求值，指数函数的判定与求值 低 2023/4 函数单调性判断 判断指数型复合函数的单调性 对数型复合函数的单调性，根据解析式直接判断函数的单调性 低 2025年预测：函数的基本性质及运算 1、 【集合真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2、 【2025年集合押题预测】 1．（2025·北京平谷·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京朝阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·模拟预测）已知，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 3、 【复数真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 4、 【2025年复数押题预测】 1．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 5．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（2025·北京丰台·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． 7．（2025·北京·模拟预测）已知复数，则在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 9．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·北京东城·期末）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5、 【平面向量真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6、 【2025年平面向量押题预测】 1．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知向量 若，则（    ） A． B．1 C． D．4 2．（2024·北京门头沟·一模）在中，，， 且， 则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 7．（2025·北京顺义·一模）已知平面向量，满足，，，则（    ） A．6 B．3 C． D． 8．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 9．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．8 12．（24-25高三上·北京东城·期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·北京·模拟预测）如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（   ）    A．2 B．-2 C． D．-1 15．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 17．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 18．（2025·北京顺义·一模）已知,点M满足，则的可能取值是（    ） A．4 B． C．1 D． 19．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 20．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7、 【二项式定理真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 8、 【2025年二项式定理押题预测】 1．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）的展开式中，常数项等于（   ）   A．1 B．15 C． D．1 4．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在的展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 6．（2024·北京·三模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C．16 D．144 7．（2024·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 8．（2025·北京·模拟预测）若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 9．（2024·北京通州·三模）若，则（    ） A．80 B． C．40 D．81 10．（24-25高三下·北京·阶段练习）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 9、 【解析几何真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 10、 【2025年解析几何押题预测】 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京石景山·一模）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 3．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 7．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·北京门头沟·一模）已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（   ） A．0 B． C．1 D． 9．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·北京丰台·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 11．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 15．（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 16．（2025·北京延庆·一模）已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，原点为O，若双曲线上存在两个点A和B，使得四边形为正方形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 20．（2025·北京石景山·一模）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11、 【函数基础真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 12、 【2025年函数基础押题预测】 1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·三模）下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·上海·期末）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 7．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·北京石景山·一模）已知x，，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·北京顺义·期末）“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 16．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上·北京西城·期中）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（   ） （参考数据：，） A．280 B．300 C．360 D．640 19．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（    ） A． B． C． D． 20．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押01 北京高考数学1~6题（选择题） 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 集合的运算 2022/1 全集与集合的补集运算 结合不等式解集，数轴或韦恩图应用，侧重基础运算。 