第10讲 梯 形（5个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第10讲 梯 形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01梯形...................................................................................................................................................................................3 题型02等腰梯形...........................................................................................................................................................................7 题型03与三角形中位线有关的求解问题..................................................................................................................................10 题型04与三角形中位线有关的证明..........................................................................................................................................15 题型05三角形中位线的实际应用..............................................................................................................................................19 分层练习........................................................................................................................................................................................23 夯实基础........................................................................................................................................................................................23 能力提升........................................................................................................................................................................................48 知识点1．梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 知识点2．直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 知识点3．等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 知识点4．等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 知识点5．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型01梯形 1．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）若一个梯形的中位线长是6，高是5，则这个等腰梯形的面积是 ． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 题型02等腰梯形 4．（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 5．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为 ，面积为 ． 6．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 题型03与三角形中位线有关的求解问题 7．（2025八年级下·上海·专题练习）顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 8．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 9．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 题型04与三角形中位线有关的证明 10．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 12．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 题型05三角形中位线的实际应用 13．如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 14．（八年级下·上海长宁·期末）如图，梯形中，，点分别是的中点. 已知两底之差是6，两腰之和是12，则的周长是 . 15．（21-22八年级下·上海·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 夯实基础 一、单选题 1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 3．厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，已知，分别为边，的中点，连结，若，则等于（   ） A．70º B．67. 5º C．65º D．60º 5．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，交OB于E，交AD于F，若，则EF的值为（ ） A．3 B． C． D．4 二、填空题 6．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 7．连接三角形 的线段叫做三角形的中位线． 8．梯形ABCD，﹐对角线互相垂直，若该梯形的中位线长 ． 9．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 （只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 10．杨伯伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形地上种小草，则这块草地的形状是 ．    11．如图，在中，D、E、F分别是的中点．若的面积为3，则的面积为 ． 12．如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 13．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图所示，在中，M是的中点，平分于N点，且，则 ． 15．如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 16．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形． 17．如图，在中，为的中点，为的中点，求证：．    18．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 19．如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.    20．如图，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的一点，且BE＝BC，连接CE，设． (1)尺规作图：将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BG，连接CG交BE于点H； (2)取BC的中点M，连接MH，求证：． 21．如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 22．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：，； （2）若，，求四边形的面积． 能力提升 一、单选题 23．如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 24．如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 二、填空题 25．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,则连接两条直角边中点的线段长为 . 26．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ． 三、解答题 27．如图，在中，点O是对角线，的交点，点E是边的中点，点F在BC的延长线上，且，求证：四边形是平行四边形． 28．