课时测评8 复数的乘法与除法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

课时测评8　复数的乘法与除法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．复数z＝(1－2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：由于复数z＝(1－2i)i＝2＋i，它在复平面内对应的点的坐标为(2，1).故选A． 2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 答案：A 解析：由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5．故选A． 3．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案：D 解析：因为已知＝1＋i(i为虚数单位)，所以z＝＝＝－1－i.故选D． 4．已知a，b∈R，＋(i为虚数单位)是纯虚数，则a，b应满足(　　) A．b＝－2a B．b＝a C．ab＝1 D．ab＝0 答案：A 解析：因为＋＝＝＝为纯虚数，所以2a＋b＝0且b－2a≠0，所以b＝－2a.故选A． 5．(新定义)(多选)已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.则下列命题中是真命题的是(　　) A．对任意z∈C，都有D(z)＞0 B．若是复数z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立 C．若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2 D．对任意z1，z2∈C，结论D(z1，z2)＝D(z2，z1)恒成立 答案：BD 解析：对于A，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故A错误；对于B，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D()＝D(z)恒成立，故B正确；对于C，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故C错误；D显然正确． 6．若复数z满足z·＝3，则|z|＝________． 答案： 解析：因为z·＝3，所以z·＝|z|2＝3，故|z|＝. 7．(开放题)若实系数一元二次方程的一个根是＋i，则这个方程可以是_________． 答案：x2－x＋＝0(答案不唯一) 解析：因为方程的一个根是＋i，则另一个根为－i，所以＋＝，＝＋＝，故满足条件的一元二次方程可以为x2－x＋＝0．(答案不唯一) 8．(开放题)写出一个同时满足①(1＋i)·z∈R；②|z|>4的复数z＝________． 答案：3－3i(答案不唯一) 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R， 因为(1＋i)·z＝(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i∈R，所以a＋b＝0，则z＝a－ai， 又因为|z|＝＝>4， 所以a2>8，解得a<－2或a>2 即只需满足a<－2或a>2，复数z＝a－ai都满足条件①②. 故答案为：3－3i(答案不唯一) 9．(10分)计算： (1)i(1＋i)－(2－3i)(2＋3i)；(4分) (2)(1＋2i)2＋＋i2 025．(6分) 解：(1)i(1＋i)－(2－3i)(2＋3i)＝i－1－(4＋9)＝i－14． (2)(1＋2i)2＋＋i2 025＝1＋4i－4＋＋i＝5i－3＋4－i＝1＋4i. 10．(10分)计算： (1)；(4分) (2)－.(6分) 解：(1)＝＝－1． (2)－＝[(1＋2i)·i＋(－i)3]2－i5＝－9i. 11．(5分)(新定义)已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝当z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1⊗z2＝(　　) A．－＋i B．5＋2i C．－i D．5－2i 答案：A 解析：由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|＜|z2|，故z1⊗z2＝＝＝＝＝－＋i.故选A． 12．(5分)(多选)已知z1，z2为复数，下列结论正确的是(　　) A． z1＋z2＝＋ B． z1·z2＝· C． 若＝，则z＝z D． 若z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0 答案：ABD 解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)，对于A，z1＋z2＝＝(a＋c)－(b＋d)i＝(a－bi)＋(c－di)＝＋，故A正确；对于B，z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，·＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，z1·z2＝·，故B正确；对于C，设z1＝1，z2＝i，显然满足＝，但z＝1，z＝－1，不满足z＝z，故C错误；对于D，由z1z2＝0，得(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，即则a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝0，即(a2＋b2)(c2＋d2)＝0，因此a＝b＝0或c＝d＝0，即z1＝0或z2＝0，故D正确．故选ABD． 13．(13分)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的一个根． (1)求p＋q的值；(5分) (2)复数w满足z·w是实数，且|w|＝2，求复数w.(8分) 解：(1)因为在复数范围内，实系数方程x2＋px＋q＝0的两个根是互为共轭复数的， 所以实系数方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的另一个根是2－i， 故解得 所以p＋q＝1． (2)设复数w＝a＋bi(a，b∈R)， 因为z·w＝(2＋i)(a＋bi)＝(2a－b)＋(a＋2b)i， 所以z·w是实数， 所以a＋2b＝0，即a＝－2b.① 又|w|＝2，所以a2＋b2＝20，② 联立①②，解得或 因此复数w＝4－2i或w＝－4＋2i. 14．(17分)设△ABC中的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B，若复数z1z2为纯虚数，试判断△ABC的形状． 解：z1z2＝(a＋bi)(cos A＋icos B)＝(a cos A－b cos B)＋i(a cos B＋b cos A). 因为复数z1z2为纯虚数， 所以即 所以A＝B，或A＋B＝， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 学生用书第35页 学科网（北京）股份有限公司 $$