低 2023/1 简单集合的交集运算 直接通过列举法或不等式解集求交集。 低 2024/1 区间表示的集合并集运算 结合数轴求两个区间的并集，基础运算。 低 2025年预测：继续考查交集 / 并集 / 补集 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 复数 2022/2 复数的模长计算 给定方程求复数模，结合代数运算。 低 2023/2 共轭复数的几何意义 根据复平面内点的坐标求共轭复数，直接考查定义。 低 2024/2 复数的代数运算 涉及复数的乘法或除法，基础运算。 低 2025年预测：复数的运算或几何意义 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 平面向量 2023/3 向量的模长与数量积 结合平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示、求模长 低 2024/5 向量模长与常用逻辑用语 判断 “模相等” 与 “向量共线” 的逻辑关系，涉及充要条件。 中 2025年预测：向量的运算或应用 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 二项式定理 2023/5 展开式中的系数 利用通项公式求特定项系数，基础计算。 低 2024/4 展开式中的系数 利用通项公式求特定项系数，基础计算。 低 2025年预测：特定项系数或常数项 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 解析几何 2022/3 （直线与圆） 直线作为圆的对称轴求参数 利用圆心在直线上的条件求参数，几何性质应用。 低 2023/6 （抛物线） 焦点与点到直线距离 结合抛物线定义和几何性质，代数运算求解。 低 2024/3 （直线与圆） 圆心到直线的距离 直接公式应用，基础计算。 低 2025年预测：以直线与圆及圆锥曲线为载体的基础题 考点 3年考题、题号 考查内容 考情分析 难度 函数基础 2022/4 函数的性质 指数幂的化简、求值，指数函数的判定与求值 低 2023/4 函数单调性判断 判断指数型复合函数的单调性 对数型复合函数的单调性，根据解析式直接判断函数的单调性 低 2025年预测：函数的基本性质及运算 1、 【集合真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 3．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2、 【2025年集合押题预测】 1．（2025·北京平谷·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求. 【详解】， 故选：D 2．（2025·北京朝阳·一模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合A，然后根据交集运算求解即可. 【详解】， 所以， 故选：A. 3．（2025·北京门头沟·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，根据集合的运算即可得解. 【详解】由可得，又， 所以，即为. 故选：D. 4．（2025·北京·模拟预测）已知，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先利用对数函数的性质确定集合，在根据集合的运算确定即可. 【详解】因为，即，解得， 所以，又因为， 所以，所以的元素个数为. 故选：D 5．（2025·北京顺义·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合，再根据补集的定义运算即可. 【详解】因为，. 所以. 故选：C 6．（2025·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式化简集合，根据补集的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴. 故选：D. 7．（2025·北京石景山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的补集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 8．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一验证选项即可得出结果. 【详解】已知集合，. 对于A选项，，则，不合题意； 对于B选项，，则，合题意； 对于C选项，，则，不合题意； 对于D选项，，则，不合题意. 故选：B 9．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， 或， 因此，. 故选：D. 10．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 3、 【复数真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 3．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模． 【详解】由题意有，故． 故选：B． 4、 【2025年复数押题预测】 1．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2．（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，则复数在复平面内对应的点为， 又复数对应的点坐标为，所以. 故选：D 3．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算. 【详解】已知复数对应的点的坐标是，所以. 将代入，可得. 即：. 故选：B. 4．（2025·北京朝阳·一模）设复数的共轭复数为，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求得复数，进而利用复数的乘法运算可求. 【详解】因为复数，所以复数的共轭复数为， 所以. 故选：C. 5．（2025·北京顺义·一模）复数的共轭复数为，且满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设，代入已知条件利用复数相等求解，再求出，最后由复数的乘法求解即可. 【详解】设，所以即为， 整理得：，所以，解得， 所以，，. 故选：A 6．（2025·北京丰台·一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据复数在复平面内对应点的坐标写出复数的表达式，再利用复数模的计算公式求出该复数的模. 【详解】已知复数对应的点的坐标为，所以复数. ，则. 故选：B. 7．（2025·北京·模拟预测）已知复数，则在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点即可求解. 【详解】对应的点为，在复平面上对应的点在第四象限. 故选：D 8．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解. 【详解】因为为实数， 所以，解得， 故选：C 9．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由复数除法化简复数z，再由复数的模长公式即可得解. 【详解】由题， 所以. 故选：C 10．（24-25高三上·北京东城·期末）在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用复数乘法求复数，根据共轭复数的定义求，进而确定点坐标. 【详解】由，则，对应点为. 故选：D 5、 【平面向量真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 6、 【2025年平面向量押题预测】 1．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知向量 若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据即可得出， 解出即可. 【详解】，∴ ∴. 故选： C. 2．（2024·北京门头沟·一模）在中，，， 且， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边平方，即可得到，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：B 3．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量坐标运算，先求出，再逐一验证即可. 【详解】因为，， 所以， 所以，故A错； ，故B正确； ，故C错； 因为，所以不平行，故D错. 