求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 梯 形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01梯形...................................................................................................................................................................................3 题型02等腰梯形...........................................................................................................................................................................7 题型03与三角形中位线有关的求解问题..................................................................................................................................10 题型04与三角形中位线有关的证明..........................................................................................................................................15 题型05三角形中位线的实际应用..............................................................................................................................................19 分层练习........................................................................................................................................................................................23 夯实基础........................................................................................................................................................................................23 能力提升........................................................................................................................................................................................48 知识点1．梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 知识点2．直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 知识点3．等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 知识点4．等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 知识点5．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 题型01梯形 1．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 2．（2025八年级下·上海·专题练习）若一个梯形的中位线长是6，高是5，则这个等腰梯形的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了梯形中位线定理和梯形的面积公式即可得到结论． 根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：一个梯形的中位线长是6，高是5， 这个等腰梯形的面积为， 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 题型02等腰梯形 4．（23-24八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 5．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】过点作，可得四边形是矩形，根据等腰梯形的性质可得出，求出后问题即可解决． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， ∵，梯形是等腰梯形， ∴四边形是矩形，． ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的周长， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等腰梯形的定义和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线是解题关键． 6．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 题型03与三角形中位线有关的求解问题 7．（2025八年级下·上海·专题练习）顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 【答案】菱 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 8．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：点D、E分别是边、中点， 是的中位线， ，， ， ， 点F、G分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为： 9．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3)4 【分析】（1）过点作于点，得出，根据，得出； （2）①当点在点左侧（），，根据，得出（）；②当点在点右侧（）， ，得出（）； （3）延长交于点，由三角形中位线定理推知点为的中点，，得出是等边三角形，从而求出的值． 【详解】（1）解：过点作于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ． ； （2）解：∵， ． ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，； （3）解：延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ． 点为的中点， ∴． 在与中，， ， ， ， ， 为正三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函数与图形相结合等，掌握有三角形的中位线和勾股定理是解题的关键． 题型04与三角形中位线有关的证明 10．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，等腰梯形中，分别是的中点，那么四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解决问题的关键．由题意得，推出，同理得出，即可得出四边形是平行四边形，由中位线的性质得出，，证得，即可得出结果． 【详解】解：在等腰梯形中，，，， ∴， ∴， 在四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， ， 同理：， 四边形是平行四边形， ∵、、、分别是、、、的中点， ，， ， ， 平行四边形是菱形； 故选：B． 11．（23-24八年级下·上海松江·期末）已知四边形 中，对角线、相互垂直，，，顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质可得四边形是平行四边形，再由对角线、相互垂直，可证得四边形是矩形，然后证明四边形是矩形，利用矩形的面积计算公式可得答案． 【详解】解：如图， 、、、分别为各边的中点，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 对角线、相互垂直， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 四边形的面积为：． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·上海·期末）如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 题型05三角形中位线的实际应用 13．如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形的中位线的应用，根据三角形的中位线性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的中点分别为点M，N， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 14．（八年级下·上海长宁·期末）如图，梯形中，，点分别是的中点. 已知两底之差是6，两腰之和是12，则的周长是 . 【答案】9. 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案． 【详解】连接AE，并延长交CD于K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK， ∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点． ∴BE=DE， 在△AEB和△KED中， ， ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线， ∴EF=CK=（DC-DK）=（DC-AB）， ∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC， 又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD， ∴EG+GF=（AD+BC）， ∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC-AB=6， ∴EG+GF=6，FE=3， ∴△EFG的周长是6+3=9． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 15．（21-22八年级下·上海·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长． 【答案】． 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形中位线的实际应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】延长AD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出AC=，再证明△CDA≌△CDE得到AD=ED，CE=CA=10，然后利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：延长AD交BC于E，如图， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴BC=， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD， ∵CD⊥AD， ∴∠CDA=∠CDE=90°， 在△CDA和△CDE中， ， ∴△CDA≌△CDE（ASA）， ∴AD=ED，CE=CA=10， ∵点M是AB的中点， ∴DM为△ABE的中位线， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．