微专题讲义 解爪形三角形（三角形特征线：中线、角平分线、高线的三线问题）-2025届高三数学二轮复习

【二轮复习微专题】 解爪形三角形 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 了解三角形的三条“特征线”：中线、角平分线、高）； 2. 熟悉三条特征线的相关重要结论； 3. 掌握解爪形三角形的不同特征线的常见处理技巧和应用. 2、 重点难点 重点：熟悉三条特征线的相关重要结论，掌握解爪形三角形的不同特征线的常见处理技巧; 难点：解爪形三角形的三条特征线的综合应用. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：三角形的三条“特征线”是指？ 2. 三条特征线的相关重要结论 特征线一：三角形的中线 1. 中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则__________________. 推导过程：在△ABD中，cos B＝______________，在△ABC中，cos B＝______________， 联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2. 中线的向量表示：2＝______________________________. 推导过程：易知＝____________，则2＝(＋)2＝_________________________， 所以2＝______________________________. 特征线二：三角形的角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 1. 内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则_______________. 2. 角平分线长公式：__________________________ 推导过程：由等比面积法得，_______＋_______＝S△ABC， 所以__________________＋__________________＝bcsin ∠BAC， 所以(b＋c)AD＝2bccos ，即AD＝________________ 特征线三：三角形的高线 1. h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝____________＝_____________. 2. 求高一般采用___________法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3. 高线的两个作用：①产生____________；②与三角形的__________相关. 爪形三角形的“背靠背定理” 因为∠ADB+∠ADC=π，所以__________________________. 4. 例题分析 特征线一：中线问题 例题1. 记的内角的对边分别为，函数，角满足． (1)求的值； (2)若，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求边上的中线长度． ①的周长为；      ②的面积为． 特征线二：角平分线问题 例题2. 已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 特征线三：高线问题 例题3. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 特征线的综合应用问题 例题4. 已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. (1)若为中线，且，求； (2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围. 5. 提升练习 1. 设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 2. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若为边上的中线，为的重心，为的外心，且，，求. 3. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 4. 在中，,为的高线，则（   ） A． B． C． D． 5. 已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《解爪形三角形作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【二轮复习微专题】 解爪形三角形 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 了解三角形的三条“特征线”：中线、角平分线、高）； 2. 熟悉三条特征线的相关重要结论； 3. 掌握解爪形三角形的不同特征线的常见处理技巧和应用. 2、 重点难点 重点：熟悉三条特征线的相关重要结论，掌握解爪形三角形的不同特征线的常见处理技巧; 难点：解爪形三角形的三条特征线的综合应用. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：三角形的三条“特征线”是指？ 中线、角平分线、高 2. 三条特征线的相关重要结论 特征线一：三角形的中线 1. 中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2. 中线的向量表示：2＝(2＋2＋2||·||·cos ∠BAC). 推导过程：易知＝(＋)，则2＝(＋)2＝2＋2＋||·||cos ∠BAC， 所以2＝(2＋2＋2||||·cos ∠BAC). 特征线二：三角形的角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 1. 内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 2. 角平分线长公式：AD＝ 推导过程：由等比面积法得，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin ∠BAC， 所以(b＋c)AD＝2bccos ，即AD＝ 特征线三：三角形的高线 1. h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2. 求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3. 高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关. 爪形三角形的“背靠背定理” 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB+cos∠ADC=0. 4. 例题分析 特征线一：中线问题 例题1. 记的内角的对边分别为，函数，角满足． (1)求的值； (2)若，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求边上的中线长度． ①的周长为；      ②的面积为． 【解析】（1）， 由得，因为， 所以，所以 （2）,由正弦定理边化角得, 所以或得（舍）或所以， 选①，因, 所以周长，解得, 设边上的中线为，由余弦定理得, 为中点， 即. 选②因， 所以三角形面积，解得， 设边上的中线为，由余弦定理得, 为中点，, , 即. 特征线二：角平分线问题 例题2. 已知在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，的角平分线交于，求的值. 【解析】（1）∵，由正弦定理得，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，∴. （2）由余弦定理得，， ∴，解得或（舍去）， 由， ∴， ∴.    特征线三：高线问题 例题3. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【解析】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 特征线的综合应用问题 例题4. 已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且. (1)若为中线，且，求； (2)若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）如下图所示， 在中，设，由余弦定理得 即，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 则，所以 （2）设，则，如下图所示，    在和中，由正弦定理得 ， ，得， 因为为锐角三角形，所以均为锐角， 所以，则，所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是 5. 提升练习 1. 设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 【解析】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为D为中点，所以，设的夹角为θ， 则 ， 即， 且， 因为，则为锐角，可知， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以， 所以. 故答案为：.    2. 如图，记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若为边上的中线，为的重心，为的外心，且，，求. 【解析】（1）由题意及正弦定理得，即， 由余弦定理得. （2）如图，过点作于点. 因为为的外心，所以为的中点， 则， 同理. 因为为的重心， 所以， 又， 所以 . 由，，得. 由，得， 因为为的外心，所以为外接圆的半径，则， 则， 得. 3. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（    ） A． B． C． D．4 【解析】因为，所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 4. 在中，,为的高线，则（   ） A． B． C． D． 【解析】在三角形中，由余弦定理得， 即，所以， 所以， 由向量数量积的几何意义得 ， 故选：C. 5. 已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《解爪形三角形作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$