故选：B 4．（2025·北京延庆·一模）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 5．（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故选：B. 6．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，，，则（   ） A．4 B．6 C．14 D．18 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，再根据坐标法计算可得. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C 7．（2025·北京顺义·一模）已知平面向量，满足，，，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 由， 则，解得. 故选：D. 8．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可. 【详解】由题意得 . 故选：C. 9．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，则（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可. 【详解】    如图，取的中点，则，且， 所以四边形为平行四边形， 则，所以为正三角形， 过作于， 则， 所以. 故选：C. 10．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】设，因点的坐标为，所以， 则， 设，即， 依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围， 即圆心到的距离，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 11．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知正方形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出，由数量积的定义结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】设交于点， 因为以B为圆心的圆与直线相切，所以半径， 建立如下图所示的直角坐标系，可得圆：， 则，， 所以， 所以 ，， 当，即，则的最大值是. 故选：D. 12．（24-25高三上·北京东城·期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 13．（24-25高三上·北京顺义·期末）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，延长至，使得，则为的垂直平分线，根据对称可求的最小值. 【详解】 因为，故，故， 故，所以， 延长至，使得，连接，则为的垂直平分线， 故，故， 当且仅当共线时等号成立， 而， 故的最小值为， 故选：B. 14．（2025·北京·模拟预测）如图所示，弧是以O为圆心，为半径的圆的一部分，满足，，是的中点，在弧上运动，则的最小值为（   ）    A．2 B．-2 C． D．-1 【答案】C 【分析】直接应用向量数量积的定义和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】由题意可知，，， 则， 因为点在弧上运动，所以， 而余弦函数在内单调递减， 所以当时，取得最小值. 故答案为：C. 15．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，则，利用正弦定理可求出的大小，即可求出的值. 【详解】若非零向量、满足，且向量与向量的夹角是， 作，，则，如下图所示： 向量与向量的夹角等于， 由正弦定理可得，即，可得， 所以，，即，即，故. 故选：D. 16．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，    由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 17．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 18．（2025·北京顺义·一模）已知,点M满足，则的可能取值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设点，由条件求得点的轨迹为圆心在，半径为的圆，将理解为圆外的点到圆上的点的距离，结合图形即得的范围，即可判断. 【详解】设点，由，整理得：， 即点的轨迹为圆心在，半径为的圆， 因，即点在圆外， 则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有. 故选：B. 19．（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 20．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 7、 【二项式定理真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．40 C． D．80 【答案】D 【分析】根据题意结合二项式定理写出的展开式的通项即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得 所以的展开式中的系数为. 故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 8、 【2025年二项式定理押题预测】 1．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故选：D. 2．（24-25高三上·北京顺义·期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项后可求常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故常数项为， 故选：A. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）的展开式中，常数项等于（   ）   A．1 B．15 C． D．1 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中的次数为，进而求出常数项. 【详解】二项式，可得：，即 令的次数，解得. 将代入到通项公式中，可得常数项为. 故选：B 4．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）在的展开式中项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由展开式中含的项即可得解. 【详解】展开式中项为，所以展开式中项的系数为. 故选：A 5．（24-25高三下·北京·开学考试）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（    ） A． B．252 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据二项式系数的最值可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可. 【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项， 则，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得， 所以含项的系数为. 故选：A. 6．（2024·北京·三模）在的展开式中，项的系数为（    ） A． B． C．16 D．144 【答案】C 【分析】写出的展开式通项，即可列式求解. 【详解】，其展开式通项公式为，， 所以所求项的系数为， 故选： C． 7．（2024·北京大兴·三模）在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】 易知，的展开式中，没有x项； 因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 又因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 综上，在的展开式中，x的系数为， 故选：A. 8．（2025·北京·模拟预测）若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（   ） A．-240 B．240 C．15 D．-15 【答案】B 【分析】根据已知条件确定值，再根据二项式展开式的通项确定常数项为第几项，即可求解. 