构建中位线定理的基本图形是解决问题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 3．厨房角柜的台面是三角形（如图），如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．易证明此图中分割的四个三角形的面积都相等．所以黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3． 【详解】解：如图， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点 ∴DF=BE=EC，EF=AD=BD，DE=AF=FC ∴△BDE≌△ADF≌△CEF≌△DEF ∴S△BDE=S△ADF=S△CEF=S△DEF ∴黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是1：3． 故选：C． 【点睛】本题构造的问题情境经常考查：根据三角形的中位线定理可以证明三角形被它的三条中位线分成的四个三角形全等． 4．如图，在中，已知，分别为边，的中点，连结，若，则等于（   ） A．70º B．67. 5º C．65º D．60º 【答案】A 【分析】由题意可知DE是三角形的中位线，所以DE∥BC，由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠C=70°， 故选A 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形中位线定理，难度不大 5．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，交OB于E，交AD于F，若，则EF的值为（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得AB＝2ME，OD＝2MF，可得AB＝OD，由矩形的性质可得OD＝OA＝OB＝AB，可证△ABO是等边三角形，可得AE⊥BO，由直角三角形的性质可求EF的长． 【详解】解：如图，连接AE， ∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD， ∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线， ∴AB＝2ME，OD＝2MF， ∵ME＝MF， ∴AB＝OD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OA＝OB， ∴AB＝AO＝BO＝3， ∴△ABO是等边三角形，BD＝6， ∴AD＝， ∵△ABO是等边三角形，点E是BO中点， ∴AE⊥BO， 又∵点F是AD的中点， ∴EF＝AD＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键． 二、填空题 6．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】根据中点四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示， 四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键． 7．连接三角形 的线段叫做三角形的中位线． 【答案】两边中点 【分析】直接根据三角形的中位线的定义填空即可． 【详解】连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 故答案为：两边中点． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 8．梯形ABCD，﹐对角线互相垂直，若该梯形的中位线长 ． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点E，则四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质及勾股定理，结合梯形中位线长公式计算即可 【详解】如图：过点B作交的延长线于点E，则四边形是平行四边形    , 又, , 梯形中位线长, , 梯形中位线长, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了梯形的中位线长公式及平行四边形的判定和性质，解答此题的关键是做出辅助线，构造平行四边形和直角三角形，将求梯形的中位线长转化为求直角三角形的斜边的问题来解决． 9．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 （只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 【答案】 ③ ② 【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，即AC⊥BD；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形． 【详解】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成， 连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点， ∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 要使四边形EFGH为矩形， 根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形， 故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形； 要使四边形EFGH为菱形， 根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH， 而EH=BD， ∴AC=BD． 故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形 故答案为：③；②． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质． 10．杨伯伯家小院子的四棵小树、、、刚好在其梯形院子各边的中点上，若在四边形地上种小草，则这块草地的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】根据中位线定理可知，四边形EFGH的对边平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：连接AC，BD． 利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG． ∴这块草地的形状是平行四边形． 故答案为：平行四边形．    【点睛】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，注意结合实际． 11．如图，在中，D、E、F分别是的中点．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由三角形的中位线定理得到，继而四边形均为平行四边形，则，即可求解． 【详解】解：∵D、E、F分别是的中点， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰直角三角形性质、含的直角三角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质求出，根据含的直角三角形性质及勾股定理列方程求出，最后由三角形这中位线的判定与性质计算即可得到答案．熟练掌握三角形相关性质，运用三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得， ，解得，则， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故答案为：4． 13．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中线有关面积计算，不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键． 连接，先证明四边形是平行四边形，得到，根据，得到，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作， ∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴是边的中点， 又∵是边的中点， ∴是的中位线， ， 又∵， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， 又∵， ， ， ， ， ∴等腰中边上的高为， ， ∵是边的中点， ， ∴阴影部分的面积为120． 故答案为：120． 14．如图所示，在中，M是的中点，平分于N点，且，则 ． 【答案】3 【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点D． ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴，， ∴N是的中点． ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线． 15．如图，中，平分于D，，F为中点，连结，给出下列结论：①，②，③，④．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H，平分，可证△AGD≌△ACD（ASA），可得GD=CD，AG=AC，由平分，可证△ABE≌△AHE（ASA），可得BE=HE，由F为中点，GD=CD，可得DF∥BG，DF=，∠FDE=∠BAD，由F为中点，BE=HE，可得FE∥HC，∠FED=∠CAD，可证∠FDE =∠FED，DF=EF可判断①②，由∠DFE+∠FDE+∠FED=180°，可判断③，由AG=AC，EF=FD=可判断④． 【详解】解：延长CD交AB于G，延长BE交AC延长线于H， ∵平分， ∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=∠ADC=90°， 在△AGD和△ACD中， ∴△AGD≌△ACD（ASA）， ∴GD=CD，AG=AC， ∵平分， ∴∠BAD=∠HAD，∠AEB=∠AEH=90°， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（ASA）， ∴BE=HE， ∵F为中点，GD=CD， ∴DF为△CBG的中位线， ∴DF∥BG，DF=， ∴∠FDE=∠BAD， ∵F为中点，BE=HE， ∴FE为△BCH的中位线， ∴FE∥HC， ∴∠FED=∠CAD ∵∠GAD=∠CAD， ∴∠FDE =∠FED， ∴DF=EF， 故①，②正确； ∵∠DFE+∠FDE+∠FED=180°， ∴， 故③正确； ∵AG=AC，EF=FD=， ∴AB=AG+BG=AC+2DF=AC+FD+EF， ∴④正确； 其中正确的是①②③④． