10.2.2 复数的乘法与除法 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

10.2.2　复数的乘法与除法 [课时跟踪检测] 1.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·= (　　) A.-2 B. C.- D.2 解析:选D　因为z=i,所以=-i,z·=2,故选D. 2.i(3-i)的共轭复数为 (　　) A.3+i B.3-i C.1+3i D.1-3i 解析:选D　由题意得z= i·(3-i)=1+3i,所以=1-3i,故选D. 3.(2022·新课标Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选D　因为i(1-z)=1,所以z=1-=1+i,所以=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2. 4.(2022·全国甲卷)若z=-1+i,则= (　　) A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i 解析:选C　===-+i,故选C. 5.若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则z的虚部为 (　　) A.-i B.- C. D.- 解析:选B　由(1+i)z=|1+i|=,得z===-i,所以z的虚部为-.故选B. 6.(多选)若复数z满足(2+i)z+5i=0,则 (　　) A.z的虚部为-2 B.=1+2i C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.|z4|=25 解析:选AD　由题意,得z==-1-2i,虚部为-2,故A正确;=-1+2i,故B错误;z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限,故C错误;|z4|=|z|4=()4=25,故D正确. 7.如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则= (　　) A.+i 　　　　B.--i C.-i 　　　　D.-+i 解析:选D　由题意,设z=-1+bi(b>0),则|z|==,解得b=2,即z=-1+2i,所以====-+i. 8.(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则 (　　) A.p=2 B.x2=1-i C.x1·=-2i D.=i 解析:选BD　因为实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2且x1=1+i,所以x1x2=2,可得x2===1-i,故B正确;又x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A错误;由=1+i,所以x1·=(1+i)2=2i≠-2i,故C错误;====i,故D正确.故选B、D. 9.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则= (　　) A.i B.-i C.1 D.-1 解析:选B　因为复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则解得a=1.所以====-i.故选B. 10.在复平面内,复数, (i为虚数单位)对应的点分别为A,B,若点C为线段AB的中点,则点C对应的复数为 (　　) A. B.1 C.i D.i 解析:选A　复数==-i,故A点在复平面的坐标为,复数==+i,故B点在复平面的坐标为.又点C为线段AB的中点,故点C在复平面内的坐标为,故所对应的复数为. 11.(多选)已知复数z=,则 (　　) A.z的虚部是-i B.=1+i C.z·=|z|2=4 D.z是方程x2-2x+4=0的一个根 解析:选BCD　因为z===1-i.则z的虚部是-,故A错误;=1+i,故B正确;因为z·=(1-i)(1+i)=4,|z|==2,所以z·=|z|2=4,故C正确;因为x2-2x+4=0,即(x-1)2=-3,解得x=1±i,所以方程x2-2x+4=0的复数根为1±i,即z是方程x2-2x+4=0的一个根,故D正确. 12.(多选)设z1,z2,z3为复数,且z1≠z2.下列命题正确的是 (　　) A.若z1z3=z2z3,则z3=0 B.若z1=z3,则=z1z3 C.若|z1-z2|=|z1+z2|,则z1z2=0 D.若=z3,则|z1z2|=|z1z3| 解析:选AD　若z1z3=z2z3,则z1z3-z2z3=(z1-z2)z3=0,因为z1≠z2,则z1-z2≠0,所以z3=0,故A正确;若z1=z3,则=z1z3,因为与不一定相等,所以,z1z3不一定相等,故B错误;设z1=a+bi,z2=c+di,所以z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,因为|z1-z2|=|z1+z2|,则=,整理得ac+bd=0.又因为z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i不一定等于0,故C错误;因为z3==c-di,则z1z3=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i,由C可知,因为|z1z2|==, |z1z3|= =, 所以|z1z2|=|z1z3|,故D正确. 13.(5分)已知复数z=,是z的共轭复数,则·z=　　　　.  解析: 因为z====-+i,所以·z==+=. 答案: 14.(5分)写出一个同时具有下列两个性质的复数z=　　　　.  性质1:|z-|=2　性质2:z·=4 解析:设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi,从而z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi,因为|z-|=2,所以|2b|=2,解得b=±1.因为z·=4,所以(a+bi)·(a-bi)=a2+b2=4,解得a=±,所以z=±±i. 答案:±±i(写出其中一个即可) 15.(5分)已知k∈R,若关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根a,则a=　　　　.  解析:因为关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根a,所以a2+(k+2i)a+2+ki=0,整理得a2+ka+2+(2a+k)i=0,所以 解得或经检验可知,a=±符合题意. 答案:± 16.(5分)已知复数z对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位):甲:z+=2;乙:z-=2i;丙:z·=4;丁:=.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z=　　　　.  解析:设z=a+bi(a>0,b>0),则=a-bi, ∴z+=2a,z-=2bi,z·=a2+b2,=. ∵z·=4与=不可能同时成立, ∴丙、丁两人的陈述不能同时正确;当z-=2i时,b2=3>2.∴=不成立. ∴乙、丁两人的陈述不能同时正确;当甲、乙两人的陈述正确时,a=1,b=,则丙也正确,不合题意;当甲、丙两人的陈述正确时,a=1,b=,则乙也正确,不合题意;当乙、丙两人的陈述正确时,b=,a=1,则甲也正确,不合题意.综上,甲、丁两人的陈述正确,此时a=b=1,∴z=1+i. 答案:1+i 学科网（北京）股份有限公司 $