【详解】根据题意有，解得， 故二项式展开式的通项公式为： ， 令，求得， 则展开式的常数项为：. 故选：B 9．（2024·北京通州·三模）若，则（    ） A．80 B． C．40 D．81 【答案】C 【分析】利用二项展开式即可得到答案. 【详解】由题意，. 故选：C. 10．（24-25高三下·北京·阶段练习）若且，则实数m的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】采用赋值法令代入计算可得结果. 【详解】令可得， 因此可得，解得或. 故选：D 9、 【解析几何真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 10、 【2025年解析几何押题预测】 1．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程求得圆心的坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用直线与圆相离，列不等式求解即可. 【详解】化圆为， 得圆心坐标为，半径为，解得：， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离，所以，所以，解得：. 所以m的取值范围为. 故选：B. 2．（2024·北京石景山·一模）直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（    ） A．5 B．7 C．9 D．14 【答案】B 【分析】根据直线所过定点，求弦长的最小值和最大值，再结合选项，即可求解. 【详解】直线恒过点，且点在圆内， 当点是弦的中点时，此时弦长最短，圆心和点的距离为2，此时弦长，最长的弦长是直径为8， 所以弦长的取值范围是，其中只有B成立. 故选：B 3．（23-24高三上·北京石景山·期末）直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系、充分不必要条件等知识确定正确答案. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 若直线与圆有两个不同交点， 则，， 符合题意的只有. 故选：A 4．（23-24高三上·北京海淀·期末）已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相交的弦长公式进行求解即可. 【详解】因为圆，圆心为，半径为，即 因为为直角三角形，所以, 设圆心到直线的距离为， 由弦长公式得，所以，化简得. 故选：A. 5．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定的轨迹为以线段为直线的圆以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值． 【详解】因为，所以点的轨迹为以线段为直线的圆， 因为，所以圆心为，半径为1， 又直线，其过定点， 故点到直线的距离的最大值为． 故选：C． 6．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 7．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意； 当时，， 所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或， 所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线只有一个公共点不能推出， “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件， 故选：A 8．（2025·北京门头沟·一模）已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用直线与圆的位置关系构造不等式即可求得. 【详解】由圆可知圆心，半径； 根据题意若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切； 因此圆心到直线的距离，解得， 因此的最大值为. 故选：D 9．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 10．（2025·北京丰台·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上.若M的横坐标为1，且，则p的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解. 【详解】由已知可得抛物线的准线方程为， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，解得， 故选：C. 11．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而得圆心O到直线的距离，再结合点到直线距离公式即可求解. 【详解】由题意， 所以圆心O到直线的距离为， 故选：C 12．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可. 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 13．（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出的取值范围. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在上且，则，所以， 即，故A错误，C正确； 又，所以，所以，故B、D错误. 故选：C 14．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：又， ∴为等边三角形，，故, 故 故选：C. 15．（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 16．（2025·北京延庆·一模）已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得点的取值范围，由此求得的最大值. 【详解】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为. 圆的圆心为，半径为. 要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，解得， 所以的最大值为6. 故选：C 17．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，原点为O，若双曲线上存在两个点A和B，使得四边形为正方形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】做出图形并利用正方形性质得出在双曲线上，联立方程组解得离心率. 【详解】如下图所示： 易知，又因为四边形为正方形，可得,且 因此可得，‘ 设其离心率为，易知； 代入双曲线的方程可得，又， 联立可得，解得或（舍）； 所以. 故选：B 18．（2024·北京朝阳·一模）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的右焦点，求出点和的坐标，利用中点坐标公式列式计算得关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 19．（2025·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于不同的两点A，B，为坐标原点，直线与交于点M，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据以及抛物线定义可得直线的斜率，则可求，以及坐标，即可得点到直线的距离，最后利用面积公式即可. 【详解】如图，过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得，解得， 则直线：，，得 故点到直线的距离为， 故的面积为. 故选：A 20．（2025·北京石景山·一模）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 可知该圆的圆心坐标为，半径. 因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知. 已知，则. 在中，根据勾股定理. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为： . 因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即 故选：B. 11、 【函数基础真题回顾】 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 12、 【2025年函数基础押题预测】 1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 2．