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线定义，垂直定义，三角形中位线判定与性质，三角形内角和，等腰三角形判定，线段中点定义，涉及知识较多，习题难度中等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题 16．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形． 【答案】见解析 【分析】要求出该梯形，需要确定该梯形的四条边中的任意三条边的边长，由于该梯形是直角梯形，所以求出梯形的上、下底边和梯形直角边的长，根据梯形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm， 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去， 所以，，． 画出这个直角梯形如图所示． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．另外应注意要确定一直角梯形，需求出它的高和上、下底的长． 17．如图，在中，为的中点，为的中点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形，三角形中位线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据三角形中位线的性质，则，根据点为的中点，则，等量代换，则，根据平行四边形的性质，则，，等量代换，平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，，即可． 【详解】证明，如下： 延长至点，使，连接， ∵为的中点，点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴．    18．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=. 【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD； （2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=. 【详解】 （1）    证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH. ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD， ∵∠BME=∠CNE， ∴∠HEF=∠HFE， ∴HE=HF， ∴AB=CD； （2）    如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线， ∴HO=HE=AB=CD，， ∴∠HOE=∠HEO， ∵OH∥AC，∠OEC=60°， ∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE=. 故答案为（1）证明见解析；（2）OE=. 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质. 19．如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.    【答案】证明见解析 【详解】本题主要考查了等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法. 根据等腰梯形的性质利用SAS判定△ADC≌△CBE，从而得到AC=CE 证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC， ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠CDA=∠BCD． 又∵DC∥AB， ∴∠BCD=∠CBE， ∵AD=BC，DC=BE， ∴△ADC≌△CBE， 故AC=CE． 20．如图，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的一点，且BE＝BC，连接CE，设． (1)尺规作图：将线段BA绕点B逆时针旋转得到线段BG，连接CG交BE于点H； (2)取BC的中点M，连接MH，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）只需要作∠ABG=∠CBE交以B为圆心，AB为半径的圆于G即为所求； （2）如图所示，过点C作CF⊥BE于F，先证明△CEF≌△CED得到CF=CD，然后证明△BHG≌△FHC得到GH=CH，即H为CG的中点，则MH为△BCG的中位线，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点C作CF⊥BE于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，， ∴∠CED=∠BCE，∠CFE=∠D=90°， ∵BE=BE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴∠BEC=∠DEC，即∠CEF=∠CED， 又∵CE=CE， ∴△CEF≌△CED（AAS）， ∴CF=CD， 由旋转的性质可得BG=BA=CD=CF，∠， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABG+∠ABE=∠ABE+∠CBE=90°=∠CFH， 又∵∠BHG=∠FHC， ∴△BHG≌△FHC（AAS）， ∴GH=CH，即H为CG的中点， 又∵M为BC的中点， ∴MH为△BCG的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，三角形中位线定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 21．如图，在中，，D为外一点，使，E为的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】延长、交于F，证明，可得，，求得，根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：延长、交于F， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、直角三角形的性质，正确构造全等三角形证明是解题的关键． 22．如图，在中，，中线，相交于点，点，分别为，的中点． （1）求证：，； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用中位线性质可得，．，．可证四边形是平行四边形．由平行四边形性质可得，． （2）由和，可推得．求由点是中点，．由三等分可求．根据平行四边形性质可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴，； （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∵， ∵点是中点， ∴． ∴． ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键． 能力提升 一、单选题 23．如图，、是的中线，P、Q分别是、的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形，三角形中位线．熟练掌握掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，是解答此题的关键． 连接，连接并延长交于点F，利用是中位线，推出，再用是中位线，，即可求得答案． 【详解】连接，连接并延长交于点F， ∵、是的中线， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 24．如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=， 是直角三角形，如图所示： 此时 故选A. 二、填空题 25．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=16,则连接两条直角边中点的线段长为 . 【答案】10 【分析】首先利用勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形中位线定理即可求出连结两条直角边中点的线段长． 【详解】∵∠C=90°，AC=12，BC=16， ∴AB==20， ∴两条直角边中点的线段长=AB=10， 故答案为10． 【点睛】此题考查的是勾股定理的运用以及三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 26．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ． 【答案】14 【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可． 【详解】∵F，G分别为BC，CD的中点， ∴FG＝BD＝4，FG∥BD， ∵E，H分别为AB，DA的中点， ∴EH＝BD＝4，EH∥BD， ∴FG∥EH，FG＝EH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝GH＝AC＝3， ∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14， 故答案为14 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键． 三、解答题 27．如图，在中，点O是对角线，的交点，点E是边的中点，点F在BC的延长线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据三角形中位线定理得，结合，得到证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质判断，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】证明：∵中，点O是对角线，的交点，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 28．求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据文字描述作出图形，写出已知和求证．连接、，根据正方形的性质得到，，根据三角形中位线定理、正方形的判定定理证明结论． 【详解】已知：如图，在正方形中，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、构成四边形． 证明：四边形是正方形． 证明：连接、，如图所示： 四边形为正方形， ，， 、分别为、的中点， ，， 同理，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，，， ， 四边形为正方形． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$