第10章 复数 单元质量测评-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

第十章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 答案：A 解析：因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.故选A. 2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，则a＋＝a－bi不一定为纯虚数；若a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.所以“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选B. 3．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：B 解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴解得a＝0. 4．(2024·辽宁高一下阶段练习)复数z＝(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：因为z＝＝＝＝＝1012－1012i，所以z在复平面内对应的点为(1012，－1012)，位于第四象限．故选D. 5．复数z1＝，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是(　　) A. B．－3－i C．1＋i D．3＋i 答案：D 解析：∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D. 6．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案：B 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以解得所以z＝1－2i.故选B. 7．在复平面内，若复数z满足|z－3|＝|z＋i|，则z对应的点的集合构成的图形是(　　) A．线段 B．圆 C．直线 D．圆环 答案：C 解析：设复数z对应的点为P，3对应的点为A(3，0)，－i对应的点为B(0，－1)，则|z－3|＝|z＋i|表示P到A，B的距离相等，所以点P的轨迹为线段AB的垂直平分线． 8．(2024·福建三明高一下阶段练习)设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|(x－3)＋(y＋3)i|＝2，则|z＋1|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 解析：由|(x－3)＋(y＋3)i|＝2，可得(x－3)2＋(y＋3)2＝4，可令则|z＋1|＝＝＝＝，由－1≤sin(φ－α)≤1，可得3≤≤7，则|z＋1|的最小值为3.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2024·河南商丘第一高级中学高一校考阶段练习)已知复数z满足z(1＋i)＝－1－＋(1－)i，则下列说法错误的是(　　) A．z的虚部为i B．z的共轭复数＝＋i C．|z|＝2 D．z2＝4－2i 答案：ABD 解析：解法一：z＝ ＝＝＝－＋i. 解法二：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(1＋i)＝－1－＋(1－)i，即a－b＋(a＋b)i＝－1－＋(1－)i，则有解得故z＝－＋i.z的虚部为1，A错误；z的共轭复数＝－－i，B错误；|z|＝2，C正确；z2＝3－2i－1＝2－2i，D错误． 10．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1z2是纯虚数，则(　　) A．|z2|＝3 B.2＝1＋2i C．z1＋z2＝3－i D．z1z2＝1＋5i 答案：BC 解析：由z1＝2＋i，得1＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由1z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i，|z2|＝＝，2＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i＋(1－2i)＝3－i，z1z2＝(2＋i)(1－2i)＝2＋i－4i＋2＝4－3i.故选BC. 11．(2024·广东高一月考)已知复数z，z1，z2，是z的共轭复数，则下列说法正确的是(　　) A．z＝|z|2 B．若|z|＝1，则z＝±1 C．|z1z2|＝|z1||z2| D．若|z－1|＝1，则z对应的点的集合构成的图形是圆，面积为π 答案：ACD 解析：对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，故A正确；对于B，令z＝i，满足|z|＝|i|＝1，故B错误；对于C，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，所以|z1z2|＝＝＝·＝|z1||z2|，故C正确；对于D，|z－1|＝1的几何意义是以点(1，0)为圆心，1为半径的圆，圆的面积S＝πR2＝π，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在复平面内，矩形ABCD的四个顶点中，A，B，C对应的复数分别为2＋3i，3＋2i，－2－3i，则点D对应的复数是________． 答案：－3－2i 解析：令D(x，y)，由题得＝(1，－1)，＝(－2－x，－3－y)，因为＝，所以解得所以D(－3，－2)．所以点D对应的复数为－3－2i. 13．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________． 答案： 解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝. 14．已知复数z＝－3＋2i(i是虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＝________，q＝________． 答案：12　26 解析：将z＝－3＋2i代入方程，得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，整理得(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0.∴∴ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围． (1)复数z与复数2－12i相等； (2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数； (3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方． 解：(1)根据复数相等的充要条件，得 解得m＝－1. (2)根据共轭复数的定义，得 解得m＝1. (3)由题意，知m2－2m－15＞0， 解得m＜－3或m＞5， 故实数m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 16．(本小题满分15分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值． 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)． ∵|z|＝1＋3i－z， ∴－1－3i＋a＋bi＝0， 即解得 ∴z＝－4＋3i， ∴＝＝＝3＋4i. 17．(本小题满分15分)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋2i. (1)求|z|； (2)求实数a，b的值． 解：(1)z＝＝＝＝1－i，故|z|＝. (2)由(1)可知(1－i)2＋a－ai＋b＝1＋2i， 整理得a＋b＋(－2－a)i＝1＋2i， 因为a，b∈R，所以解得 18．(本小题满分17分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0. (1)若x∈R，求x的值； (2)若x∈C，求x的值． 解：(1)当x∈R时，由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0. 则得x＝3. (2)当x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程整理，得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0. 则得或 故x＝3或x＝－2i. 19．(本小题满分17分)已知复数z1＝a＋2i，z2＝3－4i(a∈R，i为虚数单位)． (1)若z1z2是纯虚数，求实数a的值； (2)若复数z1z2在复平面内对应的点在第二象限，且|z1|≤4，求实数a的取值范围． 解：(1)z1z2＝(a＋2i)(3－4i)＝(3a＋8)＋(－4a＋6)i， 因为z1z2是纯虚数，所以3a＋8＝0，且－4a＋6≠0，故a＝－. (2)|z1|≤4⇒a2＋4≤16⇒a2≤12⇒－2≤a≤2， 由z1z2在复平面内对应的点在第二象限， 可得即a<－. 综上，实数a的取值范围为{a|－2≤a<－}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$