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 故选：B 3．（2024·北京海淀·三模）下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案. 【详解】对A：因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对B：，所以函数为偶函数，故B错误； 对C：根据正切函数的性质可知，函数在不具有单调性，故C错误； 对D：函数的定义域为，，故函数为奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D 4．（2023·北京·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性定义可知是非奇非偶函数，函数是偶函数，可判断AD错误；又只在一个周期内单调递增，所以D错误，易得为奇函数，且在区间上是增函数. 【详解】对于A，根据奇函数定义可知不是奇函数，所以A错误； 对于B，易知图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间上不是增函数，即B错误； 对于C，函数是奇函数，且时，是增函数，所以C正确； 对于D，易知为偶函数，故D错误. 故选：C 5．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算性质判断各项等式是否成立即可. 【详解】，A错； ，B错； ，C对； ，D错. 故选：C 6．（23-24高二上·上海·期末）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 7．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值代入验证可得AB错误，对的符号进行分类讨论可判断C正确，再由指数函数单调性可得D错误. 【详解】根据题意不妨取， 代入检验可得不成立，即A错误； 此时，可得B错误； 对于C，当时，此时，即； 当时，此时，即； 当时，显然； 综上可知当时，成立，即C正确； 对于D，因为指数函数为单调递减函数，因此时，，可知D错误. 故选：C 8．（2025·北京石景山·一模）已知x，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，所以，即，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，而余弦函数在上不单调， 如，故C错误； 因为，由于当时，恒有，故D错误； 故选：B. 9．（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解. 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误， 故选：C 10．（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件； 对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件； 对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件； 对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件. 故选：A. 11．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，函数有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况讨论，分析函数在区间和上的单调性，结合题可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】①当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上单调递减，此时， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，不合乎题意； ②当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递减，此时， 若使得函数有最小值， 则，解得，不合乎题意； ③当时，二次函数的对称轴为直线， 此时函数在区间上的最小值为， 函数在区间上单调递增，此时， 若使得函数有最小值，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 12．（24-25高三上·北京顺义·期末）“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 13．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别画出的图像，结合图像即可求解； 【详解】分别画出的图像， 为的交点横坐标， 为的交点横坐标， 为的交点横坐标， 结合图像可知： 故选：B 14．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和二次函数性质，根据分段函数单调性求出各段所满足的条件即可. 【详解】根据题意若函数为单调递增，可得； 若函数为单调递增，可得，即； 若保证在R上单调递增,还需满足，解得； 综上可得，a的取值范围为. 故选：D 15．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及函数的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，    设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 16．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，结合零点的存在定理和对数的性质，即可判断③． 【详解】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称， 所以关于对称， 又由得交点坐标为，则， 对于①：因为，且，所以，①错误； 对于②：由，因为，则；②正确； 对于③：直线与联立，可得，即， 设函数，是增函数， 又由，，可得， 所以函数在区间上存在唯一零点，即， 因为，所以， 构造函数，则， 当时，可得，函数在单调递增； 当时，可得，函数在单调递减； ，，，③正确； 故选：C 17．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数（a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设函数，代入数据计算即可. 【详解】由题意，当时，， 当时，，则， 则，即. 故选：A. 18．（24-25高三上·北京西城·期中）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，约为（   ） （参考数据：，） A．280 B．300 C．360 D．640 【答案】C 【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知， ，即， 两式相比得 解得 故选：C 19．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可； 【详解】由题意可知：，即，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 两式相除可得：， 即， 所以：， 即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历， 故选：A 20．（2025·北京延庆·一模）延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（    ）      A．为奇函数 B．的最大值为1 C．在上单调递增 D．方程有2个实数解 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出，再结合指数函数性质即可判断. 【详解】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误； 对BC，又∵，根据，在R上均单调递增， 则在在R上单调递增，且， 则当时，则，当时，则， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误； 则，即的最小值为，B错误； 对D，令,， 再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确. 故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $$