10.2.2 复数的乘法与除法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第四册作业与测评word（人教B版2019）

10．2.2　复数的乘法与除法 知识点一　复数的乘法 1．复数(1＋i)(2＋3i)的值为(　　) A．1－5i B．－1－5i C．1＋5i D．－1＋5i 答案：D 解析：(1＋i)(2＋3i)＝－1＋5i.故选D. 2．已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z. 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则依条件得x2－y2＋2xyi－－6＝0. 根据复数相等的充要条件得 则或(无解)， 即解得 故z＝3或z＝－3. 3．计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)； (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i. (2)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i. (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 知识点二　复数的除法 4．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．－2 B．4 C．－6 D．6 答案：C 解析：∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6.故选C. 5．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z＝8，则＝(　　) A．i B．－i C．±1 D．±i 答案：D 解析：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则得或不难得出＝±i.故选D. 6．[多选]下面是关于复数z＝的四个命题，其中是真命题的是(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案：BD 解析：∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1.故选BD. 知识点三　虚数单位i的幂的周期性 7．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0(n∈N)，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2025＝i.所以z＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点在第一象限．故选A. 知识点四　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 8．在复数范围内求解下列方程： (1)3x2＋x＋2＝0； (2)x2＋ax＋4＝0(a∈R)． 解：(1)因为Δ＝1－4×3×2＝－23<0， 所以方程3x2＋x＋2＝0的解为 x1＝－＋i，x2＝－－i. (2)因为Δ＝a2－16， 所以当Δ>0，即a<－4或a>4时， 原方程的解为x1＝， x2＝. 当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝4，则原方程的解为x1＝x2＝－2； 若a＝－4，则原方程的解为x1＝x2＝2. 当Δ<0，即－4<a<4时， 原方程的解为x1＝－＋i， x2＝－－i. 一、单选题 1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 答案：C 解析：∵z－1＝＝1－i，∴z＝2－i.故选C. 2．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　) A．－1024 B．1024 C．0 D．512 答案：C 解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.故选C. 3．(2024·四川德阳模拟预测)若复数z满足(1＋i)z＝a－i(其中i是虚数单位，a∈R)，则“|z|＝1”是“a＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由(1＋i)z＝a－i，得z＝＝＝－i，若|z|＝1，则＋＝1，解得a＝1或a＝－1.故“|z|＝1”是“a＝1”的必要不充分条件．故选B. 4．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是x1＝1＋i和x2＝1－i，则这个一元二次方程可以是(　　) A．x2－2x＋2＝0 B．x2－2x＋4＝0 C．3x2－2x＋1＝0 D．x2＋2x＋4＝0 答案：B 解析：设方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则x1＋x2＝－＝2，所以b＝－2a，x1x2＝＝4，所以c＝4a，则方程为a(x2－2x＋4)＝0(a≠0)，故只有B符合题意． 5．(2024·云南昆明高一下期中)复数z满足(3－4i2023)·z＝5i2024，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：由题意知，复数z满足(3－4i2023)·z＝5i2024，所以z＝＝＝－i，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选D. 二、多选题 6．对于两个复数α＝－＋i，β＝－－i，下列结论正确的是(　　) A．αβ＝1 B.＝1 C.＝1 D．α3＋β3＝2 答案：ACD 解析：αβ＝＝＋＝1，≠1，＝＝1，α3＋β3＝＋＝1＋1＝2.故选ACD. 7．(2024·重庆九龙坡高一下期中)已知复数z＝－＋i，则下列结论正确的是(　　) A．z＋z2＝－1 B．复数z4＋1的虚部为i C．|z2|＝|z|2 D．复数w满足|w－z|＝1，则|w|的最大值为2 答案：ACD 解析：对于A，z＋z2＝－＋i＋＝－＋i－－i＝－1，故A正确；对于B，z4＋1＝＋1＝＋1＝＋i，其虚部为，故B错误；对于C，|z2|＝||＝|－－i|＝1，|z|2＝|－＋i|2＝12＝1，故C正确；对于D，因为|w－z|＝1，所以1＝|w－z|≥|w|－|z|，即|w|≤1＋|z|＝2，所以|w|的最大值为2，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． 答案： 解析：＝＝ ＝＝， ∵为纯虚数，∴∴a＝. 9．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ＝________． 答案：＋kπ，k∈Z 解析：z2＝(cosθ＋isinθ)2＝cos2θ－sin2θ＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.于是所以2θ＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z. 10．复数z＝且|z|＝4，z在复平面内对应的点在第一象限，若复数0，z，在复平面内对应的点是正三角形的三个顶点，则a＝________，b＝________． 答案：－　－1 解析：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4　①，因为复数0，z，在复平面内对应的点构成正三角形，所以|z－|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1　②.又因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.由①②，得 四、解答题 11．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由． 解：存在． 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)， 则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i. 由已知得 ∵y≠0，∴ 解得或 ∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件． 12．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|. (1)求z； (2)若z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 解：(1)∵w－4＝(3－2w)i， ∴w(1＋2i)＝4＋3i， ∴w＝＝＝2－i， ∴z＝＋|i|＝＋1＝3＋i. (2)∵z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根， ∴(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，即(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0. 又p，q为实数， ∴解得 解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i. ∴实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i. 13．(2024·上海高一开学考试)已知z为虚数，其实部为1，且z＋＝2－mi(其中i为虚数单位)，则实数m的值为________． 答案：－2 解析：设z＝1＋bi(b∈R，b≠0)，则z＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋bi＋＝1＋＋i，所以1＋＋i＝2－mi， 所以解得 14．(2024·江苏高一下期末)已知z为复数，且(1＋3i)z为纯虚数，|z|＝. (1)求复数z； (2)若复数w满足|2w－z|≤1，求|w|的最大值． 解：(1)解法一：因为(1＋3i)z为纯虚数，设(1＋3i)z＝ai(a∈R，a≠0)， 则z＝＝＝＋i， 可得|z|＝＝|a|＝，解得a＝±10， 所以z＝3＋i或z＝－3－i. 解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则(1＋3i)z＝(1＋3i)(a＋bi)＝(a－3b)＋(3a＋b)i， 因为(1＋3i)z为纯虚数， 则解得a＝3b，且b≠0， 又因为|z|＝＝|b|＝， 解得b＝±1， 所以z＝3＋i或z＝－3－i. (2)因为|2w－z|≤1，即|w－z|≤， 设复数w，z在复平面内对应的点分别为P，Z，O为坐标原点， 则|PZ|≤，可知点P在以点Z为圆心，为半径的圆上或圆内， 由题意可知，|OZ|＝|z|＝|z|＝， 则|w|≤|OZ|＋＝＋， 所以|w|的最大值为＋. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$