三角形中的中线、高线、角平分线题型分析 讲义-2025届高三数学二轮复习

2025届高三二轮数学复习 三角形中的中线、高线、角平分线题型分析 三角形中的中线、高线、角平分线问题涉及三角形的中线、高线、角平分线把三角形分成两个或多个三角形，会利用正弦定理、余弦定理与平面向量的相关性质解三角形，综合性强，思维层次要求高，能够培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 题型一 三角形中的中线问题 例1 [2023· 新课标Ⅱ卷·17，10分]记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，为的中点，且. （1） 若，求; （2） 若，求，. 【解析】 （1） 在中，因为为的中点，，，所以，解得.在中，，由余弦定理得，即，解得（负值舍去），则，因为，所以，所以. （2） 解法一：由余弦定理得 两式相加得，因为，所以，又，解得，因为 ，所以，所以.解法二：在中，因为为的中点，所以，又，所以，即，解得（负值舍去），又，解得，因为 ，所以，所以 . 【模拟演练】 1．[2024·河北保定二模]在中，角，，的对边分别为,,，已知. （1） 求； （2） 若,,为边的中点，求的长. 【解析】 （1） 因为，所以由正弦定理得，化简得，易知，所以，又因为，所以. （2） 在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍去）．因为为边的中点，所以，所以，故. 题型二 三角形中的高线问题 例2 [2023· 新课标Ⅰ卷·17，10分]已知在中，,. （1） 求; （2） 设,求边上的高. 思维导图 【解析】 （1） 在中， ，，，. ，，又，，，.又，，易知，所以. （2） 由（1）得，，.又，.在中，根据正弦定理得，即，.设边上的高为，在中，，边上的高为6. 解题技法 解决与三角形高线有关问题的常用方法 如图，在 中，为边 上的高. 方法一：等面积法，即. 方法二：. 针对训练2．[2024·江苏南通高三调研]在中，角,,的对边分别为,,,. （1） 求； （2） 若的面积为,边上的高为1，求的周长． 【解析】 （1） 因为，所以由正弦定理得，即，即.因为在中，，所以.又 ，所以. （2） 因为的面积为，所以，得.由，得，所以.由余弦定理，得，所以，所以，即，所以的周长为. 题型三 三角形中的角平分线问题 例3 [2023` 全国甲卷（理）`16，5分]在中， ，，，的角平分线交于，则______. 【答案】2 【解析】记,,， 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 解法一：由可得， ，解得． 解法二：在中，由正弦定理可得，， 解得，， 因为 ，所以 ，所以 . 又 ，所以 ，所以为等腰三角形，所以． 解题技法 破解三角形中的角平分线问题的核心技巧 如图，在 中，平分，角，，的对边分别为,,. 核心技巧一：内角平分线定理，即. 核心技巧二：等面积法，即. 核心技巧三：边与面积的比值，即. 核心技巧四：角互补，即. 核心技巧五：必记结论，即. 针对训练3．[2024·四川遂宁高三第二次诊断性考试]已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1） 求角； （2） 若是的平分线，，的面积为，求的值． 【解析】 （1） 由，可得,,,，故，因为,所以. （2） ，解得，， ，即，，又，，． 例3 [2024· 新课标Ⅱ卷·15，13分]记的内角,,的对边分别为,,,已知. （1） 求； （2） 若，,求的周长. 思维导图 【答案】 （1） 规范解答由已知得,（2分） 故.易知，，（易错:此处易忽略范围.） ，.（5分） （2） , 由正弦定理得.（7分） ,,,, ,.（9分） 又 ，, , （易错:此处计算易出现失误.） 由正弦定理得， ,.（12分） 的周长为.（13分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三二轮复习 三角形中的中线、高线、角平分线题型分析 三角形中的中线、高线、角平分线问题涉及三角形的中线、高线、角平分线把三角形分成两个或多个三角形，会利用正弦定理、余弦定理与平面向量的相关性质解三角形，综合性强，思维层次要求高，能够培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 题型一 三角形中的中线问题 例1 [2023· 新课标Ⅱ卷·17，10分]记的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为，为的中点，且. （1） 若，求; （2） 若，求，. 【模拟演练】 1．[2024·河北保定二模]在中，角，，的对边分别为,,，已知. （1） 求； （2） 若,,为边的中点，求的长. 例2 [2023· 新课标Ⅰ卷·17，10分]已知在中，,. （1） 求; （2） 设,求边上的高. 【思维导图】 【解题技法】 解决与三角形高线有关问题的常用方法 如图，在 中，为边 上的高. 方法一：等面积法，即. 方法二：. 针对训练2．[2024·江苏南通高三调研]在中，角,,的对边分别为,,,. （1） 求； （2） 若的面积为,边上的高为1，求的周长． 题型三 三角形中的角平分线问题 例3 [2023` 全国甲卷（理）`16，5分]在中， ，，，的角平分线交于，则______. 【解题技法】破解三角形中的角平分线问题的核心技巧 如图，在 中，平分，角，，的对边分别为,,. 核心技巧一：内角平分线定理，即. 核心技巧二：等面积法，即. 核心技巧三：边与面积的比值，即. 核心技巧四：角互补，即. 核心技巧五：必记结论，即. 【模拟演练】 3．[2024·四川遂宁高三第二次诊断性考试]已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1） 求角； （2） 若是的平分线，，的面积为，求的值． 例3 [2024· 新课标Ⅱ卷·15，13分]记的内角,,的对边分别为,,,已知. （1） 求； （2） 若，,求的周长. 【思维导图】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$